西工大与西安交大期末复习考研备考自动控制原理4.2 根轨迹绘制的基本法则1

1、124 4 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法一、根轨迹二、根轨迹与系统的性能三、根轨迹法四、闭环零、极点与开环零、极点的关系五、根轨迹方程3根轨迹：根轨迹：当系统的当系统的某个参数某个参数由零到无穷大变化时，系统由零到无穷大变化时，系统闭闭环特征根环特征根(极点极点)在在 平面上移动平面上移动(变化变化)的的轨迹轨迹。s复习复习4下列说法正确的有根轨迹的前提条件通常是开环传递函数根轨迹的前提条件通常是闭环传递函数根轨迹表达的是开环极点的轨迹根轨迹表达的是闭环极点的轨迹ABCD提交多选题1分51 1、稳定性、稳定性根轨迹与根轨迹与 平面虚轴交点处的平面虚轴交点处的 值：值：临界开环增益临界开

2、环增益sKLK以以例例1系统为例分析系统为例分析根轨迹与系统根轨迹与系统性能之间的关系性能之间的关系 、都位于、都位于 平面的平面的左半平面左半平面1s2ss系统稳定系统稳定二、二、根轨迹与系统的性根轨迹与系统的性能能62 2、稳态性能、稳态性能0, avpKKKK型系统，系统静态误差系数为：型系统，系统静态误差系数为：系统稳态误差的要求系统稳态误差的要求确定系统确定系统闭环极点位置允许范围闭环极点位置允许范围)15.0()( ssKsGk0K 系统系统开环增益开环增益 的取值范围的取值范围K二、二、根轨迹与系统的性根轨迹与系统的性能能73 3、动态性能、动态性能当当 时，系统时，系统过阻尼过

3、阻尼，系统阶，系统阶跃响应为非周期单调上升过程。跃响应为非周期单调上升过程。 当当 时，系统时，系统临界阻尼临界阻尼，系统有两，系统有两个相等的负实根个相等的负实根 ，其阶跃响应，其阶跃响应为非周期过程。为非周期过程。当当 时，系统时，系统欠阻尼欠阻尼，系统阶跃，系统阶跃响应为衰减的振荡过程，而且系统超调响应为衰减的振荡过程，而且系统超调量量 随随 增大而增大，调节时间随增大而增大，调节时间随 的变化不明显。的变化不明显。5.00 K12,1 s5.0 K% KK5.0 K二、二、根轨迹与系统的性根轨迹与系统的性能能8根轨迹法根轨迹法：根据系统的结构、参数根据系统的结构、参数(即系统的即系统的

4、开环传递开环传递函数函数)给给出系统的出系统的根轨迹图根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统进行，并利用系统根轨迹对系统进行分析分析和设计和设计。关键关键：系统的根轨迹图系统的根轨迹图前提前提：系统的开环传递函数系统的开环传递函数方法方法：图解法图解法（不进行解析计算）（不进行解析计算）三、三、根轨迹法根轨迹法9)(sG)(sH)(sR)(sC控制系统结构图控制系统结构图四、闭环零、极点与开环零、极点的关系四、闭环零、极点与开环零、极点的关系10 qiifiiGvGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()( 系统前系统前向向通道通道传递

5、函数传递函数 hjjljjHhhhhvhhhhHpszsKsTsTsTssssKsH11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(1 :反馈通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益。*HK反馈通道传递反馈通道传递函数函数GK221221*TTKKGG ：前向通道增前向通道增益益；：前向通道前向通道根轨迹根轨迹增增益益。四、闭环零、极点与开环零、极点的关系四、闭环零、极点与开环零、极点的关系11 系统的开环传递函数：系统的开环传递函数： ：开环根轨迹增益开环根轨迹增益； hjjqiiljjfiiKpspszszsKsHsGsG1111*)()()()()()()(*HGKKK n

6、hqmlf ；系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数： mjjniihjjfiiGKzsKpspszsKsHsGsGsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(1)()(*GK：闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益。四、闭环零、极点与开环零、极点的关系四、闭环零、极点与开环零、极点的关系12闭环闭环系统根轨迹增系统根轨迹增益益系统系统前向通道前向通道根轨迹增根轨迹增益益 ；当当 时，时，对于单位反馈系统，闭环对于单位反馈系统，闭环系系统统根轨迹增根轨迹增益开环益开环系统系统根轨迹增益根轨迹增益 ；闭环零点闭环零点由由前向通道前向通道 零点零点和和反馈通道反馈通道 的的极点组合极点组合而成。对

