教材解析直线与圆

1、教材解析·直线与圆 储聪忠l 直线和圆教材分析1课程标准中的要求11 在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题。12 在教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。2教学的目标与要求21 直线与方程理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用

2、代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，体会斜截式与一次函数的关系。能用解方程组的方程求两直线的交点坐标。探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。22 圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 能确定给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。23 空间直角坐标系 通过具体情境，感受建立空间

3、直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。 通过表示特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。3教材理解与教学初探31 对于直线与方程、圆与方程，教学要求比较高，多是“掌握”的程度。所以，在教学过程中，一定要打好基础，特别是刻画直线、圆的几何要素，要求学生熟练掌握。32 在教学过程中，要不断地灌输“几何问题代数化”、“方程几何化”的数形结合的思想。培养学生由图写方程，由方程画图的互化习惯，不仅要求精确，还要知道方法（如如何确定直线、圆），即掌握直线与圆的几何要素。这是学好本章知识的关键，也是学好直线与圆的方法。33 教会学生掌握教材中的体系，一是直线与

4、圆的刻画（几何要素、方程），二是几何图形的位置关系，如直线与直线的平行关系、垂直关系，直线与圆、圆与圆的相离、相切、相交等关系。也就是方程与位置是本章的主线。34 直线的倾斜角与斜率，是这一章的第一课，恰好也是教材中的第一个难点与重点。学生特别对斜率的理解，可能要经过一个相当长的认识过程。教师要反复讲，由浅入深，螺旋上升。通过教学的深入，来深化学生对这个概念的理解与掌握。35 在直线与方程的这部分知识教学过程中，教师不要简单把结论抛给学生，要求学生死记硬背，而是通过教学过程的呈现，让学生体会知识的发生与变化的过程，与学生一起来体验数学的内在联系与美感。做一定量的识记练习是必要的，但一定要精选习

5、题，使每一道题都能很好的体现知识的载体作用，最大限度地调动学生的积极性。36 在教学过程中，希望教师要用三角板与圆规认真作图，帮助学生树立正确的学习态度，养成科学的学习方法。37 培养学生在解决有关直线与圆的问题时，一定要时时联系平面几何中的直线与圆的几何意义，如对称性、距离关系、弦、弦心距与弦长及半径的关系等，以达到解题的简化。38 让学生学会用联系、发展的观点看问题，如直线的斜率定或截距定，直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离的等价关系、直线与圆的方程所联立的方程组的解的个数的相关性，培养学生辩证地思考。4教材范例与考题分析41 直线与方程教材中的过两点的直线的斜率公式的导出，一定要讲透。

6、P85的例2是一个非常好的例题，学生要理解上可能会有一点困难，教师要特别讲清为什么要“设”，可不可以设成其他的值，为什么？并让学生观察直线的倾斜程度与斜率的值的变化。并可结合练习题2来巩固这种理解。平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.若先学习了高中数学必修四，可知斜率是倾斜角的函数，斜率的图象如右图.对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角=90°；当x1x2时，直线斜率存在，是一实数，当是锐角时，k>0；当是钝角时，k<0.如图，直线的斜率分别为，则有它们的大小关系是_.解答：直线的

7、倾斜角为钝角，其斜率k1<0；直线与直线的倾斜角都是锐角，其斜率k2>0，k3>0，但直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以k2>k3>0.故它们的斜率大小关系为.P87的例4，教师在讲解之后，对于P89的例6，完全可以放手让学生来独立完成。但这个题是例题，书上有图有解答，不是最好的，教师可改编一下，让学生在平面直角坐标系中画点，构成三角形，观察，然后计算，验证。这个过程事实上是一个科学的思维过程，也是后面所有平面解析几何中都是一个常用的模式。直线的几种方程，学生不易记牢。教师重点要培养学生具体问题具体分析的思想，要培养学生观察：直线的确立所应具有的要素？已知的条件说

8、明了什么？如何确定直线方程的形式？为什么这样做？有没有斜率不存在的情形？等等。严格要求，如对于直线的方程，经常要求学生思考：（1） 用点斜式及斜截式时先要考虑斜率是否存在；（2） 用两点式及截距式时要求直线不垂直于坐标轴，截距式还要求直线不过原点；（3） 一般式要求A、B不同时为0；（4） 根据题目的需要选择适当的方程能能够减少运算量，如求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长等问题时，设直线的斜截式或截距式比较方便；（5） 根据题目的特点，用待定系数法设出直线的方程，构造等式确定其中的系数，是求直线方程的常用方法，这体现了方程的思想.教给学生从教材的例习题中总结解题方法P103的“探究题”与P

