曲线系理论及其应用

1、17343解析：(I )由 y=2x2+3x-3 =5丫=12+15*-15 ；由 y=-5x 2+tx+ 1-t = 2y=-10x 2+2tx+ 1-2t ；由+D得:7y=15x第21讲:曲线系理论及其应用第21讲:曲线系理论及其应用在一个关于x,y的二元方程中，如果它含有一个不定的常数，赋于这个常数一些不同的值，可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线)，它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.利用曲线系解题，体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略，以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体，能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的

2、曲线系.定理1:过曲线C：fi(x,y)=0与G:f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为：fi(x,y)+入f2(x,y)=0.定理2:设二次曲线C:ax2+cy2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=箱两个不同的交点，则过这两点的圆系方程为：(ax2+cy2+dx+ey+f)+入(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里入=(2*21为任意实数.定理3:过圆M:x2+y2+2dx+2ey+f=0外一点P(xo,y。)作圆M的两条切线PAPB,切点分别为A、B,则双切线PA与PB构成的曲线方程为:(x02+yo2+2dx0+2eyo+f)(x2+y2+2dx+2ey+f)-xox+yy

3、+d(x+xo)+e(y+yo)+f2=0,即包含切线PAax+b1y+c=。与PB:a2x+bzy+c2=。的方程.定理4:设二次曲线C:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=。与直线11如仇+小丫+自=。,12:m2x+n2y+p2=。都有公共点，则过这些公共点的二次曲线系方程为:(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)+入(m1x+n1y+pj)(m2x+n2y+p2)=。.例1:过曲线交点的直线系.始源问题:(2。11年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程.解析:由过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2

4、+2x+3两交点的曲线系：(2x2-2x-1-y)+入(-5x2+2x+3-y)=。，即(2-5入)x2+2(入-22_21)x-(入+1)y+3入-1=。；令2-5入=。=入=-二曲线系:6x+7y-1=0=:过抛物线y=2x-2x-1,y=-5x+2x+3两父点的直线万程:6x+7y-1=。.22.21.原创问题:已知抛物线C:y=2x+3x-3,C2:y=-5x+tx+-t.(I)求证：过抛物线C与G两交点的直线l过定点A;22(口)过点A作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:t+L=1分别交于异于点A的点MkN,求证：直线MN的斜率为定值.99一3+2tx-2t=2(x-1)t=7y-15

5、x+万=直线|过定点A(1,-)；(n)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:y=kx+t;由2yTkx/t=(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=。=x1+x2=8kt,x1x2=4t1233yi -2y2 -y由 kAM+kAN=0- 2. + 2=0i %/X2 _1-33kxi t -kx2 t2 +2xi - 1x2 1=0=.2kxix2+(t- 3 -k)(x i+x2)-(2t-3)=08k(t -3) -(t- 3 -k)8kt 、 -(2t-3)=0 二 8k(t 2-3)-8kt(t- 3 4k232 -k)-(2t-3)(3+4k2)=0 二 6(2k-

6、1)t+12k 2-24k+9=0 二 6(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0s k= -1为定值.一. 2例2：过曲线交点的圆系174第21讲:曲线系理论及其应用始源问题：(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(I)求实数k的取值范围；(口)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解析：(I)将y=kx+1代入2x2-y2=1中并化简整理得：(2-k2)x(孚,0) 二 | - *，吟-/ =03 k= r；芋，又因k G (-2,- 6 ) = k= T

7、；-6 =存在以线段AB为直径的圆经过双 曲线C的右焦点F,此时直线AB的斜率k=-6 .原创问题:已知椭圆C:工+E=1(ab0)的离心率e=il,过点A(0,-b)和B(a.0)的直线与原点的距离为 妗. a2b232(I )求椭圆C的方程；(口)已知直线y=kx+t与椭圆交于M N两点，证明：对任意的t0,者B存在k,使得以线段MN为直径的圆过定点.解析:(I)由直线 AB:bx-ay-ab=0 3 ab =* ;又由 e=*= ：12 =噂=a2=3,b2=1 =椭圆 C:J+y2=1; ,a2 b2231.a233(口)设过 MkN两点的圆系方程为：x 2+3y2-3+ 入(kx-y

8、+t)(kx+y+s)=0,即(1+ 入 k2)x 2+(3-入)y 2+k 入(t+s)x+ 入(t-s)y+ 入 ts-3=0=(1+入k2)=(3-入)=入=-:圆系方程为：x2+y2+半色x+F 丫+至学士=0;由于MN圆的直径，故圆心 k2 ：；13k2 ：u1 3k2 ：u13k2 ：u122-(-(.s) ,- ( s) )在直线 y=kx+t 上=s=2t = 圆系方程为:x 2+y2+- x- - y+-三=0;令 y=0 得:x 2+ 3k2 -1 3k2 13k2 13k2 -1 3k2 1222222t2 _1=0=3(x -1)k +6txk+4t +x -3=0;令

