双曲线方程及几何性质教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点1.双曲线的定义.2. 双曲线的标准方程.3. 双曲线的简单几何性质.教学目标1. 掌握双曲线的定义，标准方程.2. 掌握双曲线的几何性质.3. 体会解析几何的思想，熟悉利用代数方法研究几何问题的手段教学重点双曲线定义、标准方程及几何性质；利用性质解决一些问题.教学难点双曲线定义、标准方程及几何性质的灵活应用.【知识导图】教学过程一、导入1、情境引入类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点

2、的轨迹是什么呢？设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节.2、 步步深化类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆.二、知识讲解考点1 双曲线的定义平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即.【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支.教师讲完定义后，可

3、顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量.考点2双曲线的标准方程与几何性质标准方程图形性质范围或或对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点，渐近线离心率，其中准线实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系注意：(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是y±x，1(a0，b0)的渐近线方程是y±x.求双曲线离心率、渐近线

4、问题的一般方法：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(2)求渐近线时，利用c2a2b2转化为关于a，b的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k±±±±.考点3 等轴双曲线考点3等轴双曲线1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线 .2.共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和.性质：它们有相

5、同的渐近线.它们的四个焦点共圆.离心率满足.三 、例题精析三 、例题精析例题1类型一 双曲线的定义与标准方程例题1若kR，则k>3是方程表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若k>3，则方程，表示双曲线；若方程表示双曲线，则或解得k>3或k<3.故选A.【教学建议】引导学生思考本题左边为加号时的情形.例题2例题2【总结与反思】本题考查双曲线的定义，是双曲线的充要条件是m、n异号已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.【解析】由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所

6、以设它的标准方程为所求双曲线标准方程为.【总结与反思】此题考查双曲线定义，点到两定点的距离之差为定值的点可能为双曲线，比较定点距离与距离之差的大小，写出标准方程.例题3例题3已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A. B.C. D.【解析】双曲线的渐近线方程为y±x，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100，所以c5.故由c2a2b2，得25a24a2，则a25，b220，从而双曲线方程为.【答案】A【总结与反思】本题考查利用双曲线的几何性质求标准方程，属简单题，明白

7、渐近线与双曲线标准方程的关系即可作答.例题1类型二 双曲线的几何性质例题1已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay±x By±x Cy±x Dy±x【解析】，C的渐近线方程为y±x.故选C.【答案】C【总结与反思】本题考查双曲线的离心率与标准方程的关系、双曲线渐近线.离心率与渐近线斜率都与a、b、c之间的比值有关，所以求解时并不需求出a、b、c的值，只要知道关系即可作答.例题2例题2已知F为双曲线C：x2my23m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m

8、【解析】由题意知，双曲线的标准方程为1，其中a23m，b23，故c.不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)其中一条渐近线的方程为yx，即xy0，由点到直线的距离公式可得d，故选A.【答案】A例题3例题3【总结与反思】本题考查双曲线的简单几何性质，考虑先将方程化为标准形式，再把需要用的量用m表示出来，得出距离公式，约去变量m，得到距离.已知双曲线E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_【答案】2【解析】如图所示，由题意得|BC|F1F2|2c.又2|AB|3|BC|，|AF1|c.在RtAF1F

9、2中，|AF2|.2a|AF2|AF1|ccc.e2.【总结与反思】本题考查离心率的求法，在几何背景下求离心率问题要考虑矩形的特点，利用三角形求离心率.例题1例题1类型三 直线与双曲线综合问题过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2 C6 D4【解析】双曲线x21的右焦点为F(2，0)，其渐近线方程为x±y0.不妨设A(2，2)，B(2，2)，所以|AB|4，故选D.【答案】D【总结与反思】本题考查双曲线渐近线与直线与双曲线综合应用，属简单题，直接求出渐近线，带入焦点横坐标，求出两点纵坐标即可得出两点距离.例题2例题2已知

10、双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1) 求双曲线方程；(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：·0；(3) 求F1MF2的面积【解析】(1)e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kMF1·kMF21，MF1MF2，·0.法二(32，m)，(23，m)，·(32)(32)m23m2.M在双曲线上，9m26，m23，

11、83;0.(3)在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|×4×6.【教学建议】双曲线中的证明问题，可以利用双曲线的性质将所要证明的结论用坐标关系表示出来，即可证得结论.四 、课堂运用基础基础1. 下列双曲线中，渐近线方程为y±2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy212. 已知F1，F2是双曲线x21的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|()A6 B4 C2 D13.已知双曲线C：的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A. BC. D4.

