第9章影响线及其应用

1、湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询第9章影响线及其应用湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询一般工程结构除了承受恒载外，还将受到活载的作用。吊车梁要承受吊车荷载(图9-1)，桥梁要承受汽车、火车荷载等。在进行结构设计时，需要算出结构在恒载和活载共同作用下各量值的最大值。就需要研究活载作用下结构各量值的变化规律，以便找出它们的最大值。第一节 影响线概念湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询图9-1湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询结

2、构在活载作用下的计算，从原理上讲与前述静力计算无异，只是荷载位置不是固定的。显然， 要求出活载作用下某一量值的最大值，必须先确定产生这种最大值的荷载位置。这一荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。在寻求最不利荷载位置时，由于结构上各量值的变化规律并不相同，因此只能逐一考虑。例如：(图9-2a)所示的梁，当有移动时，各截面的内力和支座反力等都将随荷载的移动而变化(图9-2b)。其中，左支座反力FAy是逐渐减小支座反力FBy的变化却是逐渐增大的。的；相可见FAy和FBy的变化规律是不同的，因而它们的最不利荷载位置也是不同的。图9-2湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询在实际

3、工程中，活载又可分为移动活载和可动活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载，而人群、风、雪等活载则属可动活荷载。为了清晰和直观起见，最好把量值随FP1移动而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影响线。它的定义如下：当一个方向不变的荷载沿一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律的函数图形，称为该量值的影响线。图9-3a所示的梁，其支座A的反力FAy 的影响线( 图9-3b) 的竖(a)FP=1 DBAEC、LAAyF CB、F分F标、AyAyl4l4l4l4FAy别表示FP1作用于A、C、B各点时，反力FAy ， 的大小。显然FAyFBy(b)= 1F A34Ay=FC12=F DAy

4、1Ay=4EFAy的影响线只能表示FPF B= 0Ay1在梁上移动时FAy的变示化规律。如果要表FBy或其它量值的变化规律，则需另行作出FBy的影响线或其它相应量值的影响线。FAy影响线图9-3湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询影响线是研究活载作用下结构计算的基本工具。应用它，可确定最不利荷载位置，进而求出相应量的最大值。下面先以梁为例，介绍按静力法绘制其反力、弯矩和剪力影响线的方法。湖南大学结构力学详见：网学天地（梁的影响线，由网学天地独家制作！）；咨询一、1. 反力影响线设要绘制梁(图9-4a)反力FAy的影响线。为此，取梁的左端A为原点，令x表示FP1至原点A

5、的距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条件由MB0，xFP=1BAl(9-4a)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询-=-l-=xFAlyF(P)x )0-(llx=FFP由此可得Ayll因FAy是x的一次函数，故FAy的影响线是一根直线，它只需定出两个竖标即可绘出。如图9-4bl- x1FAy影响线(9-4b)为了绘制反力FBy的影响线，可取对左支座的力矩平衡条件MA0，- FP= x0FBylxl=由此得F的影响线方程为：FByBy绘得反力Fby的影响线如图9-4c所示。1FBy影响线(9-4c)在作影响线时，通常规定将正号影响线竖标绘在基线的上边，负号竖标

6、绘在下边。湖南大学结构力学详见：网学天地（2. 弯矩影响线，由网学天地独家制作！）；咨询梁指定截面(图9-5a)的弯矩影响线。设要绘制xFP=1BCAabl(9-5a)为此，先将荷FP1作用于截面C左方的某一位置x(xa)处。为计算简便起见，取梁的CB段为体，以FBy对点C取矩，并规定以使梁的下边拉的弯矩为正，则得受b=x b l=MFCBy湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询由此可知，MC的影响线在截面C以分为一直线。xFP=1BCAab当荷载FP1作用于截面C以后时，即xa时，上面所求得的影响线方程显然已不再适用。因此，需另行列出MC的表达式才能作出相应部分的影响

7、线。labl为计算简便，取AC段为体，以FAy对C点取矩，即得荷载FP1在截面C以右移动时MC的影响线方程为l - x=a =MFAyaCl上式表明：MC的影响线在截面C以右部分也是一直线。FP=1BxACablxFP=1BCAablabl(9-5b)ab全部影响线如图。MC影响线从上列弯矩影响线方程可以看出：左直线可由反力FBy的影响线将竖标放大到b倍而成，而右直线则可由反力FAy的影响线将竖标放大到a倍而成。因此，可以利用FAy和FBy的影响线来绘制MC的影响线。这种利用某一已知量值的影响线来作其他量值影响线的方法，常会带来较大的方便。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！

