均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)-不等式均值公式

1、WORD格式均值不等式归纳总结专业资料整理WORD格式1. (1) 假设a, bR ，那么 a2b22ab (2)假设 a,ba 2b 2R ，那么ab2时取“=2. (1) 假设a,bR*，那么abab (2)假设 a,bR*，那么 a b2 ab2时取“=当且仅当当且仅当a ba b专业资料整理WORD格式a b2(3)假设a, b*，那么ab(当且仅当ab 时取“=R2专业资料整理WORD格式3.假设假设x0，那么 x1(当且仅当x1 时取“=2xx0，那么 x12 (当且仅当 x1 时取“=x专业资料整理WORD格式假设 x0 ，那么x12即x12或 x 1-2(当且仅当ab 时取“=

2、xxx专业资料整理WORD格式4.假设ab0 ，那么ab2ba假设 ab0 ，那么abba5.假设a, bR ，那么(a b)22(当且仅当ab 时取“=2即ab2或ab-2 (当且仅当 ab 时取“=babaa 2b 2当且仅当 ab 时取“=2专业资料整理WORD格式ps.(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大(2) 求最值的条件“一正，二定，三取等(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值X围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用专业资料整理WORD格式应用一：求最值例 1：求以下函

3、数的值域111y3x22yx2x2x专业资料整理WORD格式11解： (1)y 3x 223x 2·6 值域为 6 ，+2x 22x2121(2) 当 x0 时， yxx·2；xx当 x0 时， yx111= x2x· =2xxx值域为，22 ，+解题技巧技巧一：凑项例 x5 ，求函数y 4 x21的最大值。44 x5解：因4x 5 0，所以首先要“调整符号，又(4 x2)1不是常数，所以对4 x 54x 2 要进展拆、凑项，54 x 0 ，y 4x 215 4x132 3 1x, 54x54x45当且仅当54x1，即 x1 时，上式等号成立，故当x1 时，yma

4、x1。4x5评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当时，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2 x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可。专业资料整理WORD格式当，即 x2 时取等号当 x2 时， yx(82x) 的最大值为8。专业资料整理WORD格式评注：此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设 0x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值。232x32

5、x2解：y4x(392x) 2 2x(3 2x) 20x23 2x 022当且仅当 2x32x, 即 x30, 3时等号成立。42技巧三：别离例 3. 求yx27 x 10 ( x1) 的值域。x 1解析一：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有 x1的项，再将其别离。当,即时, y2 x 1)45 9 当且仅当x1时取“号。x1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x 1，化简原式在别离求最值。2t25t 44(t 1) 7(t1 +10ty=t5tt当,即 t=49当t=2即x1时取“号。时, y 2 t5t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后

6、将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为AB( A 0, B 0) ，g(x)恒正y mg( x)g(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。a技巧五：在应用最值定理求最值时， 假设遇等号取不到的情况， 结合函数f ( x)xx的单调性。例：求函数 yx25 的值域。x24专业资料整理WORD格式解：令 x24 t(t2) ，那么yx25241t12)x2xx24(t4t因 t0, t11 ，但 t1解得 t1 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 yt1在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故ty5 。2所以，所求函数的值域为5 ,。2

7、练习求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x的值 .x23x 1 ,( x 0)111y2y2x, x3(3) y, x (0, )2sin xxx3sin x20x1，求函数yx(1x) 的最大值 .；30x2，求函数 yx(2 3x)3的最大值 .条件求最值1.假设实数满足ab2 ，那么 3a3b的最小值是.分析：“和到“积是一个缩小的过程而，且 3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数， 3a3b2 3a3b2 3a b6当 3a3b时等号成立，由 ab 2 及 3a3b得 ab 1即当 ab 1时， 3a3b的最小值是 6变式：假设 log 4 x log 4

8、 y112 ，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换专业资料整理WORD格式屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。专业资料整理WORD格式2：x0, y 0 ，且191，求 xy 的最小值。xy错 解 ：x 0, y 0 ， 且19，199故1x yx y 22 xy 12 xyxyxyxy min12 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2xy 等号成立条件是xy ，在1929等号成立条件是 19即 y9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因xyxyxy此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否

9、有误的一种方法。正解： x0, y 0, 191， x y x y19y9 x10 61016xyxyxy当且仅当 y9x 时，上式等号成立，又191 ，可得x4, y12时， x y min 16 。xyxy变式： 1假设 x, y R且 2 x y1，求11 的最小值xy(2)a, b, x, yR 且ab1 ，求xy 的最小值xy技巧七y 2 x，y 为正实数，且 x 21，求 x1y2的最大值 .2a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。21同 时 还 应 化 简1y2中y2前 面 的 系 数 为，x1y2 x21y21y 22· 2 x·2

10、22专业资料整理WORD格式下面将 x，1y 2分别看成两个因式：221y 2y 211y 2x 2()2 x 223222x·22即 x1y22242 ·x1y 232224技巧八：ab为正实数， 2b30，求函数y1，的最小值 .ab aab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进展。专业资料整理WORD格式302b30 2b2b 2

11、30b专业资料整理WORD格式法一： a，ab·b专业资料整理WORD格式b1b1b1专业资料整理WORD格式由 a0得， 0b15专业资料整理WORD格式2t234t311616专业资料整理WORD格式令 t b+1，1t16， ab 2t 34 t专业资料整理WORD格式ttt专业资料整理WORD格式16专业资料整理WORD格式2t·t8专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式 ab18 y当且仅当t4，即b3， a6时，等号成立。专业资料整理WORD格式18专业资料整理WORD格式法二：由得：30 aba 2ba 2b 22 ab 30 ab专业资料整理WO

12、RD格式22 ab专业资料整理WORD格式令 uab那么u222 u300，52 u321 ab 3 2，ab18，y18点评：此题考察不等式ababa, b2R的应用、不等式的解法及运算能力；如何由不等式ab a2ba,bR 出发求得ab的X围，关键是寻找到30a b与 ab 之间的关系，由此想到不等式a b2ab a,bR ，这样将条件转换为含 ab 的不等式，进而解得ab 的X围.变式： 1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2. 假设直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、 ，为正实数， 3x2 10，求函数 W3x2y的最值 .x yyab

13、a 2b 2解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，此题很2简单3x 2y 2 3x2 2y2 23x2y25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值条件靠拢。专业资料整理WORD格式W 0 ，W23x2y23x· 2y1023x· 2y10专业资料整理WORD格式(3x)2·(2y)210(3 x2y)20专业资料整理WORD格式 W202 5变式 : 求函数y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解析：注意到 2x1与 52x的和为定值。y 2( 2 x 1 52x )242(2

14、x1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以0 y 2 2专业资料整理WORD格式当且仅当2x1 = 52x ，即x3 时取等号。2故 ymax2 2 。专业资料整理WORD格式评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1a, b,c为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca1正数a，b，c满足abc1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc例 6： a、b、cR ，且 a b c 1。求证：111111 8abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又111 ab c2bc ，可由此变形入手。aaaa解： a、b、cR a b c 1。11 a b c 2 bc。同理12 ac12 ab。，1aaa1b，1cabc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112 bc 2ac 2ab8。当且仅当 a b c1 时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例： x0, y0 且191 ，求使不等式 xy m 恒成立的实数m的取值X围。xy解：令 xyk, x 0, y0,