十一章习题解答

1、习题 11-1判别下列级数的敛散性：1. ； 2.；3. ； 4. ；5.；6.；7. ；8.解：1.， 而调和级数是发散的，故级数发散；2.，故级数发散；3因为级数收敛，而级数发散，故原级数发散；4因为，所以原级数发散；5.因为故原级数收敛；6.故级数发散。7.因为，故原级数发散；8.对于任意的自然数所以对于任意给定的正数，取自然数，则当时，对于任意的自然数都有成立。按柯西审敛原理该级数是收敛。习题 11-21.用比较判别法判别下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解（1）由于而级数收敛，根据比较判别法原级数收敛。（2）由于而几何级数收敛，根据比较判别法

2、原级数收敛。（3）因为，而发散，故原级数发散；（4），而级数收敛，故原级数收敛；（5）时， 此时级数收敛，时此时级数发散；（6），而级数收敛，所以原级数收敛。2.用比值判别法或根式判别法判别下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解（1），故级数收敛；（2），故级数收敛；（3），故级数收敛；（4），故级数发散；（5），故时收敛，时发散。习题 11-3下列级数哪些是绝对收敛、条件收敛或发散的： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：（1）由于而级数收敛，根据优级数判别法原级数绝对收敛。（2）因为，所以级数发散；（3）因为当时，而收敛，故原级数绝对

3、收敛；当时，令 ，则 而 ，从而当充分大时，又 ，由莱布尼茨判别法知级数条件收敛；当时，故此时级数发散。（4）因为 而级数发散，即原级数不绝对收敛，但单调递减且收敛于0，所以由莱布尼茨判别法知级数条件收敛。（5）由于级数发散，收敛，故原级数发散。（6）因为 ，而时级数显然收敛，故原级数时绝对收敛，时发散。习题 11-41. 研究级数在区间上的收敛性和一致收敛性.解：级数前项的和 ，由于所以级数收敛，但， 所以级数在区间上一致收敛。 2.按定义讨论下列函数列或级数在所给区间上的一致收敛性： （1）； （2）； （3）.解：（1）由于 ，所以，于是 即（2）由于对任意的有 因 ， 故 于是 （3）

4、由于对任意的有 在， 因， 故 于是 在上，故 ，于是在不一致收敛。3. 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性： (1); (2); (3); (4)解：（1）设则是正项级数，且有 即 收敛，而对，有，故由优级数判别法知在上一致收敛。（2）当时，有，且 因此当，即时，收敛，故由优级数判别法知在上一致收敛而当时，即时，由于所以在上不一致收敛。（3）由于 ，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。（4）由于 ，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。.习题 11-51.求下列幂级数收敛域：（1） ；（2）；（3）；（4）解：，所以当时幂级数收敛，当时发散。而当时由莱布尼茨判别法知级数收敛

5、；当时级数为发散。故此幂级数的收敛域为。（2），所以当，即时幂级数收敛，当时发散。而当时由莱布尼茨判别法知级数收敛，故此幂级数的收敛域为（3），所以当，即时幂级数收敛，当时发散。而当时其通项不收敛到0知级数发散，故此幂级数的收敛域为（4）， 所以当，即时幂级数收敛，当时发散。而当时由莱布尼茨判别法知级数收敛，当时幂级数为为发散级数，故此幂级数的收敛域为。2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于该级数的收敛区域为，即该级数的和函数由 （2）（3）由于该级数的收敛区域为，该级数的和函数=（4）由于该级数的收敛区域为，该级数的和函数习题 11

6、-61. 直接求函数的泰勒级数，并验证在整个数轴上收敛于这函数。解：因为 ， 且 故 2.用间接法将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）； （2）； (3) ；(4) ； (5)； (6).解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3.将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）； （2）； （3）.解：（1）(2)（3）4.将函数展开成的幂级数。解：5.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： （1）（误差不超过0.0001）； （2） （误差不超过0.001）.解：（1）由， 令 ，解出 ，以代人上式得取前四项作为近似值，则误差为。（2）由，知 由于

7、，所以。6. 利用被积函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：（1）（误差不超过）；，（2）（误差不超过）.解：（1）因为 所以 此为交错级数，且故 。（2）因为 所以 此为交错级数，且故。7.将函数展开成的幂级数。解：。习题 11-71.在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1） (2)解：（1） 1) 因为在上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。因为在上为奇函数，故，所以2）因为在上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。故 。（2） 1) 因为在上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。，所以2）因为在上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。故 2.把函数展开成傅立叶级数，并由它推出： （1） （2） （3）

