随机信号分析过程kejian

1、第二章第二章随机过程随机过程随机信号的时域分析 2 / 30 随机相位信号随机相位信号 : asin( t+) 3 / 30一、按时间和幅度一、按时间和幅度( (状态状态) )是连续还是离散是连续还是离散 连续型：时间和状态均连续 离散型：时间连续但状态离散 连续随机序列：状态连续但时间离散 离散随机序列（随机数字序列，数字信号）状态量化后的连续随机序列 4 / 30二、按样本函数的性质二、按样本函数的性质 不确定（不可预测）随机过程 确定（可预测）随机过程: Asin( t+)ExtrapolationU(0,2 ) 5 / 30三、按随机过程的概率分布的特性三、按随机过程的概率分布的特性

2、平稳随机过程：热噪声 正态随机过程 马尔科夫随机过程 独立增量过程 瑞利随机过程 独立随机过程 6 / 30“随机随机”中的中的“确定确定” 概率分布函数 概率密度函数 特征函数 矩矩，重点是相关/滞后域的分析（本门课程需要掌握的内容） 7 / 30X1X1F (x;t )f (x;t )x X(t)trandom processt1random vectorX(t1)一、一维概率分布一、一维概率分布X11F (x;t )PX(t )x：一维分布函数：一维分布函数 FX(x;t)：一维概率密度：一维概率密度 fX(x;t)时变性时变性确定函数确定函数 8 / 30tfX(x,t)x0fX(x,

3、t1)xfX(x,ti)xfX(x,tn)x 9 / 30已知已知 X(t) At 2，其中，其中 A: U 0,1，求，求 FX(x;t) 和和 fX(x;t)X(t)tt0FX(x;t)xt21fX(x;t)xt21/t2 10 / 30 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 满足满足函数关系：函数关系： Y g(X)，X h(Y)并且并且 h(Y) 的导数存在。的导数存在。 根据根据 X 的可取值范围的可取值范围 a,b 确定确定 Y 的可取值范围的可取值范围 c,d，在，在上述范围内，上述范围内，Y 取值范围位于极小区间取值范围位于极小区间 (y,y + + y) 的概率应与的概率应与

4、X 落在落在 (x,x + + x) 的概率相等，其中的概率相等，其中 x h(y)，即，即 fY(y) y fXx h(y) x这样可得：这样可得：fY(y) fXx h(y) x/ / y fXx h(y) |dh(y)/ /dy| fX(x) |dg(x)/ /dx|- -1|x h(y)上述结论可以推广至非单调映射情形上述结论可以推广至非单调映射情形xfX(x)x h(y)y g(x)yfY(y) x y利用随机变量一维变换求取随机信号一维概率密度函数利用随机变量一维变换求取随机信号一维概率密度函数bacdyyyYf (z)dz+ 11 / 30利用随机变量一维变换求取随机信号一维概率

5、密度函数利用随机变量一维变换求取随机信号一维概率密度函数 随机变量随机变量 X 和和 Y 满足满足非非函数关系：函数关系： Y g(X)，X1 h1(Y) ，X2 h2(Y) ，并且并且 hk(Y) 的导数存在。的导数存在。x1 h1(y)y g(x)x2 h2(y)yfY(y) fXx h1(y) x1 x1/ y + + fXx h2(y) x2 x2/ y + + fXx h1(y) x1 |dh1(y)/dy| + + fXx h2(y) x2 |dh2(y)/dy| + + x y x1 x2已知随机信号为已知随机信号为 X(t) A2 t，其中，其中 A 为为 - -1,1 上均匀

6、分布的随机上均匀分布的随机变量，求变量，求 fX(x;1)。1h (b)b - -2h (b)b 0.5- -11Af (a)a2bg(a)aab1a2adb1da2da 13 / 30电压瞬时值超过电压瞬时值超过 e1的概率（可能性）的概率（可能性）tn(t)Stationary White Gauss Noise: WGNe1fN(n;t) fN(n)nee10ee10 14 / 302X1212X121212F (x ,x ;t ,t )f (x ,x ;t ,t )x x X(t)trandom processt1X(t1)二、二维概率分布二、二维概率分布X12121122F (x ,

7、x ;t ,t )PX(t )x ,X(t )x 二维时变性二维时变性t2X(t2)2D CF2D PDF确定函数确定函数 15 / 30 设随机变量设随机变量 X1、X2 和和 Y1、Y2 满足满足函数关系：函数关系： Y1 g1(X1,X2), Y2 g2(X1,X2) X1 h1(Y1,Y2), X2 h2(Y1,Y2)在可取值范围在可取值范围 Y1、Y2 取值在取值在 Sy1y2 内的概率应与内的概率应与 X1、X2 在在 Sx1x2 内的概率相等，其中内的概率相等，其中 x1 h1(y1,y2)，x1 h1(y1,y2)，即，即 fY1Y2(y1,y2) Sy1y2 fX1X2x1