7、而成。对于于单位反馈系统，闭环零点开单位反馈系统，闭环零点开环零点环零点闭环闭环极极点点与与开环开环零点零点、开环极点、开环极点、开环根轨迹增开环根轨迹增益益均有关均有关。*GKmn *K)(sG)(sH结论：结论：四、闭环零、极点与开环零、极点的关系四、闭环零、极点与开环零、极点的关系13根轨迹法的根轨迹法的根本任务根本任务：根据根据已知的开环传递函数已知的开环传递函数 ，(开环零、极点的分布及开环根轨迹增益开环零、极点的分布及开环根轨迹增益 )找出找出系统的闭环极点系统的闭环极点(图解法图解法) 确定确定系统的闭环传递函数。系统的闭环传递函数。)()()(sHsGsGK *K在已知系统闭环

8、传递函数的情况下，闭环系统的时在已知系统闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应，可利用间响应，可利用拉氏变换法拉氏变换法求出，或利用计算机算出。求出，或利用计算机算出。四、闭环零、极点与开环零、极点的关系四、闭环零、极点与开环零、极点的关系14 niimjjKpszsKsHsGsG11*)()()()()(系统开环传递函数系统开环传递函数根轨迹方程根轨迹方程0)(1 sGK0)()(1 sHsG负反馈系统的闭环特征方程负反馈系统的闭环特征方程1)()( sHsG1)()(11* niimjjpszsK五、五、根轨迹方程根轨迹方程151)()(11* niimjjpszsK1)()( sHsG

9、jz：已知的开环零点已知的开环零点ip：已知的开环极点已知的开环极点0*K：开环根轨迹增益，变化范围开环根轨迹增益，变化范围s：闭环特征方程式的根（闭环极点）闭环特征方程式的根（闭环极点）五、五、根轨迹方程根轨迹方程16 )12()()(1)()( kjsHsGjeesHsG），210(11)12( kekj 根轨迹方程的实根轨迹方程的实质：质：向量方程向量方程1)()( sHsG ），（，（2, 1, 0)12()()(1)()(kksHsGsHsG 五、五、根轨迹方程根轨迹方程171)()( sHsG111* niimjjpszsK幅值条件幅值条件 )12()()(11 kpszsniim

10、jj )12()()( ksHsG相角条件相角条件根轨迹上的点根轨迹上的点应同时满足应同时满足幅值条件幅值条件和和相角条件相角条件根轨迹上根轨迹上各点对应的各点对应的 值值*K幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件s平面上的根轨迹平面上的根轨迹五、五、根轨迹方程根轨迹方程18注意：注意：相角条件相角条件是确定是确定 平面上根轨迹的平面上根轨迹的充要条件充要条件。s原因原因：幅值条件与：幅值条件与 有关，而相角条件与有关，而相角条件与 无关。无关。任何一个满足相角条件的任何一个满足相角条件的 值，代入幅值条件值，代入幅值条件总可以求出一个总可以求出一个相应相应的的 值。值。*K*Ks*K结论：结论

11、：相角条件是确定根轨迹的充要条件相角条件是确定根轨迹的充要条件（满足相角条件的（满足相角条件的 值，必同时满足幅值条件）值，必同时满足幅值条件）s1*1111()()(21)mjjniimnjijiszKspszspk五、五、根轨迹方程根轨迹方程19根轨迹根轨迹根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能根轨迹法根轨迹法闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系根轨迹方程根轨迹方程作业作业：4-1理解根轨迹和系统参数、性能的关系；理解根轨迹和系统参数、性能的关系；掌握根轨迹方程。掌握根轨迹方程。小小 结结204 4 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法21思思 路路：以系统以系统

