4圆锥曲线中地定点定值问题(教师版)

1、WORD格式联邦理科高二寒假第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例 1. 动点E在直线l : y2上，过点 E 分别作曲线C : x24 y 的切线 EA, EB ，切点为A 、B,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设 E(a,2), A(x1 , x12), B( x2 , x22) ，yx 2y'1 x4442过点A的抛物线切线方程为yx121 xxx， 切线过 E点41 (1 ),22x121x1 (a x1 ), 整理得： x122ax18042同理可得： x222ax280x1 , x2是方程 x 22ax80的两根x1x22a, x1 x2

2、8a24y1y2x12x22x1 x2a) ，又 kAB44可得 AB中点为 (a,x1x2x1x2422直线 AB的方程为 y( a22)a ( xa) ，即 ya x2AB过定点 (0,2 ) .222例 2、点P( x0, y0)是椭圆E :x2y21上任意一点，直线l的方程为x0 xy0 y 1，直线 l 0过P22点与直线 l 垂直，点M-1，0关于直线l0的对称点为N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。解：直线 l0的方程为 x0 ( y y0 )2 y0 ( xx0 ) ，即2 y0 xx0 yx0 y00设 M (1,0) 关于直线 l0的对称点N的坐标为 N (m

3、, n)nx0m2x033x024x04m 12 y0x024那么，解得m 1 x0 n2x044x034x028x02 y00n2x0 y02 y0 (4x02 )2ny0x4 4x3 2x28x 8直线 PN的斜率为 k00002 y0 ( x033x024)m x0专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式联邦理科高二寒假从而直线 PN 的方程为：yy0x044x032 x028x08 ( x x0 )2 y0 ( x033x024)2y (x 33x24)即 x000y1x044x032x028x08从而直线 PN 恒过定点G (1,0)二、恒为定值问题例 3、椭圆两焦点F1、

4、 F2在y轴上，短轴长为22 ，离心率为2， P 是椭圆在第一象限弧上一2uuuruuuur点，且 PF1PF2 1 ，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、 PB分别交椭圆于 A、B 两点。（ 1求 P点坐标；（ 2求证直线 AB的斜率为定值；解： 1设椭圆方程为y2x21，由题意可得a2b2a2,b2, c22 ，所以椭圆的方程为y2x2142那么 F1 (0, 2), F2 (0,2)，设 P(x0 , y0 )( x00, y00)uuuruuuur那么 PF1( x0 , 2 y0 ), PF2( x0 ,2 y0 ),uuur uuuurx2(2y2 )1PFPF1200Q 点P

5、( x0, y0)在曲线上，那么x02y021.x024y02242从而4y02(2y02 )1，得y02 ，那么点P的坐标为 (1,2) 。2 2由 1知PF1/ x 轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设 PB 斜率为k(k0) ，那么PB的直线方程为：y2k( x1)y2k(x1)得 (2 k2 )x22k ( 2 k ) x ( 2 k)2由x2y214 024专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式联邦理科高二寒假设 B( xB , yB ), 那么 xB2k (k2)k222k 22 k 212k2同理可得 xAk 222k 2，那么 xAxB42k2k 22k 2yA y

6、Bk (xA 1) k( xB 1)8kk 2yAyB2所以直线 AB 的斜率kAB2为定值。xAxB例 4、动直线y k( x1) 与椭圆 C : x2y21相交于A、B两553点, 点M (7uuuruuur,0) ， 求证： MAMB 为定值.3解 : 将yk( x 1) 代入x2y21 中得 (1 3k 2 ) x26k 2x 3k25 05 5336k 44(3k 21)(3k25)48k2200 ，x16k 2， x1 x23k 25x2213k 213kuuur uuur7 , y1)( x27 , y2 ) (x17 )( x27) y1 y2所以 MA MB ( x13333

7、(x17 )( x27 ) k 2 ( x11)(x21)33(1 k2 ) x1 x2( 7k 2 )( x1x2 )49k 239(123k 25(72)(6k249k2k)213k3k2)93k13k416k 2549k 24。3k 2199课后作业：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C : x2y21 .如下列图， 斜率为 k( k0) 且不过原点的直3线 l 交椭圆 C 于A，B两点，线段AB的中点为E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G ，交直线 x3 于点D (3, m) .专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式联邦理科高二寒假求 m2k 2的最小值；假设OG2OD

8、 "OE，求证：直线l过定点；解：由题意: 设直线l : ykx n(n 0) ,ykxn2222由xy2消 y 得 : (1 3k)x6knx3n30 ,1336k 2n24(1 3k 2 )× 3(n21)12(3k 21n2 )0设 A (x1, y1)、 B( x2, y2) ,AB 的中点 E(x0, y0) , 那么由韦达定理得 :x1 x2=6kn, 即x013kn, y0kx0n3knknn,13k23k 213k213k 2所以中点 E 的坐标为(3kn,n) ,13k 213k2因为 O、 E、 D 三点在同一直线上，所以 kOEKOD，即1m13k，

9、解得 mk，13所以 m2k2=k22 ,当且仅当k1 时取等号,即 m2k 2的最小值为2.k 2m证明 : 由题意知 :n>0,因为直线 OD的方程为yx ,3ym xm2所以由3得交点 G的纵坐标为yGx22,y21m33又因为 yEn2 , yDm ,且 OG2OD "OE，所以m2mn13k232 ,m1 3k又由知:1, 所以解得kn ,所以直线 l 的方程为l : ykxk ,mk即有 l : yk(x1) ,令 x1得 ,y=0,与实数 k 无关 ,所以直线 l过定点 (-1,0).2. 点N为曲线y24 x ( x0) 上的一点，假设 A(4,0)，是否存在垂直 x 轴的直线l被以 AN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由解：设 AN 的中点为B，垂直于 x 轴的直线方程为xa ，以 AN 为直径的圆交l于 C , D 两点， CD 的中点为H专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式联邦理科高二寒假专业资料整理WORD格式Q CB1 AN1( x 4) 2y2，BHx41ax 2a 422222221( x4)