同济版高等数学教案定积分

1、 第五章 定积分 教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。§5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由

2、直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1

3、, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × 

4、5;+ f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段

5、时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<× × ×< t n-1&l

6、t; t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段t 0, t 1, t 1, t 2, × × ×, t n-1, t n , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,× × ×, Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, × × ×, DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i-1<t i< t i), 以t i时刻的速度v(t i)来代替t i-1, t i上

7、各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, × × × , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2,× × ×, Dt n, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0<x1<x2< ×

8、; × ×<xn-1<xn =b把区间a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, × × × , n). (2)任取x iÎxi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 (i=1, 2, × × × , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 . (3)记l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn

9、 , 所以曲边梯形面积的精确值为 . 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0<t1<t2<× × ×<t n-1<tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个小时间段: t0, t1, t1, t2, × × ×, tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, × × × , n). (2)任取tiÎti-1

10、, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti (i=1, 2, × × × , n); 所求路程S 的近似值为 . (3)记l=maxDt1, Dt2,× × ×, Dtn, 所求路程的精确值为 . 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0< x1< x2< × × ×< xn-1< x

11、n=b, 把区间a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, × × ×, xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1,× × ×, Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1< x i < xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积f (x i) Dxi (i=1, 2,× × ×, n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2,× × ×, D

12、xn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l®0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0<x1<x2< × × ×<xn-1<xn=b把a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, ×

13、; × ×, xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1(i=1, 2,× × ×, n). 任x iÎxi-1, xi (i=1, 2,× × ×, n), 作和 . 记l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和x i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 . 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为. 变速直线运动的路程为. 说明: (1)定积

14、分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)和通常称为f (x)的积分和. (3)如果函数f (x)在a, b上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间a, b上可积. 函数f(x)在a, b上满足什么条件时, f (x)在a, b上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间a, b上连续, 则f (x) 在a, b上可积. 定理2 设f (x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在a, b上可积. 定积分的几何意义: 在区间a, b上, 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲

15、边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; . 当f (x)既取得正值又取得负值时, 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方, 而其它部分在x轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x轴上方的图形面积赋以正号, 在x轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和. 用定积分的定义计算定积分: 例1. 利用定义计算定积分. 解 把区间0, 1分成n等份, 分点为

16、和小区间长度为 (i=1, 2,× × ×, n-1), (i=1, 2,× × ×, n) . 取(i=1, 2,× × ×, n), 作积分和 . 因为, 当l®0时, n®¥, 所以 . 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求. 解: 函数y=1-x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 . 三、定积分的性质

17、 两点规定: (1)当a=b时, . (2)当a>b时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 . 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式 成立. 例如, 当a<b<c时, 由于 , 于是有 . 性质4 如果在区间a b上f (x)º1 则 . 性质5 如果在区间a, b上 f (x)³0, 则 (a&

18、lt;b). 推论1 如果在区间a, b上 f (x)£ g(x) 则 (a<b). 这是因为g (x)-f (x)³0, 从而 , 所以 . 推论2 (a<b). 这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以 , 即 | . 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 (a<b). 证明 因为 m£ f (x)£ M , 所以 , 从而 . 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x , 使下

19、式成立: . 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以b-a 得 ,再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点x , 使 ,于是两端乘以b-a得中值公式 . 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论a<b还是a>b, 积分中值公式都成立. §5. 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S¢(t)(v(t)³0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为 及,即 . 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1

20、, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分 称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)在a, b上具有导数, 并且它的导数为 F¢(x)(a£x<b). 简要证明 若xÎ(a, b), 取Dx使x+DxÎ(a, b). DF=F(

21、x+Dx)-F(x) ,应用积分中值定理, 有DF=f (x)Dx, 其中x在x 与x+Dx之间, Dx®0时, x®x . 于是 F¢(x). 若x=a , 取Dx>0, 则同理可证F+¢(x)= f(a); 若x=b , 取Dx<0, 则同理可证F-¢(x)= f(b). 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x) 就是f (x)在a, b上的一个原函数. 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 三、牛顿-莱布尼茨公式 定理3 如果

22、函数F (x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数, 则 . 此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 这是因为F(x)和F(x)=都是f(x)的原函数, 所以存在常数C, 使 F(x)-F(x)=C (C为某一常数). 由F(a)-F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a), F(x)-F(x)=F(a). 由F(b)-F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)-F(a), 即 . 证明: 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数 F(x)=也是f(x)的一个原函数. 于是有一常数C, 使 F(x)-F(x)=C (a

23、63;x£b). 当x=a时, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 当x=b 时, F(b)-F(b)=F(a), 所以F(b)=F(b)-F(a), 即 . 为了方便起见, 可把F(b)-F(a)记成, 于是 . 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例1. 计算. 解: 由于是的一个原函数, 所以 . 例2 计算. 解 由于arctan x是的一个原函数, 所以 . 例3. 计算. 解: =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y=sin x在0, p上与x轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个

24、特例. 它的面积 =-(-1)-(-1)=2. 例5. 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间: 当t=0时, 汽车速度 v0=36km/hm/s=10m/s. 刹车后t时刻汽车的速度为 v(t)=v0+at =10-5t . 当汽车停止时, 速度v(t)=0, 从 v(t)=10-5t =0得, t=2(s). 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 (m), 即在刹车后, 汽车需走过10m才能停住. 例6. 设f(x)在0, +¥)内连续且f(x)>

25、0. 证明函数在(0, +¥)内为单调增加函数. 证明: , . 故.按假设, 当0<t<x时f (t)>0, (x-t)f (t)> 0 , 所以, , 从而F ¢(x)>0 (x>0), 这就证明了F (x) 在(0, +¥)内为单调增加函数. 例7. 求. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, . 提示: 设, 则. . §5. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t

26、)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j¢(t)在区间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)¢=F ¢j(t)j¢(t)= f j(t)j¢(t), 所以Fj(t)是f j(t)j¢(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 计算

27、(a>0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 或 . 例3 计算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 计算. 解 . 提示: , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 . 证明 因为,而 , 所以 . 讨论: 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x)

28、 =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则 . (2)令x=p-t, 则 , 所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-2=t, 则 . 提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2. 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程: . 例1

29、 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则 . 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时, ; (2)当n为大于1的正奇数时, . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 设(n为正整数), 证明 , . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特别地 , .因此 , . §5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f(x)在区间a, +¥)上连续, 取b>a . 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a, +¥)上的反常积分, 记作,

30、 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a, +¥)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-¥, b 上连续, 如果极限(a<b)存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-¥, b 上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分发散. 设函数f(x)在区间(-¥, +¥)上连续, 如果反常积分和都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥, +¥)上的反常积分, 记作, 即 . 这时也称反常积分收敛. 如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分发散. 定义1¢ 连续函数f(x)在区间a, +¥)上的反常积分定义为. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地, 连续函数f(x)在区间(-¥, b上和在区间(-¥, +¥)上的反常积分定义为. 反常积分的计算: 如果F(x)是f(x)的原函数, 则 . 可采用如下简记形式: . 类似