8、解：因为是按段光滑，可以展开为傅立叶级数。其中所以当时，有 由 可得：当时，有 从而 3.对于三角级数 ，若级数 收敛，则它在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。证：因为 所以若级数 收敛，则由比较判别法知：三角级数绝对收敛，由优级数判别法知：三角级数一致收敛。4.设是以为周期的可积函数，证明的傅立叶系数为（其中为任意实数）证：。5. 设周期函数的周期为证明：（1）如果，则的傅立叶系数；（2）如果，则的傅立叶系数.证：（1）由于 故 同理有 （2）由于 故的傅立叶系数.同理有6.把下列各周期函数展开成傅立叶级数，其中一个周期内的表达式为：（1） （2）解： （1）因为在上为偶函数，故，故 （2）故

9、7.把函数 在上展开成余弦级数。解：对函数作偶式延拓后故 。8.将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。解：对函数作奇式延拓后，有，故对函数作偶式延拓后，有，故。复习题十一（A）1.填空（1）级数收敛的必要条件是。（2）正项级数的部分和数列是单调递增，所以其收敛的充分必要条件为部分和数列有界。（3）若级数收敛，则级数必收敛；若收敛，级数发散，则级数必发散。 （4）对于级数，当 时收敛，当 时发散。2.证明以下结果：（1）若正项级数收敛，则收敛；（2）若级数，收敛，则绝对收敛，也收敛； (3)若且级数绝对收敛，则级数也收敛。证明：（1）因为若正项级数收敛，所以，从而当充分大时， 此时，故由比较判别法

10、知收敛。 （2）若级数，收敛,则由，及比较判别法知绝对收敛，也收敛。 （3）若则由比较判别法的极限形式知与同敛散性，故当级数绝对收敛，则级数也绝对收敛，从而收敛。3.判断下列级数的收敛性： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解：（1），而发散，所以由比较判别法知正项级数发散；（2）因为 ，所以由比式判别法知正项级数发散；（3）因为 而 收敛所以由比较判别法知正项级数收敛；（4）因为 ，所以由比式判别法知正项级数发散；（5）因为，所以由比式判别法知正项级数收敛；（6）因为所以由根式判别法知正项级数收敛。4.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： （1）； （2）； （3）解:

11、（1）因为 ，而收敛，所以绝对收敛；（2）由于 ，当时，故这时级数绝对收敛；当时，由上知发散，令 ， 则而 ，故当充分大后，有，即单调递减，又由，所以由莱布尼茨判别法知此时级数条件收敛。（3）因为 而 发散，即原级数不绝对收敛，但单调递减，又由，所以由莱布尼茨判别法知条件收敛。5.利用级数收敛的必要条件证明下列等式： （1）； （2）证：（1）设，则正项级数收敛，这是因为故由收敛的必要条件知 ；（2）设，则正项级数收敛，这是因为故由收敛的必要条件知.6.求下列幂级数的收敛域： （1）； （2） ； （3）； （4）解：（1）因为 故 。由于而当时，级数为由莱布尼茨判别法知级数收敛；当时级数为收

12、敛性与等价，而发散。故此幂级数的收敛域为 （2）因为 故 。由于而当时，级数为 由通项不收敛0知级数发散；故此幂级数的收敛域为 (3)因为 故 。由于而当时，级数为 由莱布尼茨判别法知级数收敛；当时级数为收敛性与等价，而发散。故此幂级数的收敛域为 (4)因为 而当，级数发散，故 。故此幂级数的收敛域为.7.求下列级数的和或和函数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：（1）令 ，则，知该级数的收敛半径为， 当时，级数是发散的，故该级数的收敛域为 ，因此对故和函数（2）易知 的收敛域为 ，其和函数为 .而 即 故 ； （3）易知 的收敛域为 ，其和函数为 . =； （4）

13、的收敛域为 ，其和函数为 .=； （5）由于 , 所以 （6）设 ， 则其收敛域为，由于故 =8.将下列函数展开成的幂级数： (1) ; (2)解：由于 ， 所以 =；（2）由于 所以 。9. 设是以为周期的函数，它在上的表达式为试将展开成傅立叶级数。解：10. 将函数 分别展开成正弦级数或余弦级数解： 对函数作奇式延拓后，有，故。对函数作偶式延拓后，有，故。复习题十一（B）1.填空题已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。 （08年考研题）2.选择题：（1） 若级数收敛，则级数（D） （06年考研题）（A）收敛； （B）收敛； （C）收敛； （D）收敛。 （2） 设有两个数列，若，则 （C）（09年考研题） （A）收敛时，收敛； （B）发散时，发散；（C）收敛时，收敛； （D）发散时，发散。（3） 设为数列，则下列命题正确的是： （A） （11年考研题） （A）收敛时，收敛； （B）收敛时，收敛； （C）收敛时，收敛； （D）收敛时，收敛。3.将函数展开成的幂级数。 （06年考研题）解：由知 4.求幂级数的收敛域及和函数。 （10年考研题）解: 令 ，则，知该级数的收敛半径为， 当时，级数是收敛的，故该级数的收敛域为 -1,1，和函数