8、h1(y1,y2), x2 h2(y1,y2) Sx1x2 利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数x1 h1(y1,y2)x2 h2(y1,y2)fX1X2(x1,x2) Sx1x2y1y2fY1Y2(y1,y2) Sy1y2 16 / 30若若 fY1Y2(y1,y2) 未知，则未知，则 fY1Y2(y1,y2) fX1X2x1 h1(y1,y2), x2 h2(y1,y2)( Sx1x2/ / Sy1y2) 由二重积分有关知识可知由二重积分有关知识可知 Sx1x2/ / Sy1y2 | Jh(y1,y2) |，其中，其中这样，我们最

9、终得到（具体例子见这样，我们最终得到（具体例子见 Ch.5）：）： fY1Y2(y1,y2) | Jh(y1,y2) | fX1X2x1 h1(y1,y2), x2 h2(y1,y2)利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数11211212h1221221212h (y ,y )h (y ,y )yyJ (y ,y )deth (y ,y )h (y ,y )yy 行列式 17 / 30或者（或者（Jh难以求解时难以求解时 ）：）： fX1X2(x1,x2) fY1Y2y1 g1(x1,x2), y2 g2(x1,x2)( Sy1y2/

10、Sx1x2) 其中其中 Sy1y2/ Sx1x2 = | Jg(x1,x2) |，而，而这样，我们最终得到（具体例子见这样，我们最终得到（具体例子见 Ex. 2.11）：）： fY1Y2(y1, y2) | Jg(x1,x2) |- -1fX1X2(x1,x2)|x1 h1(y1,y2),x2 h2(y1,y2)利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数11211212g1221221212g (x ,x )g (x ,x )xxJ (x ,x )detg (x ,x )g (x ,x )xx 18 / 30nX1n1nX1n1n1nF (

11、x ,x ;t ,t )f (x ,x ;t ,t )xx X(t)trandom processt1X(t1)三、三、n 维概率分布维概率分布X1n1n11nnF (x ,x ;t ,t )PX(t )x ,X(t )x t2X(t2)tnX(tn)n 确定函数确定函数 19 / 30123456X1nF ( , ;t ,t )1X1n1nf (x ,x ;t ,t )0 X1n1n1nnfoldf (x ,x ;t ,t )dxdx1- X1n1nm 1n(n m)foldX1m1mf (x ,x ;t ,t )dxdxf (x ,x ;t ,t )+ +- - 1nX1n1nX11Xnn

12、X(t ),X(t )f (x ,x ;t ,t )f (xare i;tndepende)f)nt(x ;tX1n1inF (x ,x ;t ,t ,t )0-随机过程概率分布的性质随机过程概率分布的性质 20 / 30X(t)trandom processt1X(t1)一、数学期望一、数学期望XXm (t)EX(t)xf (x;t)dx - 时变性时变性tX(t)0确定函数确定函数统计平均、集平均（统计平均、集平均（ensemble averaging） * 虽然随机过程的概率分布族能够完整地描述其统计特性，但 在实际应用中确定这些分布特性非常困难，甚至不可行 * 矩（moment)或数字

13、特征，在一定 假定下，可以根据观测进行估计 21 / 30二、均方值和方差二、均方值和方差222XX(t)EX (t)x f (x;t)dx - 时变性时变性tX(t)022X2X(t)DX(t)EX(t) EX(t)m (t) -二阶原点自矩：均方值二阶原点自矩：均方值二阶中心自矩：方差二阶中心自矩：方差 X(t): : 标准差、均方差标准差、均方差确定函数确定函数 22 / 30X(t)Y(t)Z(t)X(t)Y(t)Z(t)*identical but different * 23 / 30X(t)RmX(t): :电压的瞬时统计平均值电压的瞬时统计平均值消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平

14、均值消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值Ex. 2.3：设随机振幅信号为设随机振幅信号为 X(t) Asin( 0t)，其中，其中 0 为常数，为常数，A 为标为标准正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？准正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？解：解：均值：均值：EX(t) EAsin( 0t) 0； 方差：方差：EX2(t) DAsin2( 0t) sin2( 0t)pp. 124-125 24 / 30X(t)trandom processt1X(t1)三、自相关、协方差函数三、自相关、协方差函数X1212

15、12 X121212R (t ,t )EX(t )X(t )x x f (x ,x ;t ,t )dx dx- 二维时变性二维时变性t2X(t2)t1 = t2 ?X1212K (t ,t )EX(t )X(t ) 确定函数确定函数relationship 25 / 30Ex. 2.4：已知信号已知信号 X(t) 某两个时刻的幅度分别为某两个时刻的幅度分别为 X1 和和 X2，并，并且且 X2 kX1 + + a，其中，其中 k 和和 a 均为非零常数。若是均为非零常数。若是 X1 的均值为的均值为0，计算这两个时刻信号的自相关函数和协方差函数。，计算这两个时刻信号的自相关函数和协方差函数。c