12、开环根轨迹增益开环根轨迹增益 为为可变参数可变参数为例介绍绘为例介绍绘制根轨迹的基本法则。对系统其它参数变化时的根轨迹，制根轨迹的基本法则。对系统其它参数变化时的根轨迹，经过适当变换，这些法则仍可应用。经过适当变换，这些法则仍可应用。基本过程基本过程：1 根据绘制根轨迹的基本法则，由一些简单的运算，根据绘制根轨迹的基本法则，由一些简单的运算，画出根轨迹的画出根轨迹的大致图形大致图形(称为概略根轨迹称为概略根轨迹)；2 再利用根轨迹方程进行修正，就得到根轨迹的再利用根轨迹方程进行修正，就得到根轨迹的准确准确图形图形。*K一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则221、根轨迹的分支数、根轨

13、迹的分支数2、根轨迹的连续性和对称性、根轨迹的连续性和对称性3、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹6、根轨迹的会合点和分离点、根轨迹的会合点和分离点7、根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）、根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）8、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点9、闭环特征根（闭环极点）的和与积、闭环特征根（闭环极点）的和与积10、 开环根轨迹增益开环根轨迹增益 (或开环增益或开环增益 )的求取的求取一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则23结论结论：根轨迹在：根轨迹在 平面上的平面上的分支数分

14、支数等于闭环特征方等于闭环特征方程式的程式的阶数阶数。即：根轨迹的即：根轨迹的分支数分支数与与系统闭环极点数目系统闭环极点数目相同。相同。1 1、根轨迹的分支数、根轨迹的分支数A：根轨迹是系统闭环特征根随系统某个参数的变化：根轨迹是系统闭环特征根随系统某个参数的变化在在 平面上移动的平面上移动的轨迹轨迹B：n阶系统的闭环特征方程有阶系统的闭环特征方程有n个根个根推知推知：必有：必有n条根轨迹反映这条根轨迹反映这n个根随参数变化在个根随参数变化在 平面上的移动平面上的移动sss一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则24A：系统特征方程式的：系统特征方程式的某些系数某些系数是系统开环根轨

15、迹增益是系统开环根轨迹增益 的的函数函数，所以当，所以当 在在 之间连续变化时，系统闭环特之间连续变化时，系统闭环特征方程式的某些征方程式的某些系数也随之连续变化系数也随之连续变化。故：闭环特征根的变化也是连续的，故：闭环特征根的变化也是连续的，根轨迹也是连续的根轨迹也是连续的。B：系统：系统闭环特征方程式的系数闭环特征方程式的系数仅与仅与系统的参数有关系统的参数有关，对实，对实际的物理系统，这些参数都是际的物理系统，这些参数都是实数实数。故：对具有实系数的代数方程式，其根为实数、复数或零。故：对具有实系数的代数方程式，其根为实数、复数或零。若为复数，则必为若为复数，则必为对称于实轴对称于实轴

16、的共轭复数。的共轭复数。结论：根轨迹是结论：根轨迹是对称于实轴的连续曲线对称于实轴的连续曲线。2 2、 根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性*K*K0一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则25根轨迹的根轨迹的起点起点：当：当 时，系统闭环特征根时，系统闭环特征根(闭环闭环极点极点)在在 平面上的分布位置；平面上的分布位置；根轨迹的根轨迹的终点终点：当：当 时，闭环特征根在时，闭环特征根在 平面平面上的分布位置。上的分布位置。系统系统根轨迹方程根轨迹方程可写成如下形式：可写成如下形式： 或或3 3、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点0* K*Ks1)()(11* niimj

17、jpszsK0)()(1*1 mjjniizsKpss一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则26当当 时，必须有时，必须有 故：此时闭环特征根与故：此时闭环特征根与开环极点开环极点重合。重合。当当 时，必须有时，必须有 故：此时闭环特征根与故：此时闭环特征根与开环零点开环零点重合。重合。注意注意： 若开环零点数目若开环零点数目 小于闭环特征根数目小于闭环特征根数目 ，则可认为，则可认为有有 个开环零点个开环零点位于无穷远处位于无穷远处。 0* K），（nipsi21 *K），（mjzsj21 nmmn 3 3、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘

18、制的基本法则27mnszspsKmnsmjjniis ,lim)()(lim11*因此：开环零点数目因此：开环零点数目 小于闭环特征根数目小于闭环特征根数目 ，可认为，可认为有有 个开环零点个开环零点位于无穷远处位于无穷远处。即：当时，系统闭环特征根中有即：当时，系统闭环特征根中有 个与个与开环零开环零点点重合，有重合，有 个分布在个分布在 平面的无穷远处。平面的无穷远处。nmmn *Ksmmn 3 3、 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则28如果把有限数值的开环零点称为如果把有限数值的开环零点称为有限零点有限零点，把无穷远处的，把无穷远处的开

