基于LMS的自适应滤波器的设计毕业设计

1、目 录插图清单I摘 要IIAbstractIII第一章 自适应滤波器11.1 数字滤波器11.2 自适应滤波器的结构2第二章 LMS算法42.1 LMS算法简介42.2 LMS算法原理介绍42.3 LMS算法的实现7 基本的LMS算法的实现82.3.2 归一化LMS算法的实现10 功率归一化LMS算法的实现112.4 仿真结果分析13结 论14参考文献15致 谢16附 录17插图清单图 1-1 数字滤波器1图 1-2 自适应滤波器的一般结构2图 2-1 自适应横向滤波器的原理框图4图 2-2 LMS算法流程图7图 2-3 LMS（基本）算法滤波效果图9图 2-4 LMS（基本）算法相关参数图9

2、图 2-5 LMS（归一化）算法滤波效果图10图 2-6 LMS（归一化）算法相关参数图11图 2-7 LMS（功率归一化）算法滤波效果图12图 2-8 LMS（功率归一化）算法相关参数图12摘 要在信号处理领域中，有一很重要内容就是自适应信号处理，说到自适应信号处理，自然想到其中重要的一部分：自适应滤波器。自适应滤波理论是自适应信号处理的基础，在信号处理学科的体系当中，这是非常重要的部分。40几年以来，该理论在科学界一直受到高度的重视，并且也经过科学家们的不断努力，使其的得到了发展与完善。如今，高速信号处理芯片日新月异，而高性能的计算机也不断的被开发出来，这就为自适应滤波器提供了发展的平台，

3、也为它的应用提供了方便。可以这样说，自适应滤波理论正在日益受到人们的重视。如今自适应信号处理中研究课题有很多，而其中自适应滤波算法的研究是其中最为活跃的。在信息处理领域中，滤波是一项非常重要的技术。本文主要阐述了基于LMS自适应滤波器的设计方法，设计了三种LMS算法程序，并进行了对比分析，并运用MATLAB软件对自适应滤波器的设计进行了设计，编程。关键词：LMS；自适应滤波器；MATLAB。AbstractIn the field of signal processing, has a very important content is the adaptive signal processi

4、ng, adaptive signal processing, naturally think of some important part: the adaptive filter. Adaptive filter theory is the basis of adaptive signal processing, the signal processing in the system, which is a very important part. Since 40 years, the theory in the scientific community has been brought

5、 to the attention of the height, and also through the constant efforts, scientists have obtained the development and improvement to make it. Today, rapid progress in high-speed signal processing chip, and high performance computer has been developed, it provides a development platform, the adaptive

6、filter and convenience is provided for the application of it. It can be said that the adaptive filtering theory are increasingly brought to the attention of the people.Now the research topic in adaptive signal processing has a lot of, and the adaptive filtering algorithm is one of the most active re

7、search. In the field of information processing, filtering is a very important technology.This article mainly expounds the design method based on LMS adaptive filter, process, three kinds of LMS algorithm is designed and analyzed, and using MATLAB software for the design of the adaptive filter design

8、, programming.Keyword: LMS; Adaptive filter; MATLAB.第一章 自适应滤波器1.1 数字滤波器滤波器有许多种类，大体分为数字滤波器和模拟滤波器，这其中当输入信号为数字信号，通过对输入信号进行运算、处理，改变该数字信号的频率的先对比例，或者，将该输入信号所有频率中某些成分滤除，得出的系统输出信号也为数字信号，这样的数字器件就是数字滤波器。数字滤波器有很多优点，它处理精度高，而且相对稳定，比其他滤波器而言，它的体积又较小，重量较轻，使用方便，对阻抗匹配问题更是不用考虑，相对模拟滤波器而言，它拥有特殊滤波功能。典型的数字滤波器的框图如下图1-1所示。y