16、orrelation? covariance? normalized covariance? 26 / 30Ex. 2.5：如果随机过程如果随机过程 X(t) 为为: X(t) Vcos4t，式中，式中 V 是随是随机变量，数学期望为机变量，数学期望为 5、方差为、方差为 6，求随机过程的均值和自，求随机过程的均值和自相关函数，协方差函数相关函数，协方差函数.解：解： mX(t) (cos4t)(EV) 5cos4t RX(t1,t2) (cos4t1)(cos4t2)EV2 31cos4t1cos4t2KX(t1,t2) RX(t1,t2) - - mX(t1)mX(t2) 31cos4t1

17、cos4t2 - - 25cos4t1cos4t2随机幅度余弦信号 27 / 30Ex. 2.6：已知随机信号为已知随机信号为 X(t) A2 t，其中，其中 A 为为 - -1,1 上均匀分布的随机上均匀分布的随机变量，求变量，求EX(1)。 28 / 30nXnC (u;t)nnuu 0EX (t)( j) - -111 1ju X(t )ju xX11X111C (u ;t )Eeef (x ;t )dx - X(t)trandom processt1X(t1)一、一维特征函数一、一维特征函数时变性时变性X11f (x ;t )FT确定函数确定函数两边同时对两边同时对u取取n阶偏导阶偏导

18、 29 / 30 30 / 30X(t)trandom processt1X(t1)t2X(t2)2X12121212C (u ,u ;t ,t )uuX12uu0R (t ,t ) - -11221 12 2ju X(t ) u X(t )X1212j(u xu x )X121212C (u ,u ;t ,t )Eeef (x ,x ;t ,t )dx dx+ + + +- 二、二维特征函数二、二维特征函数时变性时变性X1212f (x ,x ;t ,t )2D FT确定函数确定函数 31 / 30X(t)trandom processt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)11nn1 1

19、n nju X(t )u X(t )X1n1nj(u xu x )X1n1n1nC (u ,u ;t ,t )Eeef (x ,x ;t ,t )dxdx+ +- 三、三、n 维特征函数维特征函数X1n1nf (x ,x ;t ,t )nD FT确定函数确定函数 32 / 302.2、随机过程的微分与积分、随机过程的微分与积分随机信号分析的两个典型实例：随机信号分析的两个典型实例：限幅器微分器包络检波器积分器噪声平滑（smoothing）0tX(t)0tY(t)h(t)- -TTt1/2Tt T12Tt TY(t)X(t) h(t)X(u)du+ +- - 33 / 302t0limEX(tt

20、)X(t) 0 + -+ -t0X(ltt)X t)i m( + + 若则称 X(t+t) 均方收敛于 X(t)，记作或m.s.X(tt)X(t)+ + 34 / 30t0t022E(X(tt)X(t) 0E X(tt)X(t)0EX(tt)EX(t) + -+ -+ -+ -+ + YX(tt)X(t)+ -+ -22222YEY E YEY E Y-22E(X(tt)X(t) E X(tt)X(t)+ -+ -+ -+ -t0t0X(tt)EX(tliml iE)X(tt)Em + + + + 均方连续-均值连续 35 / 302X12EX(t)EX (t) R (t ,t )X(t)dX

21、(t)/dt 微分器X(t)t0X(tt)X(t)X(t)l i mt + -+ - Def.212XEX(t)EX (t) R (t ,t )12XXR(t ,t )12XXR(t ,t )t0XXXt0t0X(tt)X(t)EX(t)E l i mtm (tt)m (t)EX(tt)EX(t)l i mlimm (t)tt + -+ - + -+ -+ -+ - “E”和“d()/dt”次序可交换 36 / 302212121XXt01212t01212t0X12X12X12t02X(tt)X(t )R(t ,t )EX(t )X(t )E X(t )l i mtX(t )X(tt)X(t

22、 )X(t )E l i mtEX(t )X(tt)EX(t )X(t )limtR (t ,tt)R (t ,t )R (t ,t )limtt + -+ - + -+ - + -+ - + -+ -12121212XXt0X12X12X12t01X(tt)X(t )X(t )X(t )R(t ,t )EX(t )X(t )E l i mtR (tt,t )R (t ,t )R (t ,t )limtt + -+ - + -+ - 37 / 302212121Xt01212t01212t01212XXXXt012XXX(tt)X(t )R (t ,t )EX(t )X(t )E X(t )l