8、）；咨询3. 剪力影响线设要绘制截面C(图9-5a)的剪力影响线。xFP=1BCAabl可先列出FQC的影响线方程。关于剪力的正负号，仍规定以使体有顺时针转动趋势者为正。当FP1在截面C以左移动时，取截面C以右部= - FBy体，可得FQC分为当FP1在截面C以右移动时，取截面C以=体，可得 FQCFAy分为由上面两式可知，FQC影响线的左直线与反力FBy的影响线竖标相同，惟符号相反，而其右直线则与FAy的影响线相同。据此，即可作出FQC影响线如图9-5c所示。b1lFQC影响线(9-5c)1al二、影响线与内力图的比较影响线和内力图虽然都是表示某种函数关系的图形，但两者的自变量和因变量是不相

9、同的。现以梁弯矩影响线和 弯矩图为例说明如下：FP=1FP=1xxBBAACDCDablM图bbMDFabPMC影响线(b) l(a)图9-6第三节用机动法作静定梁影响线用机动法作静定结构的内力或反力影响线是以刚体虚位移原理为依据的，它把作内力或反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。以绘制图8-7a所示梁的反力FAy的影响线为例，说明这一方法。FP=1AB(a)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询为了求出反力FAy应将与它相应的约束去掉而以力X代替其作用，如图9-7b所示。FP=1AB(a)X(b)XX图9-7这样，原结构便成为具有一个自由度的机构。使该机构发

10、生任意微小的虚位移，并以dX和dP分别表示力X和FP的作用点沿力的作用方向的虚位移。则根据虚位移原理有X X+ FPP= 0作影响线时，取FP1，故得X= - PX式中dX即为力X作用点沿其方向的位移，故在给定虚位移的情况下，它是不变的；但dP却随荷载FP1的位置不同而变化。= 1 则上式变为X= -P令X由此可知，使dX1时的虚位移dP图就代表X的影响线，只是符号相反。湖南大学结构力学，由网学天地独家制作！详见：网学天地（）；咨询综合上述可知，为了作出量值X的影响线，只需将与X相应的约束去掉，并使所得机构沿X的正方位移，则由此得到的虚位移图即代表X向发生的影响线。这种绘制影响线的方法，便称为

11、机动法。FP=1AB(a)X(b)XX1(c)FAy影响线FP=1AB(a)ablA1下面再讨论用机CF =1dx=a+badxa1PbA动法作梁的(b)BCMcabl内力影响线。1a(c)C2B(d)C1FQC11图9-8(e)AFQCC湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询由上述可知，用机动法作静定梁的内力或反力影响线时，在去掉与所求量值X相应的约束后，原结构就成为具有一个自由度的机构。当此机构沿X的正方向发生位移时，各杆段将如同刚性杆段那样发生符合约束条件的转动或移动，由此所得到的虚位移图沿FP1方向的分位移即代表X 影响线。例9-1试用机动法绘制图9-9a所示多

12、跨静定梁LRF、M 、M 、FF的、的影响线。ByKCQCQCxKEBCFD GA2m4m3m3m2m2m1m(9-9a)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询解：(1) FBy影响线EBGGdx1ACFDEB FByF1.510.5Fby影响线1(9-9b、c)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询撤去B处的支座ABC的点B向上发生，以FBy代替其作用，并使梁虚位移(图9-9b，令BB1)。这时ABE将绕点A转动，由几何移EE 1.5；由此又将使知，点E的虚位ECF产生虚位移，因ECF 在点C应满足竖向位移等于零的约束条件，故求得FF1；同EC

13、F只能绕点C转动，由比例FDG绕点D转动，由比例关系理，进而又将引起可得GG0.5。梁的虚位移图如图9-9b所示。据此即可绘出FBy的影响线如图9-9c所示。(2) MK影响线xKMKBECFD GA2m4m3m3m2m2m1mA24 / 32 / 3FEGC1/ 3BMK影响线(DAKm)1(9-9d)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询以下不再绘出机构的虚位移图，直接作出所求量值的影响线。设想将截面K改为铰接，使铰K左右两侧杆段发相对角位移，为此，可取AA2，得点K的生竖标为4/62=4/3，由几何求得点E的竖标为1；进而可作出ECF段和FDG各段的影响线。MK的

