数学三2014导数应用

1、第三讲 导数的应用（解答）一 内容提要1、三个微分中值定理：罗尔定理（用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）；拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示）。2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。3、极值、最值：极值的定义，求法（先求驻点及不可导点，再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式，根的唯性）；最值的求法与应用题。4、 曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同给法）。5、 泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法）及应用（证不等式；

2、求极限等）。6、 函数作图与曲线的渐近线的求法。水平渐近线： 则是水平渐近线。铅垂渐近线：，则是铅垂渐近线。斜渐近线：，则是斜渐近线。考试要求：* 理解罗尔（Rolle）定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用* 会用洛必达法则求极限*掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用*会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线*会描述简单函数的图形二 常考知识点1、洛必达法则求极限2、利用导数确定函数

3、的性质（单调性、极值、凹凸性、拐点等），函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。3、 求曲线的渐近线（水平、铅垂、斜渐近线）。4、 利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。5、 利用微分中值定理，证明函数属性。6、 证明函数不等式（常数不等式也可转化为函数不等式证明）。三 例题1 与中值定理的相关题目例1 设在上二阶可导，。证明（1）存在，使得。（2）存在，使得。证明 不妨设，则一定存在一定存在 有零点定理存在（2） 在上使用ROLLE定理 存在使得 在上使用ROLLE定理 存在使得例2 设在0，1上可微，。证明存在，使得。证明 由，由积分中值定理 令在上满足ROLLE定理的条件， 存在使得

4、 即 例3 在0，1上连续，在（0，1）内可导，试证（1）存在，使得。（2）对任意的存在使得。证明 （1） 令在上满足零点定理的条件， 存在使得 即 （2）令在上满足rolle定理的条件， 存在使得 即 例4 在0，1上连续，在（0，1）内可导，试证（1）存在，使得。（2）存在两个不同的，使得。证明 （1）令在上满足零点定理的条件， 存在使得 即 。（2）对函数在上使用拉格朗日定理 存在使得所以 例A 设在（-1，1）内具有二阶连续导数，且，试证：（1）（-1，1）内的任意，存在唯一的使得成立。（2）。 证明 因为在（-1，1）内具有二阶连续导数，所以有拉格朗日中值定理 如果存在 那么 即 与

5、矛盾，所以（-1，1）内的任意，存在唯一的使得成立。（2） 有泰勒公式 介于0和之间 即有： 即 从而 即 例B在上连续，在内可导，且。若存在，证明：（1）在内；（2）在内存在，使。证明 （1） 若存在，由于 （2）；令，则在上满足柯西中值定理的条件，故内存在，使得 即 2 不等式的证明（结合单调性，极值等）例C 证明时，。证明 令 即 从而 时，。例6：证明时，（1）；（2）。证明 （1）令 则 即 时，；（2）令 则 即 从而 即例7.：证明时，。证明 令 在上满足拉格朗日中值定理，即有（其中）即 当 时，。3、洛必达法则 例5：已知当时，函数与为等价无穷小，求和解所以 。19：已知当时，

6、函数与是等价无穷小，则(A) (B) (C) (D) 解 例 D求极限 解 因为 所以 原式=。法二：用泰勒公式，因为当时，所以 原式=例 E 求极限 解 原式=例20：求极限解 原式= 其中 原式=4、讨论方程根的存在情况（结合单调性，极值等）例F 问方程有几个实根？解 令 的定义域为 令得驻点故在处取得极大值（1） 时 方程有2个实根（2） 时 方程有1个实根（3） 时 方程没有实根。例8. 证明方程恰有两个实根。解 令     00极小值极大值，所以方程恰有两个实根。例9、给出方程，就的不同取值，讨论方程根的个数。解 令 的定义域为 令 且所以 时

7、方程只有一个实根得驻点故在处取得极小值（1）时 方程有2个实根（2）时 方程有1个实根（3）时 方程没有实根综上所述：（1）时 方程有2个实根（2）时 方程有1个实根（3）时 方程没有实根（4） 时方程只有一个实根5. 单调性、曲线凹凸性及拐点、函数的极值与最值例10. 已知函数在其定义域内为单调的，求的取值范围。解 函数在其定义域内为单调的，则例11. 设函数由确定，求曲线上凸的的取值范围。解 ，曲线上凸的，则所以 例12：设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性。解 对方程求导， 将 代入上式，得根据保号性曲线在点（1，1）附近是凸的。例13求函数在内的极值。解 所以 函数在

8、取得极小值例：由不等式23可以得到 -2a + a O，则a的取值范围是（ ）A.a9/5 B.a2 C.Oa3 D.a3例14二阶连续可导，。则（ ）。A 极大 B 极小 C (0,)拐点 D 以上都不对。例15：设函数,具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（）（A）（B）（C）（D）6曲线的渐近线（特别是斜渐近线）例16曲线的斜渐近线方程为（ ）。解 是一条铅直渐近线所以有一条斜渐近线为例17：曲线渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 是一条铅直渐近线是一条水平渐近线是一条斜渐近线。8结合函数的图形例18设的图形为：abcde则在区间 上单调递增

9、；在上单调递减；极大值；极小值；曲线的上凸区间 （ ） ；上凹区间（ ）。解 练习：1. 求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。解 解 极大值极小值函数的单调区间为极大值为，极小值为所以渐近线为2. 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点.（A）2 （B）4 （C）6 （D）8解 极大值极小值 而且所以时，函数恰有两个不同的零点.3. ，证明。证明 令 ，有 。4. 证明时，。 证明 令在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，即有 当时， 所以 当时，。5. 求函数的单调区间，并求这个函数对应曲线的拐点。 解 不存在，所以 函数的单调区间为 函数的对应曲线的拐点为。6. 在0，1上连续，在（0，1）内可导，且满足。证明存在，使得。 证明 由 ，根据积分中值定理有：存在使得 令在上连续，可导， 有罗尔定理知 存在，使得。7. 就的不同值讨论方程在内根的个数，并证明结论。解 所以 即 （