23、 i mtX(t )X(tt)X(t )X(t )E l i mtEX(t )X(tt)EX(t )X(t )limtR(t ,tt)R(t ,t )limtR(t ,t + -+ - + -+ - + -+ - + -+ - 2X12212)R (t ,t )ttt 1222X1212tttEX (t)R (t ,t )tt 38 / 30mmbmmmau0bbmmxmaau0EX(t)dtE l i mX(t ) ulimEX(t ) uEX(t)dtm (t)dt “E”与均方积分次序可换taY(t)X(s)ds ttXaaEY(t)EX(s)dsm (s)ds ttY12aatttta

24、aaattXaaR (t ,t )EX(u)duX(v)dvEX(v)X(u)dvduEX(v)X(u)dvduR (v,u)dvdu XY12R(t ,t )? 39 / 30Time dependence of statistics?Ensemble averaging?X(t)tX(t)tstationarity平稳性平稳性ergodicity遍历性遍历性Thinking about local stationary （局部平稳）（局部平稳） 40 / 30Sine wave with random phase0210202a002X121220 10 2210200(1)mean: E

25、X(t)EaEcos(t)acos(t)dsin(t)|0(2) Auto-correlation:R (t ,t )EX(t )X(t )Ea Ecos(t)cos(t)a E cosa,:constanX(t)acost;:U(0,2 )(t) + + + + + + + + + 12012210122(tt )2 cos(tt )a cos(tt )+ +-+ +-自相关函数相同自相关函数相同t1- -t2RX(t1- -t2)t1 41 / 30220a222A0X1022221:constant;:U(0,2 )aEAe,a0A:Rayleigh: f (a)varA(2)(1)me

26、an: EX(t)EAEX(t)Acos(t)0(2) Auto-correlation:R0,a0A,:indecpenden(t ,t )EX(os(t)(tt )X t- - - + + + 20 10 220122012)EA Ecos(t)cos(t)(var(A)E A)cos(tt )cos(tt )+ + + + +-+- - -瑞利分布若若 A 与时间有关与时间有关 42 / 30112212(3)1st & 2rd PDF: XX(t ), XX(t ), ttA,:independent 110 1220 2Xg (A,)Acos(t)Xg (A,)Acos(t)

27、 + + + + 2a222a2Ae,a0f(a, )0,a0 - - 121122121X X12gAa h (x ,x ),h (x ,x )f(x ,x )|J (a, )|f(a, )|- -由由2.1.3节可知：节可知： ，其中，其中110 10 1g0 20 222012g (a, )g (a, )cos(t)asin(t)aJ (a, )cos(t)asin(t)g (a, )g (a, )aasin(tt )+ -+ + -+ + -+ + -+ - 43 / 3012X X1212221212012222012012f(x ,x ;t ,t )xx2x x cos(tt )1

28、exp2|sin(tt )|2sin (tt )+-+- （1 1）高斯分布）高斯分布（2 2）信号的一维概率密度函数与时间无关）信号的一维概率密度函数与时间无关（3 3）信号的二维概率密度函数仅与时间差有关，而和时间）信号的二维概率密度函数仅与时间差有关，而和时间 起点无关起点无关（4 4）高阶分布同样具有时间平移不变性）高阶分布同样具有时间平移不变性2x22X1f (x;t)e2 - - 44 / 30fx(x1,x2;T)x1x2xtfX(x;t)Normal distribution 45 / 30X12n12nX12n112nX12n12nX12n12n2n12nF (x ,x ,x

29、 ;t ,t ,t )F (x ,x ,x ,x ,xR;t ,t ,x ;t,t,t)f (x ,x ,x ;t ,t ,t )f (x ,x ,x ;t,t,t)tT;n:integer; + + + + + + + + + + + + （1）SSS 一维分布、密度函数和均值都与时间无关（2）SSS 二维分布、密度函数和自相关函数都与两个时刻的绝 对值无关，而仅与两者之差有关 46 / 30XX222XX22XXXX12 X1212X2X12XXX22XXXXEX(t)xf (x)dxmEX (t)x f (x)dxDX(t)(xm ) f (x)dxR (t,t)x x f (x ,x

30、; )dx dxR ( )K (t ,t )K ( )R ( )mK (0)R (0)m - - - - - + + - - - - 47 / 30XXXX2(1)EX(t)m (t)m :constant(2)R (t,t)R ( ):t,(3)EX (t)+ + 四四: 循环平稳随机过程（补充）循环平稳随机过程（补充）XXXXX(1)EX(t)m (t)m (tkT),k :integer|periodic(2)R (t,t)R (t, )R (tkT, )|periodic+ + +辛钦: Khinchine 48 / 30AM0Y00X0X0Y0012X0000m (t)EY(t)EX

31、(t)cos(t)EX(t)cos(t)m cos(t)m cosR (t,t)EY(t)*Y(t)EX(t)X(t)cos(t)cos(t)WSS:X(t)Y(t)X(t)cos(t)|:coR ( )cos(nstant(2t)ct2k)*o/ + + + + + + + + + + + + + +010002X0(tk /s()R ( )cos2cos()+ + + + + + 循环平稳信号循环平稳信号 49 / 30AM00WSS:X(t)Y(t)X(t)cos(t)|:constant+ + 50 / 30一、基本性质一、基本性质XXXX222XXXXXXXXXXXjX2XXX(P1