9、(n)x（n）h(n)图1-1 数字滤波器设输入信号为x(n)，输出信号为y(n)。则图（1）的系统特性可通过以下方程来表示该： (1.1)其中ai，bi为该器件的系数。当bi=0时，式(1.1)就可以改变为： (1.2)当ai=0，bi0时，则称为全极点滤波器或递归滤波器。由式(1.2)可知，该数字滤波器的系统特性函数H(z)可以由下式表示为： (1.3)单位冲击响应函数为： (1.4) 电子设备拥有许多的部件，最常用的部件就是滤波器，为了使现代的设备更有效率，人们对滤波器已经进行了不少的研究。在信号处理的众多领域当中，自适应信号处理就是其中之一，且显得尤为重要。自适应滤波理论是自适应信号处

10、理的基础，在信号处理学科的体系当中，这是非常重要的部分。40几年以来，该理论在科学界一直受到高度的重视，并且也经过科学家们的不断努力，使其的得到了发展与完善。如今，高速信号处理芯片日新月异，而高性能的计算机也不断的被开发出来，这就为自适应滤波器提供了发展的平台，也为它的应用提供了方便。可以这样说，自适应滤波理论正在日益受到人们的重视。与常规的滤波器相比，自适应滤波器是不相同的，自学习和自调整就是自适应滤波器不同于常规滤波器的主要特点，这两点就是所谓的自适应能力，这些也是它最基本的特点。依据某种准则，一般来说，在迭代过程中，为了在环境的变化情况下，也能适应，自适应滤波器能够自动调整自身的参数或结

11、构，从而实现在这种最优准则下的最优滤波。1.2 自适应滤波器的结构图1-2 自适应滤波器的一般结构自适应算法通过调整滤波器的系数来实现自适应滤波器的变化特性。通常情况下，滤波器的结构，用来调整系数的自适应算法，这是自适应滤波器的两个组成部分。而它的结构通常也是采用FIR形式或IIR形式的，在稳定性方面，FIR 和IIR 结构就有优劣可比，FIR滤波器相对IIR就比较稳定，自然，在通常情况下，自适应滤波器就采用 FIR 结构作为它主要的结构形式。在n时刻，自适应滤波器的权矢量是W(n)，该时刻的输入信号矢量就用表示，为该时刻N阶自适应滤波器的权系数，d(n)是期望信号，e(n)是误差信号，v(n

12、)是主端输入干扰信号。因为不同的算法的优化效果不同，的不同，所以，LMS算法和RLS算法就被分为自适应滤波算法的基本的两个算法。基于LMS准则。最小均方误差算法使系统的均方误差值达到最小。基于RLS准则。权系数向量W (n)可以由递推最小二乘算法来决定，这就使估计误差的加权平方和达到最小。其中为遗忘因子，并且。各种类别的自适应滤波算法都是由LMS和RLS这两种准则发展而出。自适应滤波器的特点是 ：自适应滤波器可以自行的按照一定的准则， 自动的去调整参数， 使它达到最佳状态，实现最佳的滤波；它不用对信号和噪声的先验统计知识进行了解， 特别在输入统计特性发生变化的时候，为了实现最佳滤波，自适应滤波

13、器可以自动的通过调整系统的参数来实现。这是因为他具有的自我学习和对环境变化的跟踪的能力。自适应滤波器有许多各式各样的结构，这些各式各样的结构都是可以用来实现在变化环境下的自适应滤波。不同结构的自适应滤波器的选取，计算的复杂度就会不同，同样迭代次数也会不相同，这对达到期望性能所需的标准都是有影响的。从根本上讲，自适应数字滤波器可以分为两大类，即 FIR滤波器和 IIR滤波器。FIR滤波器通常是利用非递归结构来实现的，而IIR滤波器则不同，它是利用递归结构来实现的。第二章 LMS算法2.1 LMS算法简介早在二十世纪中叶，是由Widrow和Hoff在研究模式识别机时最先提出LMS算法的，数十年来，

14、自适应算法如今不断被科研者改进，已是层出不穷，然而最喜爱的自适应算法仍然是LMS算法。最速下降法，这是LMS算法所采用优化方法。不过这种随机梯度的估计是无偏的，当输入信号是平稳随机信号时，滤波器权系数的数学期望可以收敛到维纳解。算法相对简单，运算量较小，相对其他算法又易于实现，这些都是LMS算法的主要优点。但是收敛速度较慢其主要缺点，而且输入信号的统计特性又与收敛速度密切有关。另一方面，LMS算法对于非平稳随机输入的跟踪能力较差。几十年来，在LMS算法的性能分析，以及算法改进方面研究学者们进行了大量的 探索，研究，无论是在理论上，还是在应用上都积累了丰富的经验。并且他们还提出了许多LMS算法的