9、 x=1 得:6tk+4t -2 = k=3t2.匕三,使得以线段3t例4:四点共圆.-2kx-2=0,由已知得此方程有两个不小于2的实根，解得:-2k-j2=k的取值范围是(-2,-J2);(口)设过A,B两点的圆系方程为：2x2-y2-1+入(kx-y+1)(kx+y+t)=0,即(2+入k2)x2-(1+入)y2+k入(t+1)x+入(1-t)y+入t-1=0=2+入卜2=-(1+入)=人=-2二圆系方程为：x2+y2-(x-(2y由28t=0；由于AB是圆的直径，故圆心(I,k12_kr2_k22J0,都存在k=-MNJ直径的圆过定点(1,0).第21讲:曲线系理论及其应用175-.2

10、(xi+X2)+2=1;由OA+OB+OP=0=OP=(-(xi+X2),-(yi+y?)=(-哆,-1)=点P(-21.,-1);点P在C上;(口)(法一)直线l:y=-您x+1,P(-竽,-1)自孝.,1),过直线l与椭圆C交点的曲线系：2x2+y2-2+入(qNx+y-IX-y+t)=。=(2+2入)x2+(1-入)y2+(t1)入x+(t+1)入y-t入-2=0,由该曲线为圆=2+2入=1-入二入=-一圆的方程3-为：4x2+4y2-拒(t-1)x-(t+1)y+t-6=0,若点P(-孚，-1)在该圆上=t=0=圆的方程为：4x2+4y2+标x-y-6=0二点Q(_,1)在该圆上；(法

11、二)直线l：y=-0x+1,直线PQ：Wx-y=0,过直线l、PQ与椭圆C交点的曲线系：2x2+y2-2+入(J2x+y-1)(0x-y)=0=(2+2入)x2+(1-入)y2-0入x+入y-2=0,当人=-1时，曲线系:4x2+4y2+72x-y-6=0为圆=A、P、B、Q四点在同一圆上.3-原仓I问题:设A,B是椭圆3x2+y2”上的两点，点N(1,3)是线段AB勺中点，线段AB勺垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.(I)确定人的取值范围，并求直线AB勺方程；176第21讲:曲线系理论及其应用(口)试判断是否存在这样的入，使得A,B,C,D四点在同一个圆上？并说明理由.解析：(I)3+912

12、,直线AB:3x+3y=3+9=x+y-4=0;(口)过直线ARCD与椭圆C交点的曲线系：3x2+y2-入+t(x+y-4)(x-y+2)=0=(3+t)x2+(1-t)y2-2tx+6ty-8t-入=0曲线系为圆=t=-i=:圆的方程为：2x2+2y2+2x-3y+8-入=0=A,B,C,D四点在同一个圆上.例5:四点共圆的条件.始源问题：(1993年全国高中数学联赛试题)设0ab,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线y2=x有四个不同的交点.当这四个交点共圆时，求直线l与m的交点P的轨迹.解析：设P(xo,y0),直线l：y-kix+k2a=0,直线m:y-k水+

13、k2b=0,过这四点的曲线系:y2-x+入y-kix+k.ay-k2X+k.b=0=(1+ 入)y2-入(k i+k.)xy+ 入 kik.x2+入(k ia+k.b)y-入 kh(a+b)+1x+ 入 kik2ab=0,该曲线系为圆 =b0)的左、右焦点,P是椭圆C上的任意一点，且PF1,pf2的最大值ab是3,最小值是2.(I)求椭圆C的方程；l和m,使与椭圆C有四个不同的交点.当这四个交点共圆时，求直线l与m的交点Q(口)过两点Fi和A(1,1)分别引直线的轨迹方程.解析:(I)设P(acos9,bsin9),Fi(-c,0),F2(c,0),其中a2=b2+c2,则pf，pf_=盯，F

14、2P=(acos9+c)(acos9-c)+b解析:(I )设 P(2t,t2),则抛物线Ci在 P处的切线l i:2tx=2(y+t2),即 y+t2=tx = M(t,0),N(0,-t2) = M是 PN的中点；(口)圆 C:x 2+y2+2y=0=双切线 PA与 PB的方程为:(t 4+6t 2)(x 2+y2+2y)-2tx+t2y+y+t22=0;令 y=-1 得:(t 4+6t 2)(x 2-1)-(2tx-1)2=0 = (t4+2t2)x2+4tx-(t 4+6t2+1)=0=xa+xb=-Yt =-4 =AB 的中点为(-t2,-1)；线段AB 被抛物线 C 在点 Pt4

