轴对称综合提高练习

1、.轴对称综合提高练习知识点拨1. 非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等， 大边对大角； 如果两角不相等， 那么它们所对的边也不相等， 大角对大边 可利用图 和图 证明这两个事实AAyAEDBBC BCOxDC2. 平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图 ，如果点 A的坐标是 （ ，），那么点 A 关于一、 三象限角平分线对称的点B 的坐标是 （， ），关于二、a bba四象限角平分线对称的点C 的坐标是（b， a）点 A 在其他象限时这一规律仍然成立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象

2、限角平分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置能力提升类例 1已知等腰 ABC中， AB AC， BAC 30°，AD为 BC 边上的高， P 点在 AC上， E点在 AD上，若 PEEC的最小值为4，则 ABC的面积为（）A. 8B. 16 C. 32 D. 64APBECD例 2 已知点 A（ 2，4）、 B（ 2，4）、C（ 1， 2）、 D（ 1，2）、E（ 3， 1）、 F（ 3， 1）是平面直角坐标系的 6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出_组对称三角形.yA4B3C2DE1

3、F-4 -3 -2 -1O1 2 3 4 x综合运用类例 3 如图所示， 把正方形纸片 ABCD对折后打开， 折痕为 MN，再把顶点 D 折到 MN上的一点 P 上，折痕为 CE，把顶点 A 折到 MN上的同一点，折痕为 BF，请回答下列问题：（ 1）线段 PC、PB 与正方形的边长有什么关系？（ 2） CPB的度数是多少？（ 3）还能知道哪些角的度数？请指出来D10C4E936MPN52F81A7B例 4已知：如图所示，ABC是等边三角形， P 是三角形外的一点，且ABP ACP180°求证：PBPC PAABCP思维拓展类例 5 如图所示，在 ABC中， AB AC，F 是 AC

4、上一点，在 BA 延长线上取一点 E 使 AE AF，连结 EF 并延长，交 BC于 D，求证： EF BC.EAFBCD例 6 如图所示， ABC的边 BC在直线 l 上， AC BC，且 AC BC； EFP的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC重合，且 EF FP， EF FP（ 1）在图 1 中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（ 2）将 EFP沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP交 AC于点 Q，连结 AP、BQ，猜想并写出 BQ与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（ 3）将 EFP沿直线 l 向左平移到图

5、3 的位置时， EP的延长线交 AC的延长线于点 Q，连结 AP、 BQ，你认为（ 2）中所猜想的 BQ与 AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由EAAEE ANMFP BlCQBCFP lBFCPl图1图2图3Q一、等腰三角形中常用到的辅助线1. 通常作底边的高、中线或顶角平分线；2. 底边有中点时，常常连底边上的中线；3. 截长补短法在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形以上添加辅助线的最终目的是： 通过等腰三角形、 角平分线、 线段的垂直平分线、 全等三角形把分散的边角关系进行集中二、几

6、何证明题的分析方法从已知条件入手，运用定义、定理、 公理逐步推出结论的方法叫做综合法 从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法 在解几何问题时， 两种方法常结合使用， 使问题顺利解决在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（ 1）该性质揭示了 30°角直角三角形的边的数量关系的特殊性（ 2）此性质的前提是 “在直角三角形中” 在解题时，如果只知道一个三角形有一个角为 30°，就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的.（ 3）该性质主要应用于计

7、算和证明线段的倍分关系（ 4）该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°一、选择题1.一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？（）2. 如图所示，在 Rt ABC中， B90°，ED是 AC的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC于点 E已知 BAE 10°，则C 的度数为（）A.30 °B.40°C.50°D.60°ADBCE3.等腰三角形中，有一个角是50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A. 25 °B. 40° C

