20122018全国卷圆锥曲线理科

1、2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1(2012年全国高考新课标卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点（）若，的面积为，求的值及圆的方程（）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值2(2013全国高考新课标卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线()求的方程；()是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求3(2014年全国高考新课标卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大

2、时，求的方程4(2015年全国高考新课标卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点() 当时，分别求在点和处的切线方程；() 轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由5(2016年全国高考新课标卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围6. (2017年全国高考卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三

3、点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.7(2018年全国高考卷理科第19题) (本小题满分12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为当与轴垂直时，求直线的方程；设为坐标原点，证明：2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1(2012年全国高考新课标卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点（）若，的面积为，求的值及圆的方程（）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值 【解析】()由对称性知是等腰直角三角形

4、，斜边， 点到准线的距离， 由得 圆的方程为 （）由对称性设，则 由点关于点对称得，从而，所以 因此，直线，即 又，求导得，即，从而切点 又直线，即 故坐标原点到直线距离的比值为 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力2(2013全国高考新课标卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线()求的方程；()是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求 【解析】由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 设动圆的圆心为，半径为()因为圆与圆外切且与圆内切，所以，

5、且由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为 ()对于曲线上任意一点，由于，所以 当且仅当圆的圆心为时， 当圆的半径最长时，其方程为 当的倾斜角为时，与轴重合，可得 当的倾斜角不为时，由知不平行轴设与轴的交点为， 则，可求得， 设，由与圆相切得，解得 当时，将代入 整理得 (*) 设，则是(*)方程的两根所以， 当时，由对称性知 综上，或 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想3(2014年全国高考新课标卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点()求的

6、方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程 【解析】()设，由条件知，得 又，所以，故的方程（）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为， 联立直线与椭圆方程：，化简得： ， 设，则， ， 且坐标原点到直线的距离为 因此， 令，则 ，当且仅当，即时，等号成立， 故当，即，时的面积最大 此时，直线的方程为 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想4(2015年全国高考新课标卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点() 当时，分别求在点和处的切线方程；() 轴上是否存在点，使得当变动时，总有？

7、说明理由 【解析】（）由题设可得或 又，故在处的导数值为 在点处的切线方程为，即 处的导数值为 在点处的切线方程为，即 故所求切线方程为和 ()存在符合题意的点证明如下： 设为符合题意的点，直线的斜率分别为 将代入的方程，消去整理得， 则是该方程的两根 故 从而 当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补， 故 所以点符合题意 【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想5(2016年全国高考新课标卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点(I)证明为定值，并写出点E的轨

8、迹方程；(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围【解析】(I)因为，故所以，故又圆标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()；(II)（法一）当与x轴不垂直时，设，由得则，所以过点且与垂直的直线，到的距离为， 所以 故四边形的面积为 当与x轴不垂直时，四边形的面积的取值范围为 当与x轴垂直时，其方程为，四边形的面积12 综上，四边形的面积的取值范围为 （法二）；设， 因为，设，联立 得； 则； 圆心到距离， 所以， 【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证

9、能力、运算求解能力和方程思想已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：（1）根据椭圆的对称性可以排除P1（1,1）。（2）联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种，假设直线AB的方程，第二种假设直线P2A和P2B。【解析】：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同时在椭圆上，P3（1，），P4（1，）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（1，），P4（1，），代入椭圆方程可得：，故而可得椭圆的标准方程为：。（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为：,P2B为：.联立，假设，此时可得：，此时可求得直线的斜