15、改进算法，例如：归一化LMS算法、变步长LMS算法等，这些改进的算法从许多方面改进了LMS算法的性能，从而也使LMS算法的应用范围得到扩展。作为最小均方准则下的信号处理器，LMS自适应滤波器与维纳滤波器二者既有联系，又有区别。最小均方准则下的线性滤波问题解决，是后者所面临的主要问题，这种方法要求已知平稳随机信号和噪声信号的函数或功率谱密度函数。这在实际中往往由于缺少对于先验知识的了解而遇到困难，不能实现最优滤波。以均方误差最小为最优，这是LMS自适应滤波器的准则，当滤波器的滤波算法收敛时，该滤波器的权系数就会与维纳滤波器的权系数完全相同。但是在实现或设计中，关于输入随机信号和噪声的统计先验知识

16、就无需像其他算法那样进行了解，它完全不需要或仅需要很少的了解。只要满足一定的收敛条件，LMS自适应滤波器就会经过自学习和自调整的过程而达到最优状态。2.2 LMS算法原理介绍LMS自适应算法就是一种线性自适应滤波算法。一般来说。滤波过程以及自适应过程是LMS算法的两个基本的过程。在滤波过程中，自适应滤波器通过计算其对输入的响应，将计算值与期望响应进行比较，就能得到误差信号，并且在自适应过程当中，系统就根据比较所得到的估计误差信号自动对其自身参数进行调整，这就形成了一个反馈环，构成一个反馈系统，如图2-1所示：e(n)-+d(n)横向滤波器w(n)自适应权控制算法y(n)x(n)图2-1 自适应

17、横向滤波器的原理框图在图2-1中，滤波过程由横向自适应滤波器来完成，滤波器权系数则由自适应权值控制算法来进行自适应调整，自适应滤波器的输出信号y(n)为 (2.1)T表示转置矩阵，n表示时间指针。自适应滤波器的误差信号为 (2.2)误差序列可写为 (2.3)其中y(n)是滤波器的输出， d(n)是期望信号。使用输入向量x(n)和e(n)来更新自适应滤波器的最小化标准的相关系数。均方误差(MSE)为 (2.4)将公式(2.2)中的代入(2.4)得 (2.5) 当滤波器的系数固定时，目标函数又可以表示为 (2.6) 是N*1互相关向量，指出了期望信号d(n)和输入信号向量x(n)的互相关矢量。是N

18、*N自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。当矢量P和矩阵R己知时，可以由权系数矢量w直接求其解。最优解最小化MSE，可以由以下公式解得： (2.7)将式(2.5)对w求其偏导数并令该偏导等于零，假设矩阵R满秩矩阵，可解得最佳滤波系数为 (2.8)所解出来的解就称为维纳解。均方误差(MSE)函数是滤波系数w的二次方程，将该函数在计算机上绘制成图形，就一个多维的抛物面。当矩阵R是正定矩阵时，该误差性能曲面就是一个碗状的抛物曲面，而且具有唯一的最小值点。当自适应滤波器的系数的最初的初始值是位于抛物曲面上某一点时，该点的数值是任意值，经过 它自己的自适应调节，使对应于滤波系数变化的点在抛物面上移动，朝抛

19、物面最小点方向移动，最终到达抛物面的最小点，实现最佳的维纳滤波。我们所说的自适应过程，就是通过在梯度矢量的负方向连续的校正滤波系数的，即在抛物面上沿着最陡下降法的方向移动，向最小点靠拢，逐步地校正滤波系数，最终到达抛物面的最小点，实现均方误差为最小，从而获得最佳滤波。其显著优点是它的简单性，不用进行复杂的计算。LMS算法梯度可以通过假设e2 (n)作为式(2.8)的MSE来预测。由梯度矢量的定义，梯度预测可以单一化为 (2.9)在n时刻的滤波系数或权系数矢量为w(n)。按照最陡下降法，当互相关矢量P和相关矩阵R已知时，梯度矢量可以通过滤波系数矢量w(n)来计算，则在n+1时刻的滤波系数的更新值

