北京市第十五高三理科数学期中试卷及答案

1、北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将第卷的答案填涂在机读卡上，第卷的答案作答在答题纸上。 第卷 （选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案填涂在机读卡上）1设集合Ax|x2，Bx|x21，则AB()Ax|1x2 Bx|x1 Cx|x2 Dx|1x22复数的虚部为()A B C D3函数f(x)的定义域是()A BC D4在平面直角坐标系中，已知，则的值为 ()ABCD5已知数列的前项和，则 ()ABCD6的值为 ()ABCD7“”是“函数在内

2、存在零点”的 ( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8一张报纸，其厚度为a，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为 ()A8a B64a C128a D256a9直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D410若a，b均为大于1的正数，且ab100，则lg a·lg b的最大值是()A0 B1 C2 D11某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）（A）（B）（C）（D）12某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人

3、数2158302002501546767457065280 行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( ) (A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.第卷 （非选择题，共25分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上）13等差数列an中，若a2a82，则a5_ 14已知函数f(x) 则ff(3)_15函数的单调递增区间是_16设,其中

4、实数满足,若的最大值为12,则实数 17已知95个数a1，a2，a3，a95， 则a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 三、解答题：（本大题共5个小题，共65分）18（本小题满分13分）已知函数，（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值19. （本小题满分13分）已知中，内角，的对边分别为， ，（）求的值；（）求的面积20（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点. ，（）求证：/平面；（）求证：平面；（）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由21（本题满分13分）设是在点处的切线（）求的解析式；（）求证：；（）设，

5、其中若对恒成立，求的取值范围22（本小题满分13分）对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P例如具有性质P（）若x2，且具有性质P，求x的值； （）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn1时，x1=1； （）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式北京十五中高三年级、数学理科试卷答案2017.11一、选择题题号12345678答案AA DBDCAC题号9101112答案DBCB二、填空题13、1 14、2 15、 16、2 17、13三、解答题18、解：（） ， 的最小正周期 6分（）由，得，所以， 函数在区间上的最大值为，

6、最小值为13分19、（本小题满分13分）解：（）在中，且，所以 因为，且 ， 所以 所以 6分（）因为，所以， 所以或（舍） 所以 13分20、解：（）连结交于，连结在中，因为，分别为， 中点，所以/ 又因为平面，平面，所以/平面 3分（）因为侧棱底面，平面，所以又因为为棱中点， 所以因为，所以平面所以 因为为棱中点，所以又因为，所以在和中，所以，即所以 因为，所以平面 8分（）当点为中点时，即，平面平面 设中点为，连结，因为，分别为，中点，所以/，且又因为为中点，所以/，且所以/， 因为平面，所以平面又因为平面，所以平面平面13分21、解：（）设，则，所以所以 3分（）令 满足，且当时，故单

7、调递减；当时，故单调递增 所以，）所以8分（）的定义域是，且 当时，由（）得 ， 所以 所以 在区间上单调递增， 所以 恒成立，符合题意 当时，由，且的导数， 所以 在区间上单调递增10分 因为 ， 于是存在，使得12分 所以 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 ，此时不会恒成立，不符合题意 综上，的取值范围是13分22、解（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. 所以x=2b，从而x=4. 3分 （2）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1ÎX. 假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-

8、1.若=-1，则，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1. 8分 （3）解法一猜测，i=1, 2, , n. 记，k=2, 3, , n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足； 当且时，、1. 因为具有性质P，所以有，、Î，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设Î且Ï，则.由，得，与Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则，所以，这不可能； 所以，又，所以. 综上所述，i=1, 2, , n