14、影响线如图9-9d所示。湖南大学结构力学详见：网学天地（(3) MC影响线，由网学天地独家制作！）；咨询xKEBCFD GAMC2m2m4m3m3m2m1m1MC影响线(m)2(9-9e)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询F L(4)影响线QCF LxKQCEBCFD GAF L2m4m3m3mQC2m2m1mF L影响线1QC2/32(9-9f)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询(5)F R 影响线QCF RxKQCEBCFGDAF RQC2m4m3m3m2m2m1m11QC(9-9g)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制

15、作！）；咨询第四节利用影响线求影响量在应用影响线确定某一量值的最不利荷载位置时，可分两步来考虑：首先，把实际活载的位置看作是固定不动的，利用影响线求出实际荷载对该量值的影响；然后再进一步，当活载位置变动时该量值的变化规律，从而找出其最不利荷载位置。本节先讨论前一个问题，即如何利用某量值的影响线来求出作用于某一已知位置的若干集中荷载或分布荷载对该量值的影响。1. 集中荷载的影响。xFP1CFP2FP3BA(a)ablbly2y31(b)F影响线QC1y1al设以y1、y2、y3分别代表荷载FP1、FP2、FP3所对应的影响线竖标，则根据影响线的叠加原理，可求得该荷载组作用下FQC的值为：3= i

16、 =1=+y 2+FQCFP 1 y1FP 2FP 3y 3FPiy i湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询将上述结果推广到一般情况，设结构承受一组集中荷载FP1、FP2、FP3的作用，若结构上某量值S 的影响线已知，而且与各荷载作用点相应位置的影响线竖标分别为y1、y2、yn，则在该组集中荷载作用下，量值S的数值可表为：ny =i =1=F+ 1Fy 2 + L+Pn FSyF(9-1) yP1P2nPii应用式(9-1)时，需注意到影响线竖标yi的正、负号。2. 分布荷载的影响。以集中荷载的影响为依据，就不难推求分布荷载对量值S的影响(图9-11a、b)。qxBA

17、(a)dxxyAB(b)S影响线图9-11yByA为此，将分布荷载沿其长度方向分成无限多个微段dx，每一微段上的荷载qxdx可看作一个集中荷载。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询在AB区段内的分布荷载对量值S的B表达为= qSydxqx=q时，则上式变为(9-2)xA若qx为均布荷载，即当BB= qy=dxSqydxqA(9-3)AAqAB(c)A2yBA(d)S影响线ABy1A湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询例9-2梁(9-12a)在图示荷载试利用影响线求作用下的MC和FQC的值。q=10kN/mFP=20kN(a)BAD1.2mC1

18、.2m6.0m1.2m1.2m1.2m解：先分加作出MC和FQC的影响线并求出有影响线竖标值，如图9-11b、c所示。q=10kN/mFP=20kN(a)BACD1.2m1.2m1.2m1.2m6.0m1.2m1.440.960.72(b)0.48MC影响线(0.2m)0.60.41(c)0.210.4FQC影响线湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询根据叠，可算得. 1= 20M1. + 96(48)+7210310310. 44100.).2C2144 20+(.2.4=.10+130 =55N32m55k1.N0=23 36192.m1=F2+.) 14 =1(0

19、 0 . 62+2 .-300+3201044100.)4QC2212.(0 61.1301=0+130=38N14kN湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询第五节最不利荷载位置一、可动均布荷载由于可动均布荷载可以任意断续地布置，故其最不利荷载位置易于确定。由式SqA可知：当均布活载布满对应于影响线正号面积的范围时，则量值S 将产生最大正值Smax；反之，当均布活载布满对应于影响线负号面积的范围时，则量值S将产生最小值Smin。例如， 对于图9-12a所示的伸臂梁，欲求截面C 的最BA(a)C大正弯矩(b)MC(max)MC影响线最 大矩和负弯MC(min) ， 则它们