9、109的习题4、5结合起来；P110的习题3，给出设平行线的方法；P114的习题B组3。如直线的斜截式与一般式在判断直线的位置关系中的区别与联系：已知直线的斜截式方程，已知直线的一般式方程 ， 直线的方程（待定系数法）的设定，如何才能更“给力”：与直线平行的直线方程可设为；与其垂直的直线方程可设为；过两条直线交点的直线可设为.培养学生良好的思维品质，如思维的批判性，学会解后反思，避免不必要的解题失误。如P100习题9，考察学生对“截距”这一概念的理解；P109习题2，3，考察学生对平行的判断能力；P110习题B组4，考察学生的解题的方法多样性与简捷性及考虑问题的全面性。注意培养学生的观察力：P

10、110 B组题1；补充点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线等问题；如何求三角形的高（垂足的坐标）、面积等。也可能补充下面的习题：（1）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为_.解答：如何理解“直线绕原点逆时针旋转”，事实上，直线过原点，从而直线也过原点，且与直线垂直，从而易求出直线的方程为，将它向右平移1个单位，得到直线的方程为，即为.（2）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）.解答：易求出两平行线的距离为，根据题意，所求的直线与两平行直线的夹角为，由数形结合，得出所求的直线的倾斜角为，或.（3）点在以为顶点

11、的的内部运动（不包含边界），则的取值范围是_.解答：在直角坐标系中画出的内部（如图），设，则的几何意义就是线段所在直线的斜率，从而的取值范围是，即.（4）（）设直线系,对于下列四个命题：中所有直线均经过一个定点；存在定点不在中的任一条直线上；对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上；中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）解答：命题中正确的序号是.因为所以点到中每条直线的距离，即为圆:的全体切线组成的集合，从而中存在两条平行直线，所以A错误；又因为点不存在任何直线上，所以B正确；对任意，存在正边形使其内切圆为圆，故正确；中边能组成两个大小不同的

12、正三角形和，故D错误.42 圆与方程对于圆的一般方程，教会学生用配方法，转化为标准方程；教师要认真领会P127例1介绍的两种解法的用意，体会代数法与“数形结合”的特点。认真领会P127例2的“数形结合”的优点，要学生掌握解决关于弦长的问题。再从P129的例3的解法二得到这种意识的强化。建议补充：P132-133中的习题A组4、7、9，B组3、4类似的问题。及点与圆的位置关系。另外，在讲解圆的两种方程时，强化：圆的标准方程：；几何性质：圆心坐标为，半径为.确定圆的标准方程的三要素：.解题心得：“圆过B、D两点”则圆心在线段BD的垂直平分线上；“直线l与圆C切于点E”则圆心C在过点E且垂直于l的直

13、线上；“两圆相切于点M”则圆心连线过点M；若已知圆心所在直线，则常常单参数设圆心，找一个等量关系确定其中的参数即可；“圆C与直线l相切”则圆心C到直线l的距离就是圆的半径.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.（1）弦的中点与圆心的连线垂直于弦，.由这一点可以求直线被圆所截的弦长问题.（2）过圆外一点P的直线与圆相切，求切线方程时，一般有两种方法：一种是联立方程，消去一元，判别式等于0，求出直线的斜率（注：此时切线有两条，若得一解，说明另有一条垂直于x轴的直线也是圆的切线）；若求切线长，根据“过切点的半径垂直于切线”这一性质，利用直角三角形求出切线长（如图）.（3）两圆相交

14、或相切时，两圆的圆心、切点（或相交弦的中点）三点共线，这一性质可简化解题过程.若圆的方程是一般式时，可用配方法化为一标准方程；若圆的方程是一般式时，与直线的方程联立，消元得一元二次方程，根据判别式判断方程组的解的个数，也可以确定直线与圆的位置关系，但此方法较繁，一般不采用；若求过圆外的一点所作的圆的切线方程时，要注意切线有两条，要考虑切线斜率不存在时的情形；在解决圆的弦的问题时，要注意运用“过弦中点的圆的直径垂直这条弦”这一几何性质；求圆的切线，一般设切线的方程为一般式，再根据圆心到切线的距离等于半径来解决.补充例题：（1）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_.解答：过作直线的垂线，垂足

15、为，交圆于点（如图），则圆上各点到的距离的最小值是的长，其中，所以上各点到的距离的最小值为.（2）直线与圆（）相交于两点，弦的中点为（0，1），则直线的方程为 _ .解答：圆心为C（-1，2），所以与中点（0，1）和圆心的连线垂直，从而的斜率为1，故的方程为x-y+1=0.（3）设A（c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由=

16、a（a>0），得=a，化简，得(1a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1a2)+(1a2)y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a1时，方程化为(xc)2+y2=()2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a1时，点P的轨迹是以点(c，0)为圆心，|为半径的圆.（4）自点A（3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程.解：已知圆 (x2)2(y2)21关于x轴的对称方程是(x2)2(y2)21.设l方程为y3k(x3)，由于对称圆心（2，2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或

17、4x3y30.（5）已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.证明：l的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0. 由，解得；即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.可补充下面的练习：1已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系_.解答：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P（x0，y0）在圆内，<r.则有d>r，故直线和圆相离.2若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解答：利用数形结合, 1k1或k=.3已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解答：（1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，依题意，直线y=kx与已知圆有公共点（相交或相切），