方向导数与梯

1、第六节方向导数与梯度在实际问题中，经常需要研究函数在某点沿某一固定方向的变化率问题，例如我们所学习的函数的偏导数实际上就是点沿轴方向变化时函数的变化率，由此引入方向导数的概念。一、 方向导数我们以二元函数为例介绍方向导数。 不难看出函数沿方向的变化率可以用如下极限表示设函数在点的某邻域内有定义，为一向量，其单位向量为，自点引射线，方向与相同，由于是面上通过点且以为方向向量的直线，由解析几何知射线的参数方程为。在上任意取一点，则。由于，所以到两点间的距离为yLQPOx则函数在点处沿方向的变化率我们可以用函数增量与点到点的距离的比值当点沿直线趋于（即）时的极限来表示，该极限为函数在点处沿方向的变化

2、率，称为方向导数。定义设函数在点的某个邻域内有定义，是一非零向量，其单位向量为，如果极限存在，则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数，记作，即。由方向导数的定义可知，方向导数就是函数在点处沿方向的变化率。特别地，如果取，且存在，则。如果取，且存在，则。注意，反之未然。方向导数的计算本质上仍然是一元函数导数的计算，因为若令，则，因而，。例1求在点处沿方向的方向导数。解这里，故设所以 当函数在点处可微时，方向导数可以由偏导数表示出来。所以有于是有如下定理定理设函数在点可微，向量的方向上的单位向量为，则有。设为别为轴、轴到方向的转角，向量上的单位向量为，则例2 求函数在点处沿从到点的方向的方向导数。

3、解 ，。二元函数方向导数的定义及计算方法可以推广到三元函数的情形，若可微，则它在空间一点沿方向（设三个方向角为）的方向导数为。例3设，求它在点沿方向的方向导数。解。方向导数的几何意义：过直线：作平行于轴的平面，它与曲面所交的曲线记作。容易看出，表示割线相应于与向量的斜率，当时，割线相应于斜率即为在点处切线相应于斜率 二、 梯度1、梯度一般说来，一个函数在不同方向上的方向导数是不一样的，这说明函数值沿不同的方向变化速度不同，在许多实际问题中经常需要讨论函数沿什么方向的变化率最大。设函数在可微，的单位向量为，由方向导数的计算公式显然，当的方向和一致时，方向导数达到最大值。为此我们介绍在物理上一个非

4、常有用的概念梯度。这里我们首先介绍二元函数的情形。定义设二元函数在可偏导，称向量为函数在点的梯度（gradient），记为或，即梯度的方向是使方向导数取到最大值的方向，即为函数增加最快的方向，最大值为。例4 设。(1) 求出在点处从到方向的变化率。(2) 在点处沿什么方向具有最大增长率，最大增长率是多少？解(1)设是与同方向的单位向量，则又，所以。(2)在点处沿方向具有最大增长率，为。上面介绍的梯度概念可以推广到三元函数的情形。请大家自己写出定义，并归纳出相应的结论。2、有势场与梯度场场论是物理学即其他学科中常用的一个概念，所谓场是指某种物理量在平面或者空间区域中的一种分布，在数学上实际上是一个映射。数量场如果对于空间区域上定义了一个数量值函数，则称定义了一个数量场，记为，或称为一个数量场。向量场如果对于空间区域上定义了一个向量值函数，则称在上定义了一个向量场，记为，或称为一个向量场。简单地说，场就是函数。数量场是数值函数；向量场就是向量值函数。场通常是空间坐标及时间的函数即为的函数，如果时间的影响可以忽略不计，则称场为静场或恒稳场。一个数量值函数可以生成一个向量值函数称为的梯度场。反之，如果某个向量场是某数量场的梯度场，即，则称该向量场为有势场，而称为的势函数。例6求数量场的梯度场，其中是一正常数，为原点到的距离。解，因而，如果记为与同方向的单位向量，即，则，物理上，上式