8、. 25°或40°D.以上都不对*4.在平面直角坐标系，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A 的坐标是（ a，b），底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B 的坐标为（）.yABOxA. （ b， a）B.（ a， b）C.（ a， b）D.（ a， b）5. 如图， B 是线段 AC的中点，过点 C的直线 l 与 AC成 60°的角，在直线 l 上取一点 P，使得 APB 30°，则满足条件的点P 的个数是（）A.3 个B.2个C.1个D.不存在PACBl6. 如图所示， ABP与 CDP是两个全等的等边三角形，且PAPD有下列四个结论： P

9、BC 15°；AD BC； 直线 PC与 AB垂直； 四边形 ABCD是轴对称图形其中正确结论的个数为（）A.1 个B.2个C.3个D.4个ADPBC二、填空题7.小明把一长方形的纸对折2 次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为l 1、 l 2、 l 3，观察图形并填空：l 1l 2l3四边形 与四边形 关于 _成轴对称；折痕l 2 既是 _与_的对称轴；又是 _与_的对称轴；从整体看也是_与 _的对称轴8. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D 的坐标分别为（ 1， 3）、（ 2， 4）、（1，3）、（ 2， 4），则线段 AB 与 CD

10、的位置关系是 _9. 如图所示， 直线 AB、CD相交于点 O若 OM ON MN，那么 APQ CQP_ .APMDOQNBC10. 如图所示，在 ABC中， B C， FD BC于 D， DE AB 于 E， AFD 158°，则EDF等于 _AFEBCD三、综合运用11.如图所示， AD是 ABC中 BAC的平分线， P 是 AD上的任一点，且AB AC，求证：AB AC PB PCAPBCD12. 一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°，又航行 7 海里后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60°，若小岛周围 3.8 海

11、里有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险13.已知：如图，ABC中， BC边中垂线 ED交 BC于 E，交 BA 延长线于D，过 C 作 CFBD于 F，交 DE于 G， DF1BC，试证明：FCB1 B22DFAGBCE.14. 如图所示， ABC中， AB AC， A 100°，BD平分 ABC，求证： BCBD ADADBC15. （ 1）已知 ABC 中， A 90°，B 67.5 °，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形 （把所有不同的分割方法都画出来，要在图中标出相等两角的度数）AAABCBCBC（ 2）已知 ABC中， C 是其最小的角，

12、过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求 ABC与 C 之间的关系例 1 一点通：设点 P 关于 AD的对称点为点 P，则点 P一定在 AB上，且 CP AB时 P E EC的值最小，即 PE EC的值最小所以在 Rt ACP中 BAC 30°，AC2CP 8，所11以 AB 8，CP 4所以 S ABC 2AB·CP 2×8×4 16AP'EPBCD答案： B 点评： 线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点， 将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题本题有两种作法： 一、作点 P

13、关于 AD的对称点 P；二、作点 C 关于直线 AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知，这个点就是点B，连结 BE即可例 2 一点通： 很明显 ACE和 BDF关于 y 轴对称本题的难点在于确定是否还有其他的对称三角形， 因为这 6 个点可以组成很多三角形，还应注意， 这样的对称三角形是把6 个点分成两组，两组中不能有重复的点，如ABC和 BAD虽然关于y 轴对称，但不符合题意答案： 4，如图所示：.yyA4BA4B33C2DC2DE1FE1F-3 -2 -1O1 2 3 x -3 -2 -1 O1 2 3 xyyA4BA4B33C2DC2DE1FE1F-3-2-1 O123x-3-2-1 O

14、123x点评： 根据本题要求， 解答时有一个规律：首先在y 轴左侧任选两点，然后选第三点组成三角形，第三点只能是y 轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即ACE 与 BDF， ACF与 BDE等，共 6 组，其中 ACE与 BDF重复出现 3 次，所以一共有 4 组对称三角形如果不按规律，则很容易造成漏解例 3 一点通： 此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）MN，又得到折痕EC、BF，它们所在的直线都是对称轴，即 CPE与 CDE关于 CE所在的直线对称， ABF与 PBF关于 BF 所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而得出 PBC是等边三角形这个事实答案