20、相应的最不利荷载位置将分别如图9-13c、示。(c)MC(max)(d)MC(min)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询二、移动集中荷载所谓移动集中荷载，是指一组互相平行而且间距保持不变的荷载。在它们的作用下，确定某量值的最不利荷载位置一般要一些。只讨论影响线为三角形时最不利荷载位置的确定。 PRFF LPFPcrFPnFP1 FP 2hbaabL设荷载组为自移动，并以F表示临界荷载PRFPcr以左的荷载总和，P 表示FPcr以右的荷载总和。即F临界荷载通过影响线顶点时 Fi tanai应该改变符号。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询可写

21、出S发生极大值的两个不等式(F Ftana + F Rtanbb+L P)F0PcrP+)a =a+LtanFRF(tan0PPcrPh ,a-h ,则上式可改bt=an当荷载向右移动时，tan有b写为F F+L PRFPcrPaLPb(9-4) F+ FRFPcrPab式8-4称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询必须指出，上述判别式是假定荷载组自移动而得出的，如荷载自右向左移动，也将得到同样的判别式，故它与荷载移动的方向无关。最后还需指出，上述临界荷载判别式，不适用于影响线范围内竖标有突变的情况(例如剪力影响线)。湖南大学结构力

22、学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询例9-4试求图9-14a所示梁在图示移动荷载作用下截面K的最大弯矩。已知FP150kN，FP2100kN，FP330kN， FP470kN， FP530kN， FP670kN，FP1 FP 245mmFP3FP 44mFP5 FP64m15m(a) ABK10m30m40m解：作出弯矩MK 的影响线，如图9-14b所示。FP1 FP 2FP3 FP 4FP5 FP64m4m5m 4m15m(a) ABK10m30m40m6.25 5.257.54.5101.5 0.5(b)MK影响线(m)50 10030 7030 70(c)1mkN4m 5m4

23、m15m4m7m50 100307030 70(d)kN6m4m 5m4m15m4m2湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询根据本例的荷载和影响线的具体情况，FP5、FP6以及FP1在截面K使不利荷载位置。不可能是MK产生最大值的最当FP330kN在截面K左、右侧时(图9-14c)，按判别式(9-4)有10+31003 1700+31300+31300+37013 0010101010 33030 310303 +17+00 10+10+70333501030故FP3不是临界荷载。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询当FP2100kN在截面K左

24、、右侧时(图8-14d)，按判别式(9-4)有10303 +1010 317+00 10+30 310+70333501013 0 3+0303 10 +5010 310+37030+310310071030故FP2为一临界荷载。同理，可判定FP4不是临界荷载。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询FP2在K时即是最不利荷载位置，算出相应于这一荷载位置时各集中力所对应的影响线竖标值( 图9-14b)，求得。=4M . 5 1003+107 .+330 10(6+ .3105K (max)10(3 525+70.0.5)=kNm第六节连续梁的内力包络图房屋中的梁板式楼面，

25、其上的板、次梁和主梁一般都按连续梁计算。这些连续梁将可能同时承受恒载和活载的作用，设计时必须考虑两者的共同影响，求出各个截面可能产生的最大和最小的内力作为设计依据。其中，恒载所引起的内力是不变的，而活载所引起的内力则将随活载分布的不同而改变，故载和活载的影响分别加以考虑。湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询连续载和活载作用下不仅会产生正弯矩，而且还会产生负弯矩。因此，它的弯矩包络图将由两条曲线组成：其中一条曲线表示各截面可能出现的最大弯矩值，另一条曲线则表示各截面可能出现的最小弯矩值(当该截面的弯矩为负值时，此最小值即为其最大的负弯矩值)。它们表示了载和活载的共同影响下各截面弯矩的极限范围，称为弯矩包络图。作弯矩包络图的步骤可总结如下：(1) 绘出恒载作用下的弯矩图；(2)依次按每一跨单独布满活载的情况，逐一绘出其弯矩图。将各跨分为若干等分，对每一等分点处，将恒载弯矩图中该处的竖标值与所有各个活载弯矩图中对应的的正(负)竖标值之和相叠加，便得到各分点处截面最大(小)弯矩值。将上述各最大(小)弯矩值在同一图中按同一比例尺用竖标标出，并以曲线相连，即得所求的弯矩包络图。(3)(4)湖南大学结构力学详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询弯