20、为： (2.10)u是自适应步长，是收敛因子，用来控制收敛率和稳定性。又 (2.11)故LMS算法对性能函数梯度估计是无偏的。滤波器的收敛因子u应该满足下列收敛条件 (2.12) 为自相关矩阵R的最大特征值，且受限制于 (2.13) 是平均输入功率，Tr·为指示矩阵的轨迹。在LMS算法中，每次梯度的估计值都是根据每次输入数据的样本来进行计算获得的，这样，关于输入数据的时间常数就与算法均方误差的时间常数相等，即 (2.14)自适应滤波器的自学习过程的长短或收敛的快慢由时间常数的大小来决定，一般情况下，m=01M并不一定都相等。这样，各个权系数或各个模式的收敛速度并不相等。只有当各个权系

21、数都收敛了，整个自适应滤波器才能收敛。权向量想要获得收敛，只有当最缓慢的权集中于一点，这个最慢的时间 (2.15)若权矢量无噪声并收敛于维纳解，则均方误差达到最小，即。当权矢量出现随机噪声时，权矢量稳态解将平均“失解”于其维纳解，并造成过量均方误差，使稳态均方误差大于最小均方误差。由式(2.14)我们可以得到过量平均均方误差为 (2.16) 式(2.15)和(2.16)产生LMS算法的基本要求:要想在稳态获得最小的MSE，需要收敛因子u达到最小值，但这就会降低收敛率。后面会有进一步讨论关于LMS算法的特征。对于N维更新是常数，误差信号e(n)乘以u得到。首先计算这个常数，之后乘以x(n)，来更

22、新w(n)。2.3 LMS算法的实现 LMS算法实现流程图如图2-2所示：图2-2 LMS算法流程图在图2-2中， w(k)为滤波器滤波系数矢量估值， ，u是一个控制因子，用它来控制收敛速度和稳定性，u太大不稳定，太小收敛速度很慢。通常取，是R中的最大的特征值。是误差梯度，直接计算很复杂，一般直接用误差的平方作为均方误差的估计值。因为，表明是无偏估计。其中：所以，算法步骤：1、初始化：2、更新： 直到计算到达到预期小的值为止，或达到稳定为止。 根据u的取值不同LMS算法可分为以下三种类型：1、当，称之为基本的LMS算法。2、当 则称为归一化的LMS。3、当，其中表示x(k)的方差。可以递推算出

23、，遗忘因子，M是滤波器阶数，称该算法为功率归一化LMS算法。2.3.1 基本的LMS算法的实现原信号与噪声信号相互独立，我们采用高斯白噪声作为噪声信号代替，并且定义噪声信号的功率为0.02，E(r(n)2)=0.02，则v(n)=0.02*randn(1,1024)。基本的LMS算法要求控制因子u（k）为常数，所以在设计时我们需要根据仿真结果来选择合适的u（k），以达到滤波器的最优滤波性能。为了完成输出信号与标准信号的对比，还需要定义一个标准信号，我们定义标准信号为正弦信号，这样便于我们更好的观测仿真数据。此外，定义w(n)为滤波器滤波系数矢量估值。最后，到了滤波器设计的关键阶段算法的编程，我

24、采用了for语句来实现算法的循环，直到计算到e(n)预期小的值为止或w(n)达到稳定为止。算法编程如下：for n=2:Mxn=sin(4*pi*n/100)+vn;yn(n)=w1(n)*xn(n)+w2(n)*xn(n-1);e(n)=xn(n)-yn(n); w1(n+1)=w1(n)+2*u*e(n)*xn(n);w2(n+1)=w2(n)+2*u*e(n)*xn(n-1); end仿真结果：见图2-3、图2-4分析可得：n=20Elapsed time is 0.094000 seconds.图2-3 LMS（基本）算法滤波效果图 图2-4 LMS（基本）算法相关参数图2.3.2 归