15、2t2t3 2t t3 2t222处的切线l 1平分 u点(-,-1)在y+t =tx直线上u -1+t =- u t=0,矛盾.不存在.t3 2tt2 -2例7:椭圆合成的二次曲线分解为直线.始源问题：(2011年四川高考试题)椭圆有两顶点A(-1,0) 、 B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交与C、D两点，并与x轴交于点P.直线 AC与直线BD交于点Q.sin2Q=a2cos2q-c2+b2sin2q=a2(1-sin2q)-c2+b2sin2q=(a2-c2)-(a2-b2)sin2q=b2-c2sin2g=b2=3,b2-c2=2=c2=1=a2=422二椭圆C:L+J

16、=1；f43(n)设直线l:kix-y+ki=0,直线m:k2x-y+1-k2=0，过这四点的曲线系:3x2+4y2-12+入(kix-y+ki)(k2x-y+1-k2)=0=(3+入kk)x2-入(ki+kz)xy+(4+入)y2+入kix-入(1+ki-kz)y+入ki(1-k2)=0;该曲线系为圆-3+入kik2=4+入，入(ki+k2)=0入=1一一kik2_1ki+k2=0;止匕时，由kix-y+ki=0,k2x-y+1-k2=0=(ki-k2)x+(ki+k2)-1=0=x=-y=Q+一x(y)=-2kl222例6:圆的双切线方程始源问题：(2008年全国高中数学联赛试题)如图,P

17、是抛物线y2=2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于PBC,求PBC面积的最小值.解析：由抛物线的对称性知，不妨设P(2t2,2t)(t0),圆(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0=双切线PB与PC的方程为：4t4(x2+y2-2x)-2t2x+2ty-(x+2t2)2=0，令x=0得:4t4y2-(2ty-2t2)2=0(t，0)=(ty)2=(y-t)2.因为当t=1时，只有切线PB与y轴相2交；当0t1,且yB=_L,yC=_L=|BC|=|yB-yc|=2L_=8.当且仅当t=典时，等号成立.t2_1t2_1原创问题:设P是抛物线Ci:x2=4y上的点

18、.过点P做圆C2:x2+(y+1)2=1的两条切线，交直线l:y=-1于A,B两点.(I)若抛物线C在P处的切线li分别与x、y轴交于点MN,求证:M是PN的中点；177(口)是否存在点P,使线段AB被抛物线C在点P处的切线l1平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第21讲:曲线系理论及其应用y kx +12 2.2 2!2.；1 + k22X2 2 2 0 =（2+k ）x+2kx-i= = iCDi= j7T7 4工2 x y 2=02 +k2解析：(I)椭圆x+-=1,设直线l：y=kx+1,由3-一j2=k=士43:直线l：y=J3x+1；（口）设直线AC:y-k1x-k1

19、=0,直线BD:y-k2x+k2=0则过A,B,C,D四点的曲线系:2x与 Cg1+入 kk=0;直线 CD:(入-1)y-入(k1+k2)x-入(匕*2户0,由直线 CD过点 C(2,0) =3匕+卜2=0, 0,b0)的离心率e=2,实轴的左、右端点分别为 A(-3,0)、B(3,0).a2 b23(I )求双曲线C的方程；(口)设直线x=ky+3与双曲线C交于M N两点，求证：直线AM BN的交点P在定直线上.c 5x2y2 ,斛析：(I )由 a=3,e= a =,=c=5= b=4=双曲线 C:-行=1；(口)设 P(x,y),直线 PA:y-k %3k 1=0,直线 PB:y-k

20、2x+3k2=0=过 A、M B、N四点的二次曲线系:16x 2-9y 2-144+ 入(y-k 1x-3k (y-k 2x+3k2)=0 =(16+ 入kk)x2-入(k 1+k2)xy+(入-9)y2+3入(k 2-k1)y-9 入匕-144=0;该曲线系变为直线AB与 MN3+入匕卜2=0,+y2-2+入（y-k仇-k1）（y-k2x+kz）=0=（2+入Kk2）x2+（1+入）y2-入（k1+k2）xy-入（kk2）y-入kk-ZR;该曲线系变为直线AB与Cj2+入khR,此时曲线系：y（1+入）y-入（Q+k2）x-入（k1-k2）=0=直线CD:（1+入）y-入（k1+k?）x-入（kk2）=0=xp=k2-k1;又由直线AC:y-k仇-k1=0,直线BD:y-一k1-k2Op OQ =xpxq= k2 ik1 .k1 k2 =1.k1 -k2k2 -k1kkok2x+k2=0