19、环零点称为开环零点称为无限零点无限零点，那么就有：，那么就有：结论：根轨迹结论：根轨迹起始于开环极点起始于开环极点，终止于开环零点终止于开环零点。在绘制在绘制其它参数其它参数变化下的根轨迹时，可能会出现变化下的根轨迹时，可能会出现 的情况。此时当的情况。此时当 时，必有时，必有 条根轨迹的条根轨迹的起点起点在无穷远处在无穷远处。把无穷远处开环极点看成把无穷远处开环极点看成无限极点无限极点，则上述结论同样成立。，则上述结论同样成立。nm 0* Knm 3 3、 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则29由法则由法则3：当：当 时，将有时，将有 条根轨

20、迹条根轨迹终止于终止于 平面的无穷远处平面的无穷远处。下面讨论这下面讨论这 条根轨迹条根轨迹沿何方向沿何方向趋于无穷远处。趋于无穷远处。表征这些方位的称为表征这些方位的称为根轨迹渐近线根轨迹渐近线，由根轨迹方程得：，由根轨迹方程得：4 4、 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线mns*1111111)()()()(Kpspszszsniinininmjjmjmjm mn mn 一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则30当当 时，由于时，由于 ，满足上式的，满足上式的 也必趋向也必趋向于无穷远处，即于无穷远处，即 ，此时上式，此时上式可近似可近似写成：写成： 亦即：亦即：两边两边开开 次方次方

21、可得：可得：*Kss*1111 )()(Kspzsnmniimjjnm *111)()(1Kspzsniimjjnm nm nm 4 4、 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则31根据根据二项式定理二项式定理，将等式左边展开得：，将等式左边展开得：nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1(11111(1)1()nmnmijijijijmnpzpzsmn s 112111(1)()2!nmijijpzmnmns L L4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则32当当 很大很大时，时，近似近似有：有：

22、又可写为：又可写为：ssnmzpszpmjjniinmmjjnii)(1)1(11111 nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1(mnmjjniiKmnzps 1*11)(这就是这就是渐近线方程渐近线方程，但，但不够直接不够直接。4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则33若令若令 并代入上式，得：并代入上式，得：即：即：注意到：注意到： js mnmjjniiKmnzpj 1*11)( mnmnmjjniiKjmnzp 11*11)1()()( ), 1 ,0( 1)12( kekj 4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹

23、绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则34则有：则有：mnkjmnmjjniieKjmnzp )12(1*11)()( mnzpmnkmnkmjjniiaa11110)12( ），（amnamnaKjKj sin)(cos)()(1*1* 令：令：则有：则有：4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则35这就是渐近线方程式的这就是渐近线方程式的最终形式最终形式。上式上式实部、虚部分别相等实部、虚部分别相等，有：，有：相除可得：相除可得： 或：或： amnamnaKK sin)(cos)(1*1*aaaatg cossinaatg )( 4 4、根轨迹

24、的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则36显然，在显然，在 平面上，它是一个直线方程。平面上，它是一个直线方程。直线与直线与正实轴的夹角正实轴的夹角：直线与直线与实轴交点实轴交点：aatg )( s），（11 ,0)12( mnkmnka mnzpmjjniia 11 4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则37 可得可得法则法则4 4：当系统开环有限极点数大于有限零点数时，：当系统开环有限极点数大于有限零点数时，系统有系统有 条根轨迹分支分别沿着条根轨迹分支分别沿着 条渐近线趋向条渐近线趋向于无穷远处。于无穷远处

25、。 这这 条渐近线在条渐近线在实轴的交点实轴的交点以及与以及与正正实轴的夹角实轴的夹角为：为： ），（110)12(11mnkmnkmnzpamjjniia mn mn mn 4 4、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则38根据根轨迹方程的根据根轨迹方程的相角条件相角条件考察考察实轴上的点实轴上的点 。 5 5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹 )12()()(11 kpszsniimjj1s结论结论A：在确定实轴上的根轨迹时，：在确定实轴上的根轨迹时，不必考虑开环复不必考虑开环复 数零点、极点数零点、极点的影响。的影响。A：开环系统：开环系统共轭复数极

