西工大、西交大自动控制原理 第一节 控制系统的时域数学模型3-4

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例2-5试列写图示速度控制系统的微分方程。负负载载功功率率放放大大器器电位器电位器运算放大器运算放大器运算放大器运算放大器电动机电动机减速器减速器测速发电机测速发电机反馈联接反馈联接gu2uaufucM控制系统微分方程的建立21u第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立2运算放运算放大器大器运算放运算放大器大器功率功率放大器放大器电动机电动机测速电机测速电机gu1u2uaufueu-K1-K2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型列写各元部件的微分方程：efguKuuKu1111122udtduKu2

2、3uKuaccammmmMKuKdtdTtfKu运算放大器运算放大器 功率放大器 电动机 测速电机减速器mi1控制系统微分方程的建立2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型消去中间变量 ，整理后可得到控制系统的分方程为 ccggggmMKuKdtduKdtdT 123123/mmmtmtTiTK K K K KiK K K K KtmmgKKKKKiKKKKK321321/tmmgKKKKKiKKKKK321321/tmccKKKKKiKK321/ 控制系统微分方程的建立2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型列写系统微分方程的步骤：1) 分析系统的工作原理， 确定输入

3、量与输出量；2) 从输入端开始，依次列出各元件的运动方程； （要考虑到相邻元件间的相互影响，即所谓负载效应问题）；控制系统微分方程的建立2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3) 消去中间变量，求输入量与输出量之间关系的运动 方程；4) 将所得系统输入量与输出量函数关系的运动方程 式化为标准形式，即：将与输出量有关的项放在 方程式左边；将与输入量有关的项放在方程式右 边；将多阶导数项按降幂排列；将各系数尽量化成 具有一定物理意义的系数。控制系统微分方程的建立2列写系统微分方程的步骤：第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型拉氏变换法求解线性定常微分方程的一般步骤：1)

4、考虑初始条件，对微分方程的每一项进行拉氏变换，将 微分方程变成以s为变量的代数方程；2) 整理代数方程，求出待求输出量函数的拉氏变换式；3) 通过直接查拉氏变换表，或经过处理(展开成部分分式 之和)，变成适合于查表的形式后再查拉氏变换表，求 得待求输出量函数的时域表达式，即为线性定常微分方 程的解。 线性常微分方程的求解3第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：无源网络RLC 的微分方程为： tutudttduRCdttudLCrccc22对方程两端进行Laplace变换例2-6 若在无源网络 中，已知， ， ，且电容的初始电压 ， 初始电流 ，电源电压 。求 电路突然接通电源时

5、电容电压 的变化规律。 tucRLCHL1FC11RVuc1 . 0) 0 ( Ai1 . 00 Vtur1线性常微分方程的求解3 22cccrd utdutututdtdt第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 00222ccccususUsdttudL 0 =0.1ccccdutLsUsusUsdt 001100 =0.1ccttdutui tidtCC整理后得 12 . 01 . 0122ssssssUsUrc线性常微分方程的求解3 22cccrd utdutututdtdt第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 为阶跃函数时，即 ；拉氏变换为 ，对输出的拉氏变换

6、式进行拉氏反变换： tur ttur1 ssUr/1 2210.10.21s1csUsssss 线性常微分方程的求解3 11221122210.10.211110.10.218 90.9*111ccsutLUsLsss sssssLLssssssss 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型线性常微分方程的求解3 12122122220.50.518 90.9*111 2+7 180.9*1 23 211 2710.9*201 23 21 23 271 0.9cos 0.866sin 0.86610 3cttsutLssssLsssLsssetet 第二章第二章 控制系统的数学模型控

7、制系统的数学模型 严格地说，实际物理系统都存在非线性，从模型的准确性的角度考虑，应该用非线性方程来描述系统。这又增加了模型的复杂性，因此，建模中的一个重要问题是模型的线性化。 这门课只讨论线性定常（时不变）模型。非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。 在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似线性化方法。非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型

8、线性化的方法有： 1)、忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱，或者工作在线性范围以内，则它们对系统的影响很小，可以忽略其非线性。）非线性微分方程的线性化4例如，电位器，弹簧第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型线性化的方法有： 2)、小偏差线性化（微偏法，切线法，增量线性化法） 小偏差线性化基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，各元件主要工作在平衡点附近。非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化4非线性系统的工作点0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0

9、)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 小偏差线性化的数学处理: 对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，可以得到等效的线性环节。适用于具有连续变化的非线性特性。非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(1) 设连续变化非线性函数为 ，如图所示，取某平衡状态 A 为工作点，对应有 ，当 时，有 。设该函数在点 处连续可微，则将其在该点附近用泰勒级数展开： xfy )(00 xfy xxx0yyy0),(00yx 小偏差线性化的数学处理: 非线性微分方程的线性化40 x0 xdxdf0yA)(xfy yx0第二章第二章 控制系

10、统的数学模型控制系统的数学模型002200021()|()|().2!x xx xdyd yyf xxxxxdxdx若 很小，则 即 上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0| 小偏差线性化的数学处理: yKx非线性微分方程的线性化40 x0 xdxdf0yA)(xfy yx0第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 (2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量为x1(t)和x2(t) ，输出量为 y(t) ，系统正常工作点为y0 f (x10, x20) 。在工作点附近展开泰勒

11、(Taylor)级数得： 10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyf xxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx 非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型忽略二阶以上各项，可写成 )()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy非线性微分方程的线性化41122yK xKx 实际的工作情况在工作点附近，变量的变化必须是小 范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变 量变化范围有关。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3)平均斜率法非线性微分方程的线性

12、化4如果某非线性元件输入输出关系如图所示。此时不能用小偏差线性化法，可用平均斜率法得线性化方程为 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死区)电机不可导的非线性 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、 库仑干摩擦、饱和特性等），它应当是可以用泰勒级 数展开的(在该点连续)； 注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，不能作线性化处理。非线性微分方程的线性化40继电特性0饱和特性严重的非线性 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型非线性微分方程的线性化4例2-7 摆振荡模型amgLT

13、sin00sin(0)adaTTmgLadamgLaamgLa0=0在30度的变化范围内，摆的线性模型误差小于2%扭矩：振荡摆 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例2-8 对图示倒立摆系统进行线性化OyxsinlxcoslllmgupMx设小车和摆杆的质量分别为M 和m ，摆杆长为l ，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为x ，摆杆与铅垂线的夹角为 ，摆杆重心的水平位置为 ，垂直位置为 。sinlxcosl非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型OyxHVVmguHMx倒立摆系统隔离体受力图非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统

14、的数学模型控制系统的数学模型摆杆围绕其重心的转动cossindd22HlVltJ式中J 为摆杆围绕其重心的转动惯量， 为垂直力关于其重心的力矩， 为水平力关于其重心的力矩。 sinVlcosHl摆杆重心的水平运动Hlxtm)sin(dd22摆杆重心的垂直运动mgVltm)cos(dd22小车的水平运动HutxM22dd非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型因为在这些方程中包含 和 ，所以它们是非线性方程。若假设角度 很小，则有和 。可得下列线性化方程：sincossin1coscossindd22HlVltJHlxtm)sin(dd22mgVltm)cos(dd22HutxM22ddHlVlJ Hlxm)( mgV 0HuxM 非线性微分方程的线性化4第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型