15、：（ 1）由折叠的性质得：线段 PC、 PB均等于正方形的边长， PC PB；（ 2）由（ 1）可知， PCPB BC，所以 PBC是等边三角形，所以 CPB60°；（ 3）由（ 1）、（ 2）可知： 1 2 3 4 75°，5 6 30°，7 8 9 10 15°，MFP MEP 30°，EPF 120°，NPF NPE120°，等等点评： 此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例 4 一点通： 欲证 PBPC PA，可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证明线段相等，由条件 ABP ACP 1

16、80°，此题较适合补短，即延长 PC到 D，使 CDBP，连结 AD，证明 AP PD即可也可以延长 BP到点 D，使 PDPC，连结 CD答案： 延长 PC到点 D，使 CDBP，连结 AD ABP ACP 180°，ACP ACDAB AC180°，ABP ACD在 ABP 和 ACD 中， ABP ACD， ABP ACD（SAS），BP CDAP AD， BAP CAD BAP PAC 60°，CAD PAC 60°，即PAD60°， PAD是等边三角形 PCCD PDPA PB PC PAADBCP点评：求多条线段间的长度关

17、系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段，等量代换；二是利用截长补短法例 5 一点通： 证明两线垂直，可证明其夹角为90°，已知条件中没有与90°有关的条件，本.题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形角和通过计算求BDE的度数二是构造出直角作等腰三角形的对称轴，如图 和图 ，可构造直角； 如图 、 ，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图 ，把 DE 构造成一个等腰三角形的对称轴答案： 证法 1： AB AC， B C， EAF 2 B AE AF， E AFE， BAC 2 E EAF BAC 180°，2 E 2

18、B 180°， E B 90°， BDE 90°，即EF BC证法 2：过点 A 作 AG BC 于 G，如图 所示 AE AF， AFE E， BAC AFE E 2AFE在等腰三角形 ABC中， AG BC， BAC 2 GAC， GAC AFE， AG ED， AG BC， EF BC1证法 3：过点 A 作 AH EF 于 H，如图 所示 AE AF，AH EF， EAH2 EAF1AB AC， B C，又 EAF B C， B 2 EAF EAH B， AH BC，AH EF， EF BCEEAAHFFBCBCG DD证法 4：过点 C作 MC BC于

19、C，交 BA 的延长线于 M，如图 所示 M B90°，ACB ACM 90°，又B ACB， M ACM AEF AFE，且 AEF AFE M ACM 180°MAC， M AEF EF MC， EF BC证法 5：过 E 作 ENEF 于 E，交 CA的延长线于 N，如图 所示 EN EF， NEAAEF 90°，N EFN 90°，AEF AFE， N NEA又 B C，且 B C N NEA 180°BAC， N C， NE BC， NE EF， EFBC证法 6：过点 E 作 EP AC，交 BC的延长线于点 P，如图 所

20、示 EP AC， P ACB， B ACB， B P PEF AFE， AFE AEF， PEF AEF， ED BP，即 EF BCMEEENAAAFFFBCBCBPDDDC点评： 本题用多种方法证明了 EFBC，这些方法可分成两类：一是由角之间的关系利用三角形角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系的线段.例 6 一点通： 第（ 1）问易解，第（2）、（ 3）问先猜测结论再证明，因为图2 和图 3 是平移变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似从图2 和图 3 来看， BQ和AP的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系关键是如何证明，BQ和 AP相距

21、较远， 可考虑利用三角形全等来证；线段 BQ和 AP 不相交， 可延长 BQ与 AP相交，利用角之间的关系证明其夹角是90°答案：（ 1） AB AP， AB AP（ 2）BQ AP；BQAP证明： 由已知得 EF FP，EF FP， EPF45°，又 AC BC， CQP CPQ 45°，CQ CP，又 BC AC， BCQ ACP 90°，Rt BCQ Rt ACP，BQ AP； 延长 BQ交 AP于点 M， Rt BCQ Rt ACP， CBQ CAP，又 CBQCQB 90°，CQB AQM， CAP AQM 90°，BQ A