12、若实数k满足0<k<9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等5. 设F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D3答案与解析1.【答案】A【解析】对于A，令x20，得y±2x；对于B，令y20，得y±x；对于C，令x20，得y±x；对于D，令y20，得y±x.故选A.2. 【答案】A【解析】由题意知|PF2|PF1|2a，由双曲线方程可以求出|PF1|4，a1

13、，所以|PF2|426.故选A.3. 【答案】C【解析】由题意得e，又右焦点为F2(5，0)，a2b2c2，所以a216，b29，故双曲线C的方程为1.故选C.4.【答案】A【解析】0<k<9，9k>0，25k>0.1与1均表示双曲线，又25(9k)34k(25k)9，它们的焦距相等，故选A.5.【答案】1(x>3)【解析】如图，ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x>3)巩固1.已知a>b>

14、;0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Ax±y0 B.x±y0 Cx±2y0 D2x±y02.已知双曲线1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()A. B C.D3.已知点P(x0，y0)(x0±a)是双曲线E：1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.求双曲线的离心率；答案与解析1.【答案】A【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1，e2.因为e1·e2，所以

15、，即，.故C2的渐近线方程为x±y0.2.【答案】C【解析】如图所示，由1知，F1(3,0)，F2(3,0)设M(3，y0)，则y0±，取M(3，)直线MF2的方程为x6y0，即x2y30.点F1到直线MF2的距离为d.3.【答案】【解析】由点P(x0，y0)(x0±a)在双曲线1上，有1.由题意有·，可得a25b2，c2a2b26b2，e.拔高拔高1.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求此双曲线方程；(2)求证：·0.2. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，

16、N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C. D3.过点P(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为_答案与解析1.【答案】B【解析】(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)、F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.2.【答案】B【解析】本题考查

17、了椭圆与双曲线中离心率e的求法设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为，所以离心率的比值2.3.【答案】2xy150【解析】设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x4y4x4y4得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.P是线段AB的中点，x1x216，y1y22，2.直线AB的斜率为2，直线AB的方程为2xy150.五 、课堂小结五 、课堂小结本节主要讲了三部分：双曲线的定义与标准方程、双曲线的几何性质、双曲线综合应用.双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|PF2|2a(其中02a

18、|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题；双曲线的标准方程与几何性质的考查比较频繁，主要是对离心率、渐近线与标准方程之间的关系进行考查.其中，渐近线方程可以将中的1化成0求直线方程，避免忽略焦点在y轴的情形；双曲线综合应用中主要是双曲线与直线、双曲线与椭圆的综合应用，主要以大题形式考查.常用联立方程或者点差法转化条件，做题时应注意总结做法.六、课后作业基础基础 1. 已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 2.设双曲线1(a>0)的渐近线方程为3x±2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D13. 已知双

19、曲线过点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 4.若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3答案与解析1.【答案】B【解析】渐近线方程化简为,顶点坐标，顶点到渐近线的距离为，解得，根据渐近线方程的斜率，可得,所以双曲线的方程为.选B.2.【答案】C【解析】渐近线方程可化为y±x.双曲线的焦点在x轴上，解得a±2.由题意知a>0，a2.故选C.3.【答案】C【解析】由题意可得： ，据此有 ，则.故选C.4.【答案】B【解析】由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义有|PF1|PF

20、2|3|PF2|2a6，|PF2|9.巩固1. “”是“直线（）与双曲线的右支无交点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B. C. D.3. 已知双曲线C：1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点且3，则双曲线离心率的最小值为()A. B. C2 D2答案与解析1.【答案】A【解析】因为直线过双曲线的左顶点且双曲线的右支无交点，所以直线的斜率不小于双曲线的渐近线的斜率，即，又，所以，故选A.2.【答案】A【解析】由题意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，所以cosAF2F1.故选A.3.【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相