工程力学第四章

1、第第4 4章章 刚体定轴转动刚体定轴转动4.1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度4.2 4.2 功率、转速与转矩间的关系功率、转速与转矩间的关系小小 结结返回第第4 4章章 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体的运动形式很多，在机械中常见的有平动、绕固定轴转刚体的运动形式很多，在机械中常见的有平动、绕固定轴转动和平面运动。动和平面运动。 由于刚体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动，所以平由于刚体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动，所以平动和绕定轴转动是刚体运动的基本形式。本章只研究刚体绕动和绕定轴转动是刚体运动的基本形式。本章只研究刚体绕定轴转动。定轴转动。下一页 返回4.

2、1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度4.1.1 4.1.1 转动方程转动方程刚体转动时，体（或其延伸部分）有一条直线始终保持不动，刚体转动时，体（或其延伸部分）有一条直线始终保持不动，其余各点都绕此直线作圆周运动。这种运动称为刚体绕固定其余各点都绕此直线作圆周运动。这种运动称为刚体绕固定轴转动，简称转动。固定不动的直线称为转动轴。轴转动，简称转动。固定不动的直线称为转动轴。为了确定刚体任一瞬时在空间的位置，现设某一刚体绕固定为了确定刚体任一瞬时在空间的位置，现设某一刚体绕固定轴轴OzOz转动，如转动，如图图4-14-1所示。过刚体转轴作平面所示。过刚体转轴作平面和平面和

3、平面，平，平面面与固定参考体保持不动，平面与固定参考体保持不动，平面联结在刚体上与刚体一联结在刚体上与刚体一起绕定轴转动，两平面之间夹角起绕定轴转动，两平面之间夹角称为转角。显然刚体在空称为转角。显然刚体在空间的位置，可由转角间的位置，可由转角来确定，对应一个转角来确定，对应一个转角，刚体便有，刚体便有一个确定的位置。一个确定的位置。 下一页上一页返回4.1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度刚体转动时，转角刚体转动时，转角随时间而变化，是时间随时间而变化，是时间t t的单值连续函数，的单值连续函数，即即 (4.1)(4.1)式式(4.1)(4.1)称为刚体绕定轴转动的转

4、动方程，它反映了刚体的转称为刚体绕定轴转动的转动方程，它反映了刚体的转动规律。动规律。转角的单位用弧度转角的单位用弧度(rad(rad) )表示，规定从转轴的正向朝负向看去，表示，规定从转轴的正向朝负向看去，逆时针转动时，逆时针转动时，角为正；顺时针转动时，角为正；顺时针转动时，角为负。角为负。下一页上一页返回( ) t4.1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度4.1.2 4.1.2 角速度和线速度角速度和线速度角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量。设在瞬时角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量。设在瞬时t t，刚体的转角为；在瞬时刚体的转角为；在瞬时t t ，

5、刚体的转角为，刚体的转角为 ，如，如图图4-24-2所示。则在所示。则在时间内，刚体转过了角，则比值的极值称为刚体在时间内，刚体转过了角，则比值的极值称为刚体在t t瞬时的瞬时瞬时的瞬时角速度，简称角速度，以角速度，简称角速度，以表示。有表示。有 (4.2)(4.2)式式(4.2)(4.2)表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度的正负号表示刚体的转动方向。当时，刚体往转角的正向转度的正负号表示刚体的转动方向。当时，刚体往转角的正向转动，即逆时针转动；当时，刚体往转角的负向转动，即顺时针动，即逆时针转动；当时，刚体往转角的负向转动，即顺

6、时针转动。角速度的单位为弧度转动。角速度的单位为弧度/ /秒秒(rad/s(rad/s) )或简写为或简写为1/1/秒秒(1/s)(1/s)。下一页上一页返回0lim( )tdttdt 4.1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度工程上常用转速工程上常用转速n n表示转动的快慢，转速表示转动的快慢，转速n n的单位为转的单位为转/ /分分(rpm)(rpm)，n n与与之间的关系为之间的关系为物理学中曾学过，绕定轴转动刚体内任意一点速度的大小，物理学中曾学过，绕定轴转动刚体内任意一点速度的大小，等于角速度与该点转动半径的乘积，其方向与转动半径垂直，等于角速度与该点转动半径的

7、乘积，其方向与转动半径垂直，并与刚体转向一致，如并与刚体转向一致，如图图4-34-3所示。由于速度方向沿圆周切线，所示。由于速度方向沿圆周切线，所以又称为线速度或圆周速度。线速度所以又称为线速度或圆周速度。线速度v v与角速度与角速度的关系为的关系为 v v= =rr 式式(4.4)(4.4)中，中，r r为转动半径。为转动半径。下一页上一页返回26030nn(4.3)(4.3) (4.4)(4.4) 4.1 4.1 转动方程、角速度和线速度转动方程、角速度和线速度在工程中，一般知道轮子的转速在工程中，一般知道轮子的转速n n和直径和直径d d，则将式，则将式(4.3)(4.3)及及r r=