32、)R (t,t)R ( )R ()(P2)K ( )R ( )m ,R (0)m(P3)|R ( )|R (0)(P4)T0R (T)R (0)R (S)R (kT),k :integer(P6)R ( )ed0(P7)for Aperiodic RP:limK ( )0, limR()( )m - - -+ -+ - - - - - + + (P5) 若自相关函数在原点处连续，则它处处连续若自相关函数在原点处连续，则它处处连续工程上一般满足工程上一般满足理论上未必成立理论上未必成立单位频率上的信号功率单位频率上的信号功率 51 / 3022221212X(P3):|EX(t )X(t )|E

33、|GauchySchwarX(t )| E| X(tz)| R (0) Inequality - - XX2222XXXXXR (0) R (T)2XXXX(P4):X(tT)X(t)& X(t)|E(X(tT)X(t)X(t)|E(X(tT)X(t) EX (t)|R (T)R ( )|2R (0)R (T) R (0)|R (T)R ( )|0RGauchySchwarz Inequ(Tali)R)ty( + +-+ + +-+ + +-+ + +-+ + +-+ + +-+ +-+-+-+-+- - 52 / 302XXXXXXXXXXXXXXXt0XXt0(P5):Replac

34、e Tbyt|R (t)R ( )|2R (0)R ( t) R (0)2R (0)R ( t) R (0)R (t)R ( )2R (0)R ( t) R (0)limR (0)R ( t)0limR (t)R ( )0 + -+ -+ -+ -+ - + - 53 / 30XR ( ) XR ( ) XR ( ) XR ( ) XR ( ) Ex. 2.13: Possible correlation functions? 54 / 30二、相关系数二、相关系数 & 相关时间相关时间2XXXXX2XXK ( )R ( )mr ( )0|r ( )|1K (0) - - 0X0r (

35、 )d X0r ()0.05 X|r ( )| 0.050 1 10 X|r ( )| 相关系数：相关系数：相关时间：相关时间： 55 / 305001000150020002500300035004000-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.10123456-3-2-10123X(t1)X(t2)x1x2-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1x1x2-4-3-2-101234-4-3-2-101234x1x2

36、Ex. 2.14: Randomness, Correlation 56 / 30Khinchine前苏联数学家前苏联数学家, , 1894-1959 取统计平均所需要的试验工作量巨大，处理方法复杂，很多实际应用中并不可行辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值（观察时间足够长），就从概率意义上趋近于此过程的统计平均值Is Ensemble Averaging practically feasible? 57 / 301、随机过程的随机过程的：2、：随机过程的各种时间平均随机过程的各种时间平均值，在平均时间足够长的条件下都依概率值，在平均时间足够长的条件下都依概

37、率1收敛于相收敛于相应的集合平均应的集合平均一、遍历性过程的定义一、遍历性过程的定义TTTTXTT1A X(t)X(t)l i mX(t)dt2T1(t,t)X(t)X(t)l i mX(t)X(t)dt2T- - - + + + + + + 时间平均（对于一般的随机信号，表现为随机变量或随机函数）时间平均（对于一般的随机信号，表现为随机变量或随机函数） 58 / 303、宽遍历性过程的定义：宽遍历性过程的定义：设随机过程设随机过程 X(t) 广义平稳广义平稳 则称则称 X(t) 的均值具有遍历性的均值具有遍历性 则称则称 X(t) 的自相关函数具有遍历性的自相关函数具有遍历性一、遍历性过程的

38、定义一、遍历性过程的定义a.s.(almost sure)XX(1)A X(t)X(t)EX(ti.e., P X()m1mt)a.s.XX(2)( )X(t)X(t)EX(t)X(t)R ( ) + + + + 若若(1)和和(2)同时满足，同时满足，X(t) 称为宽遍历随机过程称为宽遍历随机过程 59 / 30cos( t) + + mcos( t)+ + ncos( t) + + 比较比较集总集总域域和和时间时间域状域状态的平均值态的平均值*millions of trials*a realization*Ex. 2.15: on mean ergodicity 60 / 301、由于遍

39、历性随机过程的时间平均、由于遍历性随机过程的时间平均( (随机变量随机变量) )趋近于趋近于 确定量，不同样本函数的同一时间平均值几乎相，确定量，不同样本函数的同一时间平均值几乎相， 同，所以，统计平均值可以用任一样本函数的时间同，所以，统计平均值可以用任一样本函数的时间 平均值估计平均值估计2、遍历过程的一、二阶矩具有明确的物理含义、遍历过程的一、二阶矩具有明确的物理含义二、遍历性的实际意义二、遍历性的实际意义TTTTXTT1EX(t)limx(t)dt2T1R ( )limx(t)x(t)dt2T- - - + + 61 / 301、（宽）遍历过程必须是（宽）平稳的、（宽）遍历过程必须是（