25、一化LMS算法的实现归一化算法与基本的LMS算法在思路上没有太大差别，就只是在对u(k)的选取方面有一定的差别，归一化中定义 。因此，在for语句中需要对u（k）的取值加额外的要求。为了方便起见，我们暂且定义=1，=0。归一化LMS算法编程为：for n=2:Mxn=sin(4*pi*n/100)+vn;yn(n)=w1(n)*xn(n)+w2(n)*xn(n-1);e(n)=xn(n)-yn(n);u(n)=1/(xn*xn');w1(n+1)=w1(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n);w2(n+1)=w2(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n-1); end仿真结果：见图2

26、-5、图2-6分析可得：n=600 Elapsed time is 0.094000 seconds.图2-5 LMS（归一化）算法滤波效果图 图2-6 LMS（归一化）算法相关参数图2.3.3 功率归一化LMS算法的实现功率归一化，与归一化算法一样，也只是在对u(k)的取值方面有一定的差别。功率归一化中定义，其中表示x(k)的方差。由可知，其中M为滤波器的阶数。同时也为了方便起见，我们暂且定义a=1/M，d=0.5。功率归一化LMS算法编程为：for n=2:Mxn=sin(4*pi*n/100)+vn;yn(n)=w1(n)*xn(n)+w2(n)*xn(n-1);e(n)=xn(n)-y

27、n(n);gx2(n)=d*gx2(n-1)+e(n)*e(n);u(n)=a/(gx2(n);w1(n+1)=w1(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n);w2(n+1)=w2(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n-1); end仿真结果：见图2-7、图2-8分析得：n=8Elapsed time is 0.078000 seconds.图2-7 LMS（功率归一化）算法滤波效果图 图2-8 LMS（功率归一化）算法相关参数图2.4 仿真结果分析由以上LMS算法的三种方案，我们对它们进行对比分析：在输入信号都采用正弦信号（各正弦信号幅值相等），且都有相同信噪比的噪声时，三种滤波器的仿真结

28、果大体上是相同的，而不同的，就是三种方案的收敛速度有所差别。三种算法中，功率归一化收敛速度最快，只需要0.078秒，在达到几乎稳定的滤波状态时只需要的迭代次数很少，并且在之后的迭代过程中，计算所得的误差范围均保持得较小，在某时刻甚至输出期望信号，能够很好地滤除噪声信号，对噪声的敏感度很明显的降低了，相对前两种算法而言，功率归一化算法很好的弥补了不足。结 论 本文对自适应滤波器的原理和结构作了详细的描述，同时也对自适应滤波器的工作原理和特点作了特殊的说明。自适应算法的性能问题是自适应滤波技术的核心问题，研究自适应算法是自适应滤波器设计中的关键问题所在。 本文重点讲述了自适应滤波算法的实现过程。基

29、于MATLAB软件进行仿真，用三种LMS算法来进行了滤波器的设计，并对比分析了三种自适应滤波器的原理和性能。虽然本文取得了一些实验结果，但本文所做的工作也只是一些初步研究，还有很多问题需要解决，还有待于进一步完善。在今后的工作中，还需要不断地发现，不断的创新。参考文献1邓薇MATLAB函数速查手册M北京：人民邮电出版社，20082丁玉美等数字信号处理M西安：西安电子科技大学出版社，19993程佩青数字信号处理M北京：清华大学出版社，20014张圣勤MATLAB 7.0 实用教程M北京：机械工业出版社，2008：20-455姚天任数字语音处理M武汉：武汉华中科技大学出版社，1992 6何振亚自适

30、应信号处理M北京：北京科学出版社，20027周建兴MATLAB从入门到精通M北京：人民邮电出版社，20088袁俊泉MATLAB信号处理M北京：清华大学出版社，20029丁玉美，高西全.数字信号处理M陕西：西安电子科技大学出版社，200310韩利竹，王华MATLAB电子仿真与应用M北京：北京国防工业出版社，200311邹国良自适应滤波理论及应用M河北：河北大学出版社，199712高西全 丁玉美数字信号处理M. 陕西：西安电子科技大学出版社，200813邱天爽等 通信中的自适应信号处理M 北京：电子工业出版社，200514Simon HaykinAdaptive filter theory MEl

