圆锥曲线章节复习

1、【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线章节复习 二. 重点、难点：1. 重点：    椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2. 难点：直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用 三. 知识结构： 【典型例题】例1 已知，试讨论当的值变化时，方程表示曲线的形状。解：（1）当时，方程为，即，表示两条平行于轴的直线。（2）当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆。（3）当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆。（4）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆。（5）当时，方程化为，表示两条平行于轴的直线。（6）当时，方程表示焦点在轴上

2、的双曲线。 例2 已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，）在此双曲线上，求；（3）求的面积。解：（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为   设双曲线方程为把点（4，）代入双曲线方程得， 所求双曲线方程为（2）由（1）知双曲线方程为 双曲线的焦点为、   M点在双曲线上 ，              （3）  

3、0;      为直角三角形  例3 已知抛物线的焦点为A，以B（）为圆心，长为半径，在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点。（1）求的值；（2）是否存在这样的值，使、成等差数列？解：如下图，A（）       圆的方程为与联立得    解得    设    则， （2）设P（），则，     若、成等差数列，则 解得，这与矛盾故不存在，使成等差数列 

4、;例4 已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明：不存在以Q为中点的弦。方法一：（1）解：设过P（1，2）点的直线为，代入双曲线方程得由线段AB中点为P（1，2）   解得，又时，使    从而直线AB方程为（2）证明：按同样方法求得，而使，所以直线CD不存在方法二：设A（）、B（），得： 写出直线方程，即，检验与双曲线有交点 例5 已知双曲线（，）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为，问

5、是否存在点P，使、成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设存在点P（）满足题中条件 双曲线的一条渐近线为   ， ，  即由，得 双曲线的两准线方程为       点P在双曲线的左支上 代入得 ，代入，得 存在点P使成等比数列，点P的坐标是（） 例6 如图，直线和相交于点M，点N，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，=3，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：方法一：以为轴，MN的中点O为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段C

6、所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，是准线。所以可令抛物线的方程为，过点A作，垂足分别为Q和E，由于是锐角三角形，则点E必在线段MN上。所以，           抛物线方程为由上述可知，点B到准线的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在轴上方，故曲线段C的方程为方法二：以为轴，为轴建立如下图的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在轴上，顶点应是线段MN的中点。令曲线段C所在的抛物线方程为：   设则：由（1）（2）得   代入（1）得 &

7、#160;                  代入（3）得    曲线段C的方程为 例7 设分别为椭圆C：（）的左、右两个焦点。（1）若椭圆C上的点A（1，）到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点。求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与

8、点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：（1）椭圆C的焦点在轴上   椭圆上的点A到两点的距离和是4，得，即又 点A（）在椭圆上   ，得     椭圆C的方程为，焦点为、（2）设椭圆C上的动点为K（），线段F1K的中点Q（）满足：   因此   即为所求的轨迹方程（3）类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设点M的坐标为（），则点

9、N的坐标为（），其中。又设点P的坐标为（），由，=，得将，代入得，命题得证。 例8 直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理，得，依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，故解得的取值范围为（2）设A、B两点的坐标分别为，则由式得，假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（），则由FAFB得即整理得把式及代入式化简得解得或（舍去）可得使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。&#

10、160;【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 椭圆的一条准线为，则椭圆的离心率等于（    ）A.     B.     C.     D. 2. 双曲线的离心率，则的取值范围是（    ）A.      B.      C.      D. 3. 若椭圆

11、和双曲线有相同的左、右焦点、，P是两条曲线的一个交点，则的值是（    ）A.      B.      C.      D. 4. 双曲线的焦点为、，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若，则（    ）A. 为定值     B. 为定值     C. 为定值    D. 不为定

12、值5. 设P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（    ）A.      B.      C.      D. 6. 若点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（    ）A.      B.      C.      D. 7

13、. 抛物线上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为（    ）A.      B.      C.     D. 8. 将离心率为的椭圆，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程为，则新椭圆的另一条准线方程为（    ）A.     B.     C.     D.

14、 二. 填空题1. 已知、是双曲线的两个焦点，PQ是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果，则双曲线的离心率是       。2. 已知点是椭圆上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是          。3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，这个正三角形的边长是        。4. 抛物线的弦AB垂直于轴，若，则焦点到AB

15、的距离为      。 三. 解答题1. 已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。2. 设AB是抛物线上的动弦，且（为常数），求弦AB中点M到轴的最近距离，并研究的情况。3. 求抛物线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。  【试题答案】一.1. A   2. B   3. A     4. C    5. A   

16、; 6. D   7. C   8. D 二. 1.     2.     3.      4.  三. 1. 解： 椭圆的中心在原点，焦点在轴上     椭圆的方程为标准方程             椭圆的方程可写成把直线代入椭圆的方程并整理得       弦的中点的横坐标为   ，      所求椭圆的方程为2. （1）解法一：设直线AB的方程为，A、B两点的坐标分别为，     由   得     ，化简得点M到轴的距离为当且仅当，即时“=”成立解法二：设A、M、B点的纵坐标分别为、，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为、