22、P；（ 3）成立，证明： EPF45°， CPQ 45°，又 AC BC， CQP CPQ 45°，CQ CP，又 BC AC， BCQ ACP 90°，Rt BCQ Rt ACP， BQAP； 延长 QB 交 AP于点 N，则 PBN CBQ， BQC CBQ90°，APC PBN 90°，BQ AP点评： 这是一道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时，应重点分析变换过程中变化的量和不变的量在本题中Rt BCQ Rt ACP是一种始终不变的关系，它也正是BQ AP、 BQ AP 的原因一、选择题1. B解析：注意观察裤子上的

23、图案，在抱球的那一侧2. B解析：由题意可知， BAE 2C 90°，所以C40°13. C解析：如果这个角是顶角，那么底角是2（ 180°50°）65°，此时一腰上的高与底边的夹角是 90°65°25°；如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是90°50°40°4. A解析：利用本讲专家点拨中的规律方法可求5. B解析：如图所示，过点B 作 BP1AB 交直线 l 于点 P1 ，则 AP1B 30°作 AP2 l于点 P2，则 AP2B 30°P1、 P2

24、是满足条件的点P1P2ACBl6. D 解析：根据题意， PBC 15°易证；可通过同旁角互补证得 AD BC；延长 CP 交 AB 于点 Q，可通过三角形角和证明 CQB 90°，即 PC AB；因为 ADBC，所以过点 P与 AD垂直的直线必与 BC垂直，这条直线也同时平分 AD和 BC，所以有 四边形 ABCD是轴对称图形二、填空题7.l 1； ； ； 和 和 .8. 关于 y 轴对称9. 240 ° 解析：因为 OM ONMN，所以 OMN是等边三角形，所以 MON 60°，所以AOM 120°APQ、 CQP、 AOM是 OPQ的三个

25、外角，其和是360°，所以APQ CQP 360°120°240°10. 68° 解析：在 Rt BDE和 Rt CFD中， B C，所以 BDE CFD 180°AFD 22°，所以EDF90°22°68°三、综合运用11. 证明：在 AB上取一点 E，使 AE AC，连结 PE，易得 AEP ACP，所以 PE PC在BEP中， BE PEPB，即（ AB AC） PC PB，所以 ABAC PBPCAPEBDC12. 解：依题意画图，则 AB 7 海里，过点 P 作 PCAB于 C，则由题

26、意可知 PBC30°， APB PBC PAB 30°15°15°，PAB APB， PB AB 7（海里） PC1 1 2PB 2×73.5 （海里） PC 3.8 海里，该船一直向东航行有触礁的危险北东P75°60°ABC1113. 证明：如图 ，连结 CD， DE垂直平分 BC， CE2BC， DF 2BC， CE DF由CF BD， DEBC 得 DFG CEG 90°，又FGD EGC， FGD EGC（ AAS） EGB BFG， DG CG， DGEG CGFG，即 DE CF在 BCF和 BDE中，

27、 BFC BED90°，DE CF111 BFC BED（ AAS）， BD BC DF 2BC 2BD， CF是 BD的中垂线，BCF 21BCD又 DE是 BC的中垂线，B BCD， BCF 2 B或连结 BG，如图 ，证得1FGD EGC，有 FG EG， BG是 DBC的平分线，GBC 2 DBC又 DE是 BC的中垂1线， GBC FCB，即 FCB 2 DBC.DDFFAGAGBCBCEE14. 证明：本题可采用“截长”或“补短”两种方法如图，在 BC上截取 BF BA， BEBD在 ABC中， A 100°，AB AC， ABC C40°BD平分 ABC，在 ABDABFB1和 FBD 中， ABD FBDBDBD， ABD FBD（ SAS） AD DF， DBF 2 ABC20°，1 BFD A 100°在BDE中， BDBE， DBC 20°，BED2（ 180°20°）80°， DFE 1