总体均值的假设检验

1、总体均值的假设检验一、正态总体均值的检验 设为总体的一个容量为n的样本1方差已知，的检验u检验法当已知时，假设检验问题：选择检验统计量，当成立时，给定显著性水平，由标准正态分布分位点的定义,有，故拒绝域，这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u检验法有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值是小于等于原来的均值，还是大于，即检验假设 可以证明，在显著性水平下，上述假设检验问题和检验假设有相同的拒绝域，因此，遇到形如的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论类似地，形如的检验问题，可归结为

2、检验假设 这都是单边检验问题给定显著性水平，求得的临界值点是上分位点或上分位点 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X服从，其中(kg/cm2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值较以往正常生产的大20(kg/cm2)，设总体方差不变，问在下，能否认为这批钢索质量有显著提高？ 解 依题意，检验假设，由于已知，选择检验统计量因为中的全部都比中的要小，从直观上看，当成立时，的取值不应比大很多，若偏差过大，则拒绝而接受因为 的拒绝域为，故在显著性水平下原假设的拒绝域为本题中，计算的值因此在显著性水平下不能拒绝，即认为这批钢索质量没有显著提高2方差未知，的检验t检验法检验假设因为未知

3、，而样本方差是总体方差的无偏估计量，用代替选择检验统计量 ，当成立时，给定显著性水平，由t分布分位点的定义，有，故拒绝域，这种利用服从t分布的检验统计量的检验方法称为t检验法例2 某切割机工作正常时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm今在某段时间内随机地抽取15段进行测量，其结果如下(cm)：10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.210.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7问此段时间内该机工作是否正常()？假设金属棒长度服从正态分布 解 依题意，检验假设，由于未知，故选择检验统计量在下，给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故

4、拒绝域由已知条件可得故计算统计量的值因为，所以接受，认为切割机工作正常例3 设木材的小头直径，cm为合格，今抽出12根测得小头直径的样本均值为cm，样本方差为cm2，问该批木材是否合格()？解 依题意，检验假设，选择检验统计量在假设下，给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域，也是假设的拒绝域 由于，计算统计量的值因为，故拒绝，认为该批木材是不合格的 二、正态总体方差的检验检验法设为来自总体的一个样本，检验假设1均值已知因为，则选取检验统计量当成立时，给定显著性水平，由分布表分位点的定义，有，故得拒绝域2均值未知因为是总体均值的无偏估计量，用代替选择检验统计量当成立时，给定显著性水平，由

5、分布表分位点的定义，有故得拒绝域 类似地，在已知和未知时，可以求出检验假设和的拒绝域例如，在未知时，检验假设的拒绝域为 上述检验所用的检验统计量均服从分布，称这种检验方法为检验法例4 某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布，今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：68 43 70 65 55 56 60 72(1) 总体均值时，检验(取)；(2) 总体均值未知时，检验(取)解本题是在显著性水平下，检验假设，这里(1) 已知时临界值，而检验统计量的值，由于，故接受(2) 未知时临界值，而，检验统计量的值，由于，故接受§8.3 两个正态总体参数的假设检验 设为总体的一个样本

6、，为总体的一个样本和分别是两个样本的样本均值，和是相应的两个样本方差设这两个样本相互独立一、两个正态总体均值的检验考虑检验假设 1方差与已知u检验法 选取 当成立时，检验统计量给定显著性水平，由标准正态分布表分位点的定义,有，故拒绝域例1 设从甲乙两场所生产的钢丝总体X，Y中各取50束作拉力强度试验，得，已知，请问两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差别()？解 本题是在显著性水平下，检验假设，这里选取检验统计量给定显著性水平，查标准正态分布表，得临界值，故拒绝域由于，计算检验统计量的值由于，故拒绝，认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别2方差与未知，但t检验法选取 这里当成立时，检验统计量给定显著性水平，

7、由t分布表分位点的定义，有，故拒绝域 例2 某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解 检验假设，这里，选取检验统计量给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域计算统计量的值由于，故接受，认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异二、两个正态总体方差的检验F检验法考虑检验假设 1均值与已知因为，选取当成立时，检验统计量给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒

8、绝域2均值与未知因为，选取当成立时，检验统计量给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒绝域例3某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量的方差是否相等?解考虑检验假设由于两个正态总体的均值都未知，选取检验统计量给定显著性水平，查F分布表，得两个临界值：，故得拒绝域计算统计量的值由于，故接受，认为两种香烟的尼古丁含量的方差也无显著差异§8.4 非正态总体参数的大

9、样本检验本节讨论一般总体参数的检验设总体的均值为，方差为， 为总体的一个样本由中心极限定理可知，当样本容量n足够大时，近似地服从标准正态分布因此，我们可以用正态分布去近似如果对均值进行检验，方差未知时，可以用样本方差代替；如果对方差进行检验，均值未知时，可以用样本均值代替下面举两个例子 例1 设某段高速公路上汽车限速为104.6km/h，现检验85辆汽车的样本，测出的平均车速为106.7km/h，已知总体标准差为 km/h，但不知总体是否服从正态分布在显著性水平下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h显著地快？ 解 依题意，检验假设，由于已知，n=85足够大，选择检验统计量近