40、宽）平稳的：2、随机过程均值遍历的充要条件：、随机过程均值遍历的充要条件：三、随机过程具备遍历性的条件三、随机过程具备遍历性的条件2T2XX0T1lim1R ( )md0T2T - - - - X(t)t 62 / 303、随机过程自相关函数遍历的充要条件、随机过程自相关函数遍历的充要条件4、零均值正态平稳随机过程，自相关函数连续，其、零均值正态平稳随机过程，自相关函数连续，其 遍历的充要条件：遍历的充要条件：5、假设、验证、假设、验证X0|R ( )|d 2T211X10T1111lim1B()R ( ) d0T2TB()EX(t)X(t)X(t)X(t) - - + + + + + + +

41、 + 三、随机过程具备遍历性的条件三、随机过程具备遍历性的条件 63 / 30transmitterreceiverTRANSMISSIONCHANNELnoiseX(t)Y(t)t1t2t3tn1t mt 2t 3t 64 / 30设有两个随机过程设有两个随机过程 和和 ，它们的概率密，它们的概率密度分别为度分别为定义这两个过程的定义这两个过程的 (n + m) 维维为：为：X(t)Y(t)X12n12nf (x ,x ,x ;t ,t ,t )Y12m12mf (y ,y ,y ;t ,t ,t )XY1n1m1n1m11nn11mmF(x ,x ;y ,y ;t ,t ;t ,t )PX

42、(t )x ,.,X(t )x ;Y(t )y ,.,Y(t )y 高阶联合概率密度函数高阶联合概率密度函数 65 / 30定义这两个过程的定义这两个过程的 维维为：为：XY1n1m1n1mn mXY1n1m1n1m1n1mf(x ,x ;y ,y ;t ,t ;t ,t )F(x ,x ;y ,y ;t ,t ;t ,t )xxyy+ + 1）若两个过程的）若两个过程的 n + m 维联合概率分布给定，则它们的全部统维联合概率分布给定，则它们的全部统计特性也确定了计特性也确定了2）可由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布）可由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布3）若两个随机过程的联合概

43、率分布不随时间平移而变化，即与）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为时间的起点无关，则称此二过程为注意：注意： 66 / 30设两个随机过程设两个随机过程 X(t) 和和 Y(t)，它们在任意两个时刻，它们在任意两个时刻 t1 和和 t2 的的状态为随机变量状态为随机变量 X(t1) 和和 Y(t2)，它们的互相关函数定义为：，它们的互相关函数定义为：XY1212XY12R(t ,t )EX(t )Y(t )xyf(x,y;t ,t )dxdy - - - - XY12f(x,y;t ,t )其中其中 为为 X(t) 和和 Y(t) 的的定义定义t

44、1t2X(t)Y(t)RXY(t1,t2) 67 / 30XY121X12Y2X1Y2XY12X11Y22XY12XY12X1Y2K(t ,t )EX(t )m (t )Y(t )m (t )(xm (t )(ym (t )f(x,y;t ,t )dxdym (t )EX(t ),m (t )EY(t )K(t ,t )R(t ,t )m (t )m (t )- 互协方差函数互协方差函数: : 中心化互相关函数中心化互相关函数XY1n1m1n1mX1n1nY1m1mF(x ,x ;y ,y ;t ,t ;t ,t )F (x ,x ;t ,t )F (y ,y ;t ,t ) 统计独立统计独立

45、XY1n1m1n1mX1n1nY1m1mf(x ,x ;y ,y ;t ,t ;t ,t )f (x ,x ;t ,t )f (y ,y ;t ,t ) 68 / 30不相关不相关XY1212XY12X1Y2K(t ,t )0:t ,tR(t ,t )m (t )m (t ) 正交正交XY1212XY12X1Y2R(t ,t )0:t ,tK(t ,t )m (t )m (t ) - -（1）如果两个随机过程相互独立，且它们的二阶矩都存）如果两个随机过程相互独立，且它们的二阶矩都存 在，则必互不相关在，则必互不相关（2）正态随机过程的不相关与相互独立等价）正态随机过程的不相关与相互独立等价注意

46、：注意： 69 / 30（1）X(t) 和和 Y(t) 各自宽平稳各自宽平稳（2）联合宽平稳联合宽平稳: :宽平稳相依宽平稳相依（1）X(t) 和和 Y(t) 联合宽平稳联合宽平稳（2）联合宽遍历联合宽遍历TXYTTa.s.XY1( )X(t)Y(t)l i mX(t)Y(t)dt2TR( )- - + + + + XYXYR(t,t)R( )+ + 70 / 30 XYYXXYYX2222XYXYXYXYXYXYXY22XYXYXYXY12XY21XYXYXYX(P1)R( )R(),K( )K()(P2)|R( )|R (0)R (0),|K( )|K (0)K (0)1(P3)|R( )