8、=d d/2/2代入式代入式(4.4)(4.4)得轮缘上一点的线速度为得轮缘上一点的线速度为 (4.5)(4.5)式式(4.5)(4.5)中中d d的单位为的单位为m m，n n的单位为的单位为rpmrpm。由于转动刚体上各点速度的大小都与转动半径成正比，所以由于转动刚体上各点速度的大小都与转动半径成正比，所以在转动半径上各点速度分布规律呈如在转动半径上各点速度分布规律呈如图图4-44-4所示的三角形分布，所示的三角形分布，即线性分布。即线性分布。上一页 返回)m/s(6030dnrnv4.2 4.2 功率、转速与转矩间的关系功率、转速与转矩间的关系4.2.1 4.2.1 功率功率力在单位时间

9、内所做的功称为功率，用符号力在单位时间内所做的功称为功率，用符号P P表示。根据物理表示。根据物理学知，不变力的功率等于力学知，不变力的功率等于力F F在其作用点速度在其作用点速度v v的乘积（设力的乘积（设力F F与速度方向一致），即与速度方向一致），即 P P= =FvFv对于转动的刚体，如在其上某点对于转动的刚体，如在其上某点A A作用一个切向力作用一个切向力F F，则，则A A点的点的线速度线速度v v= =rr，如，如图图4-54-5所示。则所示。则 P P= =FvFv= =F rF r= =MM (4.6)(4.6)下一页 返回4.2 4.2 功率、转速与转矩间的关系功率、转速与

10、转矩间的关系式式(4.6)(4.6)中中M M= =FrFr，为力，为力F F对刚体转轴对刚体转轴O O点之矩，即转矩的功率点之矩，即转矩的功率等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积。等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积。功率的单位为瓦特，代号为功率的单位为瓦特，代号为W W，1 W=1 J/s=1 Nm/s1 W=1 J/s=1 Nm/s。工程。工程中常用中常用kW(kW(千瓦千瓦) )作功率的单位，作功率的单位，1 kW=1000 W1 kW=1000 W。下一页上一页返回4.2 4.2 功率、转速与转矩间的关系功率、转速与转矩间的关系4.2.2 4.2.2 功率、转矩和转速之间的关系功

11、率、转矩和转速之间的关系在机械传动中常要根据给定的功率和转速来计算转矩的大小。在机械传动中常要根据给定的功率和转速来计算转矩的大小。将式将式(4.3)(4.3)代入式代入式(4.6),(4.6),则可导出转动物体的功率则可导出转动物体的功率P P(kW(kW) )、转、转速速n n(rpm(rpm) )与转矩与转矩M M(Nm(Nm) )的关系为的关系为 (4.7)(4.7)则有则有下一页上一页返回9550100030MnnMMPnPM9550(4.8)(4.8) 4.2 4.2 功率、转速与转矩间的关系功率、转速与转矩间的关系式式(4.8)(4.8)中，中，P P的单位为的单位为kWkW，M

12、 M的单位为的单位为NmNm，n n的单位为的单位为rpmrpm。由以上各式可见，当功率由以上各式可见，当功率P P一定时，一定时，F F与与v v成反比，或成反比，或M M与与成成反比。例如，汽车上坡时需要较大的驱动力矩反比。例如，汽车上坡时需要较大的驱动力矩M M或较大的牵引或较大的牵引力，驾驶员就用低速档，使汽车的速度减小，以便在一定功力，驾驶员就用低速档，使汽车的速度减小，以便在一定功率的情况下产生较大的牵引力。率的情况下产生较大的牵引力。上一页 返回小小 结结(1) (1) 刚体运动时，体内有一条直线始终保持不动，其余各点刚体运动时，体内有一条直线始终保持不动，其余各点都绕此直线作圆周运动，这种运动称为刚体的定轴转动。都绕此直线作圆周运动，这种运动称为刚体的定轴转动。(2) (2) 刚体转动的快慢用角速度或转速表示，二者的关系是刚体转动的快慢用角速度或转速表示，二者的关系是(3) (3) 转动刚体上任意一点速度等于该刚体角速度与该点转动转动刚体上任意一点速度等于该刚体角速度与该点转动半径的乘积半径的乘积( (v v= =rr) )，速度方向沿圆周切线方向。刚体定轴转，速度方向沿圆周切线方向。刚体定轴转动时，刚体上各点速度与该点转动半径成正比。轮缘上的一动时，刚体上各点速度与该点转动半径成正比。轮缘上的一点线速度点线