26、点共轭复数极点(或零点或零点)到点到点 的向量的幅角和均的向量的幅角和均为为 ，故它们均不影响相角，故它们均不影响相角条件。条件。1s 21s1z3p4p2p1p2z3 4 1 2 一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则391s1z3p4p2p1p2z结论结论B：在确定实轴上的根轨迹时，：在确定实轴上的根轨迹时，不必考虑考察点左侧不必考虑考察点左侧的开环实数零、极点的影响。的开环实数零、极点的影响。5 5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹B： 位于考察点位于考察点 左侧的开环实左侧的开环实数零、极点到这一点的向量数零、极点到这一点的向量的幅角为零，它们不影响根的幅角为零，它们不影响根轨

27、迹中的相角条件。轨迹中的相角条件。1s一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则40结论结论：在确定实轴上的根轨迹时，只需考虑考察点：在确定实轴上的根轨迹时，只需考虑考察点 右侧右侧的开环实数零、极点的开环实数零、极点。1s1z3p4p2p1p2zC： 位于考察点位于考察点 右侧的开环实右侧的开环实数零、极点到这一点的向量数零、极点到这一点的向量的幅角为的幅角为 。1s 1801s5 5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则41)180(180180180 pzpzNNNN若设考察点若设考察点 右侧右侧的开环的开环实数零点数实数零点数为为 ，开环

28、，开环实数实数极点数极点数为为 ，它们到考察点，它们到考察点 的向量之幅角为：的向量之幅角为：1szNpN1s而而 和和 代表代表相同角度相同角度，因此，上式又可写成：，因此，上式又可写成：根据根据相角条件相角条件，应有：，应有：要使上式成立，只有当要使上式成立，只有当 为奇数为奇数时。时。 180 180 180)(180180pzpzNNNN 180)12(180)(kNNpzpzNN 5 5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则42法则法则5：实轴上的某一区域，若其实轴上的某一区域，若其右侧右侧的开环零、极点个数的开环零、极点个数之之和为奇数和为

29、奇数，则该区域必是根轨迹。，则该区域必是根轨迹。5 5、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则43两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 平面上平面上相遇又立即相遇又立即分开的点分开的点，称为根轨迹的，称为根轨迹的会合点和分离点会合点和分离点。会合点和分离点的分布：会合点和分离点的分布：根轨迹对称于实轴，故其分离点或位于根轨迹对称于实轴，故其分离点或位于实轴上实轴上，或，或以以共轭成对共轭成对的形式出现在复平面中。的形式出现在复平面中。6 6、根轨迹的会合点和分离点、根轨迹的会合点和分离点sA A：一般情况下，常见的根轨迹分离点：一般情

30、况下，常见的根轨迹分离点位于实轴上位于实轴上。B B：如果根轨迹位于实轴上的：如果根轨迹位于实轴上的两个开环极点两个开环极点( (或零点或零点) )之之间间，则在这两个开环极点，则在这两个开环极点( (或零点或零点) )之间之间至少至少有一个有一个分离点。分离点。一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则44分离点的计算：分离点的计算： 会合点和分离点即为根轨迹的交点，它必为闭环会合点和分离点即为根轨迹的交点，它必为闭环系统的系统的重根重根。故可由。故可由特征方程和对特征方程求导联解特征方程和对特征方程求导联解得出。得出。 设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：则系统的特征方程

31、式为：则系统的特征方程式为：)()()()()()()(*11*sNsMKpszsKsHsGsGniimjjK 6 6、根轨迹的会合点和分离点、根轨迹的会合点和分离点一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则45或：或：对上式求导可得：对上式求导可得：上两式联立，并上两式联立，并消去消去 ，得：，得：0)()(1)()(1)(1*11* sNsMKpszsKsGniimjjK0)()()()(*1*1 sMKsNzsKpsmjjnii0)()( )()(*1*1 sMKsNdsdzsKpsdsdmjjnii*K6 6、根轨迹的会合点和分离点、根轨迹的会合点和分离点一、根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹绘制的基本法则46或写成：或写成：当已知当已知 和和 时，解上式，即可求得时，解上式，即可求得分离点。分离点。另外另外：也可根据根轨迹方程，推导出计算分离点：也可根据根轨迹方程，推导出计算分离点 的的方程：方程：0)()()(