47、|R (0)R (0)211|K( )|K (0)K (0)22(P4)K(t ,t )K(tt )K( )K( )r( )K (0 - - - - + + + + - XYXYXyYR( )m m)K (0) - - 宽平稳相依信号互相关函数的性质宽平稳相依信号互相关函数的性质XY|r( )|0?XY|r( )|1 71 / 30Ex. 2.16：联合平稳信号联合平稳信号 X(t) acos( 0t + + )，Y(t) = bsin( 0t + + )其中其中a，b， 0为常数，为常数， 为在为在 (0, 2 上均匀分布的随机相位，求上均匀分布的随机相位，求RXY( )，说明该互相关函数在

48、，说明该互相关函数在 0 时的值具有什么物理含义？时的值具有什么物理含义？ 72 / 30receivingIQIN-PHASEQUADRATURE实实实实复信号复信号Ex. 2.17：随机相位信号随机相位信号 X(t) cos( t + + )复数化后，信号变为复数化后，信号变为 Y(t) ej ej t 73 / 3012121ZXYZXY222ZXYZXYXYZ Z1212Z Z1Z2Z|(1)F (z)PXx,YyF(x,y)(2)mEZEXjYEXjEYmjm(3)DDZE Z EXY DD:ZZm(XjY)(mjm )(Xm )j(Ym )XjY(4)REZ Z (5)KEZ Z

49、E(Zm) (Zm +-+-+-+-+-+-+-+-+ -2)ZXjY,X&Y:real random variables+2.5.1、复随机变量、复随机变量 74 / 3011221122121212111222X Y X Y1122X Y11X Y22Z Z1Z2ZZ Z12ZXjYZXjY(P1)f(x ,y ,x ,y )f(x ,y )f(x ,y )(P2)KE(Zm) (Zm)0(P3)REZ Z 0Independent:Uncorrelated:Orthogonal: + -2.5.1、复随机变量、复随机变量 75 / 30XY1n1n1n1nZXY2ZZZZXYZZ

50、(1)2nOPDF:f(x ,x ;y ,y ;t ,t ,t ,.,t )(2)m (t)Ez(t)EX(t)jY(t)m (t)jm (t)(3)D (t)E|Z(t)m (t)| E(Z(t)m (t)(Z(t)m (t) D (t)D (t)(4)R (t,t)EZ (t)Z(t)(5)K (t,t)- - + + + + - - - - - + + + + + + + * * *ZZEZ (t)Z(t)E (Z(t)m (t) (Z(t)m (t) + + - -+ + - -+ + * * *Z(t)X(t)jY(t)X(t)&Y(t):real random proces

51、ses+2.5.2、复随机信号、复随机信号 76 / 302ZZZZXYZZZZ(1)D (t)E(Z(t)m (t) E(Z(t)m (t)(Z(t)m (t)D (t)D (t)(2)R(t,t)EZ(t)Z(t)(3)K(t,t)EZ(t)Z(t)E (Z(t)m (t)(Z(t)m (t) - - - - - + + + + + + + + + - -+ + - -+ + * * * *Z(t)X(t)jY(t)X(t)&Y(t):real random processes+2.5.2、复随机过程（共轭自相关、复随机过程（共轭自相关/协方差函数）协方差函数） 77 / 3012

52、12121212Z Z1212Z Z1Z2ZZ ZZ Z(1)R(t,t)EZ (t)Z (t)(2)K(t,t)EZ (t)Z (t)E (Z (t)m (t) (Z (t)m(t)(3)K(t,t)0UncorrelatedR(t,t)0Orthogonal+ + + + + + + + -+ -+ -+ -+ + + + + * * * *1112221122Z (t)X (t)jY (t)Z (t)X (t)jY (t)X (t),Y (t)&X (t),Y (t):real random processes+2.5.2、复随机信号、复随机信号 78 / 30121212121

53、212Z Z12Z Z1Z2ZZ ZZ Z(1)R(t,t)EZ (t)Z (t)(2)K(t,t)EZ (t)Z (t)E (Z (t)m (t)(Z (t)m(t)(3)K(t,t)0Conjugate UncorrelatedR(t,t)0ConjugateOrthogonal+ + + + + + + + -+ -+ -+ -+ + + + + * * * * *1112221122Z (t)X (t)jY (t)Z (t)X (t)jY (t)X (t),Y (t)&X (t),Y (t):real random processes+2.5.2、复随机过程（共轭自相关、复随机