31、ectronic industry press，200315zhang jianhua. Digital signal processingM. Electronic industry press，2010致 谢本科学习生涯即将画上句号，四年短暂的时光还历历在目，无论在生活上还是在学习上，我都有许多收获与提高。再次我衷心感谢那些帮助我的人。首先，我要感谢我的导师冯老师对的我的悉心指导，冯老师是一个学识渊博、治学严谨的优秀老师，对我的影响很大，我受益匪浅。她不仅在学术上耐心指导和教育我，而且在生活中给我不少帮助。借此机会，谨向冯老师表达我真挚的敬意和衷心的感谢。其次感谢铜陵学院领导和老师给我的帮

32、助及创造的良好的学习氛围，让我在大学四年的时间中，获益匪浅。同时，感谢与我在同一个教室的同班同学，感激他们在生活和学习中给我提供的帮助，让我觉得大家是一个整体，有家一样的感觉。感谢各位教授和老师在百忙之中评阅我的论文。最后，向所有给我帮助和支持的人表示衷心的感谢，谢谢大家！附 录1、基本的LMS算法的实现程序%-基本的LMS算法-%u（K）=常数,u是一个控制因子%设输入随机信号v（n），样本间相互独立，用高斯白噪声代替%且功率为0.02，即E(r(n)2)=0.02，则v(n)=0.02*randn(1,1024);%设W(0)=0,0，u（K）=0.05clear;close all;ti

33、c; %计时M=1024 ; % M是滤波器阶数,可以改变，直到计算到达到e(n)预期小的值为止，或w(n)达到稳定为止u=0.05; %控制因子vn=0.02*randn(1,M);%输入随机信号t=1:1024;dn=sin(4*pi*t/100);%标准信号w1=zeros(1,M); w2=zeros(1,M); for n=2:M xn=sin(4*pi*n/100)+vn;%输入信号 yn(n)=w1(n)*xn(n)+w2(n)*xn(n-1); e(n)=xn(n)-yn(n); w1(n+1)=w1(n)+2*u*e(n)*xn(n); w2(n+1)=w2(n)+2*u*e

34、(n)*xn(n-1); endfigure(1)% LMS算法的权值随时间n变换的轨迹：W1(n)n；W2(n)n subplot(2,1,1);plot(w1,'r');hold onplot(w2,'k');title('W1(n)n(红线),W2(n)n（黑线）');hold off% 误差e(n)随时间变化的关系曲线：e(n)nsubplot(2,1,2)plot(e);title('e(n)n');figure(2)subplot(3,1,1);plot(dn);title('dn标准信号');axis

35、(0 1200 -2 2);subplot(3,1,2);plot(xn);title('xn输入信号');subplot(3,1,3);plot(yn);title('yn输出信号');axis(0 1200 -2 2);toc2、归一化LMS算法实现程序%-归一化的LMS-%u(k)=a/(b+x(k)x(k)') 0 <a<2,b>=0%设输入随机信号v（n），样本间相互独立，用高斯白噪声代替%设功率为0.02，即E(r(n)2)=0.02，则v(n)=0.02*randn(1,1024);%设W(0)=0,0，a=1,b=0cl

36、ear;close all;tic; %计时M=1024 ; % M 是滤波器阶数,可以改变，直到计算到达到e(n)预期小的值为止，或w(n)达到稳定为止u=0.05; %控制因子vn=0.02*randn(1,M);%输入随机信号t=1:1024;dn=sin(4*pi*t/100);%标准信号w1=zeros(1,M); w2=zeros(1,M);a=1;b=0;for n=2:M xn=sin(4*pi*n/100)+vn;%输入信号 yn(n)=w1(n)*xn(n)+w2(n)*xn(n-1); e(n)=xn(n)-yn(n); u(n)=1/(xn*xn'); w1(n

37、+1)=w1(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n); w2(n+1)=w2(n)+2*u(n)*e(n)*xn(n-1); endfigure(1)% LMS算法的权值随时间n变换的轨迹：W1(n)n；W2(n)n subplot(2,1,1);plot(w1,'r');hold onplot(w2,'k');title('W1(n)n(红线),W2(n)n（黑线）');hold off% 误差e(n)随时间变化的关系曲线：e(n)nsubplot(2,1,2)plot(e);title('e(n)n');figure(2)subplot(3,1,1);plot(dn);title('dn标准信号'