曲线积分与曲面积分1

1、第二十一章曲线积分与曲面积分§1第一型线面积分求j（xy十yz十zx）ds,其中是球面x2十y2十z2L=a与平面x+y十z=0的交线。解法，、,1、，(xyyzzx)ds二一2(xyyzzx)dsL2l12222=-(xyz)-(xyz)ds2L-12l(xds-：a3L解法求曲线的参数方程。由z2x+y+z=0消去，得/、2(xz)(x £(12a2z2):2asint,则,32 z ax 二.(1222a2a：-二costa,6sinta ,y = -(x z) =2 costasin t,6于是得到两组参数方程a=2.a.costsinta.x=-cost一a.si

2、nt6,a.costsint6a.cost-a.sint.6,2asint,32.、asint,3我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则(xyyzzx)ds=3zxds=3a2sint(cost-1:22)2-sint).x(t)y(t)z(t)dt.3二,3a3sint(cost-132.sint)dt-asintdt-二a3解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,Y),旋转角为，则旋转变换的一般公式为x=Xcos二-Ysin二因为平面x+y+z=0的单位法矢为n =1,1,1,则它与轴的夹角余弦为1cos1=。下面分两步进行旋转，先将Oxy平面旋转一，

3、得新坐标系Ouvz；再将Ozu平.34面旋转，得新坐标系Ouvw。即OxyzOuvz*Ouvw由旋转公式得1 ,、x (u -v)z = wcos - usiny =专"'+丫)u = wsin 二 一 ucos(xy yz zx)ds 二 3 xyds 二2lcos - v)(ucos v)ds1，.于是得x.(ucos-vwsin)22l22.21,22、，ucos-v)ds=-(u-3v)dsW(u22二2233.23v)-4vds=a-2a.sintdt-a注1三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。解法2常规的方法，即写出参数方程套公

4、式计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2,给出了一种求参数方程的方法。解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。Oxyz坐标系下的线积分一Ouv唾标系下的线积分一写出参数方程一套公式一计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。§2第二型线面积分例1计算曲线积分222222I=j(yz)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,L(1)是球面三角形x2+y2+z2=1,x>0,y>0,z>0的边界线，从球的外侧看去，的方向为逆时针方向；(2)是球面

5、x2+y2+z2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oxy平面上方的部分,从轴上9,0,0)9>2)点看去，是顺时针方向。解(1)显然，具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将分为三段22:x+y=1,z=0(x>0,y>0)22:y+z=1,x=0(y>0,z>0):x2+z2=1,y=0(x>0,z>0)则I=(y2-z2)dx(z2-x2)dy(x2-y2)dzL222222.=3(y-z)dx-(z-x)dy(x-y)dzL101=3y2dx-x2dy=3(1。x2)dx。3(1-y2)dy=-4L110或I二(y2-

6、z2)dx(z2-x2)dy(x2-y2)dzL=3(y2-z2)dx=3(.m)(y2-z2)dxLL1L2L301=3y2dx3-z2dx=3(1-x2)dx-3(1-x2)dx=-4L1L3103倍。它们的区别在于注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的第一种方法：积分表达式不变，积分化为上的积分的3倍。第二种方法：积分曲线不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。问题1是否可化为既是上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即I=j(y2一z2)dx(z2一x2)dy(x2一y2)dz=9(y2-z2)dxLLi(2)曲线关于Ozx平面对称，且方向相反(y2-z2)dx=(

7、y2-z2)dx(y2z2)dx=0LL,y_0L,y<0同理(x2y2)dz=j(x2-y2)dz=(x2-y2)dz=0LL,y0L,y：0故I=(y2-z2)dx(z2-x2)dy(x2-y2)dz=(z2-x2)dyLL下面求曲线的参数方程。方法1利用球面的参数方程x=acos日sin4,y=asin日sin4,z=acos4,代入柱面方程x2+y2=ax得sin*=cos0,于是得的参数方程x=acos2日，y=asinHcos8,z=a|sinH|,从二到一二22aa.a.万法2利用柱面的参数万程x=+cos日，y=sin日，代入球面方程2229999.、xy-z=a,得的参

8、数万程aa.a.1x=一十一cos8,y=-sin6,z=a|sin一|,从到2222不妨取方法1中的参数方程进行计算，-二/2I=(z2-x2)dy=a2sin21-cos41a(cos21-sin2?)dL二/20=2a31-cos21-cos41(2cos2?-1)d1二/2二/2-2a3(-13cos21-cos41-2cos6)d0c3,133-2a一一24422注2这里利用对称性(不是轮换对称性)，立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于是偶函数(不是奇函数)，则(y2-z2)dx=(y2