54、过程（共轭自相关/协方差函数）协方差函数） 79 / 30宽平稳复随机过程宽平稳复随机过程zxYZZ22ZZ(t):(1)m (t)mjmcomplex const(2)R (t,t)R ( )(3)E|Z(t)| + + 联合宽平稳复随机过程联合宽平稳复随机过程12121212Z ZZ ZZ (t),Z (t):(1)Z (t) & Z (t): WSS(2)R(t,t)R( )+ + 80 / 30Ex. 2.18：设复随机信号设复随机信号Z(t) ej( 0t+ )，其中，其中 0 为常数，为常数， 为为在在 (0, 2 上均匀分布的随机相位，求上均匀分布的随机相位，求RZ(t,

55、 t+ + )和和RZ*(t, t+ + )解：解：依据定义，两者分别为依据定义，两者分别为 ej 0 和和 0 81 / 30X(t)ttTX(nT)nX(n)分析方法本质上与连续时间随机信号的分析一样分析方法本质上与连续时间随机信号的分析一样时间变量：时间变量：t - n信号处理数字化似乎是大势所趋！ 82 / 30 随机序列随机序列 随机变量矢量随机变量矢量nX(n) 83 / 30(1) 一维情况一维情况 (2) 二维情况二维情况 Xnmnm2XnmXnmnmF (x ,x ;n,m)PX(n)x ;X(m)x F (x ,x ;n,m)f (x ,x ;n,m)xx (3) n 维情

56、况维情况 X1N1N11NNNX1N1NX1N1N1NF (x ,x ;n ,n )PX(n )x ,X(n )x F (x ,x ;n ,n )f (x ,x ;n ,n )xx XnXnnF (x ;n)f (x ;n)x XnnF (x ;n)PX(n)x 84 / 30X12N12NX12N12Nf (x ,x ,x ;nk,nk,nk)f (x ,x ,x ;n ,n ,n )+ XnXnXnmXnm(1)F (x ;n)F (x )(2)f (x ,x ;n,m)f (x ,x ;mn) -严平稳随机序列严平稳随机序列XY1N1M1N1M11NN11MMF(x ,x ;y ,y ;

57、n ,n ;n ,n )PX(n )x ,X(n )x ;Y(n )y ,Y(n )y 随机序列随机序列 X(n) & Y(n) 的联合分布的联合分布XY1N1M1N1MN MXY1N1M1N1M1N1Mf(x ,x ;y ,y ;n ,n ;n ,n )F(x ,x ;y ,y ;n ,n ;n ,n )xxyy+ + 85 / 30XY1N1M1N1MX1N1NY1M1MF(x ,x ;y ,y ;n ,n ;n ,n )F (x ,x ;n ,n )F (y ,y ;n ,n ) 随机序列随机序列 X(n) & Y(n) 的独立的独立联合概率分布不随时间平移联合概率分布不

58、随时间平移 而变化，全与时间起点无而变化，全与时间起点无关，则称此两序列为联合严平稳或严平稳相依关，则称此两序列为联合严平稳或严平稳相依随机序列随机序列 X(n) & Y(n) 严平稳相依严平稳相依XY1N1M1N1MX1N1NY1M1Mf(x ,x ;y ,y ;n ,n ;n ,n )f (x ,x ;n ,n )f (y ,y ;n ,n ) 86 / 30(1) 均值均值 XX-m (n)EX(n)xf (x;n)dx (2) 均方值和方差均方值和方差 222XX2222XX22XX2XX(n)EX (n)x f (x;n)dx(n)DX(n)E(X(n)m (n) EX (n

59、)E X(n)(n)m (n)0(n)(n)DX(n) - - - 87 / 30(3) 自相关函数和自协方差函数自相关函数和自协方差函数 (4) 互相关函数和互协方差函数互相关函数和互协方差函数 X1212XY12X121X12X2X12X1X2R (n ,n )EX(n )X(n )xyf(x,y;n ,n )dxdyK (n ,n )E(X(n )m (n )(X(n )m (n )R (n ,n )m (n )m (n ) - - - - - - - - - XY1212XY12XY121X12Y2XY12X1Y2R(n ,n )EX(n )Y(n )xyf(x,y;n ,n )dxd

60、yK(n ,n )E(X(n )m (n )(Y(n )m (n )R(n ,n )m (n )m (n )- 88 / 30若离散时间随机过程平稳，则其均值、均方值和方差若离散时间随机过程平稳，则其均值、均方值和方差与与 n 无关，为常数，即：无关，为常数，即： 若离散时间随机过程平稳，则自相关函数和协方差只与若离散时间随机过程平稳，则自相关函数和协方差只与时间差有关，即时间差有关，即XX2XXXR (n,nm)R (m)K (m)R (m)m+-(5) 平稳随机序列平稳随机序列 X22X22XXEX(n)mEX (n)E(X(n)m (n) - - 89 / 30随相序列随相序列 X(n) cos( 0n+ )，其中，其中 0 为常数，为常数， 为在为在 (0, 2 上均匀分