北师大数学九上4角平分线练习题目3

1、九年级上第一章第四节角平分线试题资料库：例1.如下图，AP、BP分别平分ABO的外角，AOB40°，则AOP 。解：20°例2.如图ABC中，ABAC，BD、CE分别是ABC两底角的平分线，求证：BDCE。证明：ABC中ABACABCACB.又BD、CE分别平分ABC和ACB12在BDC与CEB中BDCCEB（ASA）BDCE例3. 已知：如图，C=90°B=30°，AD是RtABC的角平分线。求证：BD=2CD。分析：根据已知条件可求出BAC的度数，再由AD是ABC的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。证明：由C=90

2、6;，B=30°，知BAC=60°。因AD是ABC的角平分线，故BAD=CAD=30°。则B=BAD。可知AD=BD。在ADC中，DAC=30°，C=90°，则AD=2CD。故BD=2CD。引申：该题中，若条件不变，如上图，从D点向AB作垂线交AB于点E，请问： ADEADC是否成立？BD=2DE是否成立？不难看出，因为AD是ABC的角平分线，由角平分线的性质可知DE=DC，则ADE与ADC全等的条件可轻松找到，BD=2DE显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的

3、距离相等”依然是一个重要的解题条件。例4. 已知：如下图，ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F。求证：点F在DAE的平分线上。分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，所以不妨过点F分别作BD，BC，CE的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。证明：如上图，过点F分别作BD，BC，CE的垂线段FG，FH，FM。因BF是CBD的平分线，所以FG=FH。同理FH=FM，则FG=FM。因点F在DAE内，且点F到AD，AE的距离相等，故点F在DAE的平分线上。引申：该题中

4、，若条件不变，请问：A与BFC有怎样的数量关系？请同学们进一步探索。例5. 已知：如图1所示，ABC，ACB的平分线交于F，过F作DE/BC，交AB于D，交AC于E，求证：（1）BD+EC=DE图1（2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。图2（3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。图3 证明：（1）DE/BC，2=3 1=2，1=3 BD=DF，同理FE=EC BD+EC=DF+FE=DE （2）DE=BDCE （3）DE=BD+CE 例6. 如图所示，ABC

5、的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DEAB于E，且AB>AC，求证：BEAC=AE 证明：过D作DNAC垂足为N，连结DB、DC 则DN=DE，DB=DC 又DEAB，DNAC  例7. 已知：如图所示PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。 证明：过P作PEAC于E PA、PC分别是MAC 与NCA的平分线且PDBM，PFBN PD=PE，PF=PE PD=PF 又PDBM，PFBN 点P在MBN的平分线上 即BP为MBN的平分线 例8. 如图DE是ABC的AB边的

6、垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分，求C的度数。解答：DE是AB的垂直平分线EAEBABE1又AE平分BAC21即BACCBBAC例9. 如图BD是ABC的角平分线，DE/BC交AB于E。求证：BED是等腰三角形。证明：BD是ABC的角平分线EBDDBCDE/BCEDBDBCEBDEDBEBED，即BED是等腰三角形例10. 已知：P是AOB内一点，PDOA，PE OB，D，E分别是垂足，且PDPE，则点P在AOB的平分线上，请说明理由。分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点”。直接说明点P在AOB的平分线上不易说明，可以反过来先过P作射线OP，说明OP平分AOB，这样就相当于

7、说明了点P在角的平分线上。此时问题就转化为说明DOPEOP。解：作射线OP。PDOA，PE OB PDOPEO90°PDPE，OPOP RtPDORtPEO（HL）DOPEOP即P点在AOB的平分线上。归纳：在直接说明某个问题有困难时，我们常常把问题进行转化成可以直接说明的问题来解决。例如：请说明三角形的三个角的平分线刚好相交于一点。我们知道两直线相交只有一个交点，于是两个角的平分线CD、BE相交于点O，想说明第三个角的平分线也刚好经过O点不易，因此可转化为“连结OA，说明AO平分CAB”，即说明OABOAC，就相当于说明了第三个角的平分线与前两个角的平分线相交于一点。例11. 如下

8、图，等腰直角ABC中，ABAC，BD平分ABC，DEBC于E。试说明：ABBE。 分析：AB、BE分别属于两个直角三角形，要说明它们相等，只要能够说明它们所在的直角三角形全等即可。解：等腰直角ABC中，A90°，ABACDEBC，BD平分ABCDADE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）ADEB90°，DADE，BDBDRtADBRtEDB（HL）ABBE。变式：说明上题中AB+ADBC。你能说明吗？学习小结：这节内容要注意两点：一是勾股定理与其逆定理表述上的区别；二是判定直角三角形全等时若使用HL，一定要强调直角三角形，若仍用SAS、ASA、AAS或SSS来判定直角三

9、角形全等，则不需要强调直角三角形。例12. 如图1，在RtABC中，BAC=90°，B=30°，C=60°，AT平分BAC，AHBC，垂足为H，则TAH=_。图1解析：因AHBC，所以TAH=90°ATH。由三角形外角性质可知，ATH=BBATBAT=BAC=（180°BC）=90°（BC）ATH=B90°（BC）TAH=90°B90°（BC）=（CB）=15°想一想，如果BAC是锐角或者钝角，那么TAH=（CB）还成立吗？自己动手做做看2. 过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，角平

10、分线与垂线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。例13 如图2，在ABC中，B<C，AQ平分BAC，AQ交BC于点Q，点T是AQ延长线上的一点，THBC于点H，试说明HTA=（CB）。图2来解析：过点A作AH'BC，则AH'/TH。根据平行线的性质，可得HTA=AQH'由上题的结论，可得QAH'=（CB）故HTA=（CB）例14. 如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：。分析：要证，、在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。证明：过点P作，垂足分别为M、N因OC是角平分线，故PM=PN由PD=PE，PM=PN，得则，而点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。例15. 如图2，在中，的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。分析：要证BM=CN，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑的平分线与BC边的垂直