方向导数与梯度

1、第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。重点：方向导数与梯度的计算。难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。作业：习题87（）一方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数在点沿任意方向或某个方向的变化率例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题1方向导数定义设函数在点的某一邻域内有定义，自点引有向直线，轴正向与直线夹角为，在上任取一点，若沿着趋近于时，即当时，极限 存在则称此极限值为函数在点沿着方向的方向导数记作说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角，顺时针方向旋

2、转生成的角是负角；2方向导数的计算定理 若函数在点可微分，那么函数在点沿任一方向的方向导数都存在，且有计算公式 其中为轴到方向的转角，是与同方向的单位向量证明：因为函数在点可微分，所以有 ，上式两边同除以，得 ，则 例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 这里方向即向量的方向，因此轴到方向的转角,又因为，所以在点处， 于是方向导数为另一方法例2. 设由原点到点的向径为，轴到的转角为，轴到射线的转角为，求，其中 解 因为，所以，讨论：当时，,即沿着向径本身方向的方向导数为1, 当时，,即沿着与向径垂直的方向导数为零3三元函数的方向导数三元函数在空间一点沿方向(设方向的方向角为)的方向导数，

3、同样定义为 其中，若函数在点可微分，则在该点方向导数计算公式为 其中是与同方向的单位向量例3求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 因为，所以，而且，于是 ，从而 二梯度1梯度定义设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点都可确定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作 2梯度与方向导数关系设是与同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得 可见，方向导数就是梯度在方向上的投影当方向与梯度方向一致时，有，从而方向导数有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数在这点增长最快的方向 结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数

4、的最大值，即 3梯度的计算梯度的模为 ，梯度方向为 当时，轴到梯度转角的正切4梯度的几何意义曲面被平面所截得曲线的方程为 这条曲线在面上的投影是一条平面曲线，它在平面上的直角坐标方程为 对于曲线上一切点，对应的函数值都是，所以称曲线为函数的等高线，等高线上任一点处法线斜率为， 梯度为等高线上点处的法向量梯度与等高线关系：函数在点的梯度的方向与过点的等高线在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向5三元函数的梯度等高线对应等量面例3求解 因为，所以，于是例4设，求解 因为，所以 6.数量场与向量场 如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量，则称在这空间区域内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数来确定，如果与点