10、似地服从其拒绝域，其中计算的值，由于，因此接受，没有理由认为高速公路上的汽车比限制速度104.6km/h显著地快 例2 为比较甲乙两种小麦植株的高度(单位：cm)，分别抽得甲、乙小麦各100穗，在相同条件下进行高度测定，算得甲乙小麦样本均值和样本方差分别为 ，问这两种小麦的株高有无显著差异()？解 依题意，检验假设 ，选取 ，这里两个方差用样本方差代替当成立时，检验统计量 近似地服从给定显著性水平，查附表3，得临界值，得拒绝域计算的值，由于，因此拒绝，认为这两种小麦的株高有显著差异 当总体服从(0-1)分布时，由于只有一个参数p，总体均值p和方差均只与p有关，这时对参数p进行假设检验时，检验统

11、计量可以直接用样本和参数p表示出来 例3 某厂有一批产品须经检验后方可出厂按规定二级品率不得超过10%，从中随机抽取100件产品进行检查，发现有二级品14件，问这批产品是否可以出厂()？ 解 这里n=100，检验假设，选取检验统计量 ，U近似地服从由显著性水平，可以得到拒绝域，其中，计算的值，由于，因此接受，认为这批产品二级品率没有超过10%，可以出厂§8.5 分布的拟合检验前几节的检验都是参数的检验实际问题中，有时需要对分布作出假设，进行检验本节只介绍一种分布的检验方法皮尔逊检验法，它只适合于大样本的情形，一般要求样本容量设总体X的分布函数为，为一个已知的分布函数，为总体的一个样本

12、，我们来检验关于总体分布的假设一、基本原理检验法的基本思想是：将随机试验的所有可能结果的全体分成k个两两互不相容的事件，在n次试验中，将发生的次数叫做发生的频数，如果为真，则由大数定律，在n次试验中(n足够大)，()出现的实际频率与理论频率(可由分布函数算出)不应相差很大基于这种想法，皮尔逊构造了统计量或，其中是由计算出来的理论频率，是中未知参数估计出后的分布函数，并证明了如下定理：定理1若n足够大，当成立时，统计量总是近似地服从自由度为的分布，其中r是已知的分布函数中未知参数的个数直观上看，值表示实际观测结果与理论期望结果的相对差异的总和，当它的取值大于临界值时，应拒绝 二、检验步骤 如果为

13、不带有未知参数的已知分布，皮尔逊检验法的具体步骤如下： （1） 将总体X的值域划分成k个不交的区间()，使得每个区间包含的理论频数满足，否则将区间适当调整；（2） 在成立时，计算各理论频率即概率的值：，这里与为区间的端点，即；（3） 数出中含有样本值的个数，即的频数，并计算统计量的值；（4） 由分布，对于给定的显著性水平，找出临界值；（5） 判断：若，则拒绝，否则可接受如果总体X是离散型的，则假设相当于假设总体X的概率分布，如果总体X是连续型的，则假设相当于， 这里为总体的概率密度例1 至1984年底，南京市开办有奖储蓄以来，13期兑奖号码中诸数码的频数汇总如表8.1：表8.1数码i0 1 2

14、 3 4 5 6 7 8 9总数频数fi21 28 37 36 31 45 30 37 33 52350试检验器械或操作方法是否有问题()解 设抽取的数码为X，它可能的取值为09，如果检验器械或操作方法没有问题，则09出现是等可能的，即检验假设 ，这里 依题意知k=10，令，n=350，则理论频数给定显著性水平，查分布表，得临界值由于19.675>16.9，故拒绝，即认为器械或操作方法有问题 如果为带有未知参数的已知分布，未知参数为，这时用这r个未知参数的极大似然估计量来代替中的参数，得到分布函数，然后建立统计量，这里是由计算出来的理论频率，再用以上检验步骤进行检验，但此时检验统计量近似

15、服从分布(这里k>r+1)例2 某高校对100名新生的身高(厘米)做了检查，把测得的100个数据按由大到小的顺序排列，相同的数合并得表8.2： 表8.2身高人数153 156 157 159 160 161 162 163 164 1 3 2 1 4 6 7 6 10身高人数165 166 167 168 169 170 171 172 173 8 7 5 7 5 6 3 4 7 身高人数174 176 178 180 181 3 2 1 1 1 试问，在显著性水平下是否可以认为学生身高X服从正态分布？ 解 这里n=100，我们来检验假设，这里为正态分布的概率密度，设其分布函数为，与为未知参数 先求与的极大似然估计值，：， 设服从正态分布的随机变量为Y，分布函数为按照分组要求，每个小区间的理论频数不应小于5，因此我们将数据分成了7个组，使得每组的实际频数不小于5，各计算结果如下表8.3所示分组(-, 158.5(158.5，161.5(161.5，164.5(164.5，167.5(167.5，170.5(170.5，173.5 (173.5，+)6112