微积分郭庆磊

1、 浅谈微积分在高中数学中的应用 菏泽一中 高二36班 郭庆磊 指导教师 孙国林摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中

2、的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用。关键词：导数；函数；方程；定积分；面积前言微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微

3、积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用 一、导数在高中数学中的应用 课标中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础” 1导数在函数单调性问题上的应用函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧

4、性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷例.求函数的单调区间.分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对求导，得到；再令或，通过解关于的不等式，得到的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上.解： 令解得 或当时，是增函数.再令 解得 或当时，是减函数.单调减区间 ；单调递增区间. 2导数在函数的极值问题上的应用最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导

5、数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。一般地，函数闭区间a，b上可导，则在a，b上的最值求法：求函数在（a，b）上的极值点；计算在极值点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例 求函数的极值和最值。解： ，令 得解得， 由 可得：，因此，当时，得；当时， 得；当时，得。则， 3导数在方程解的问题上的应用(1) 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若，则方程在上有多少根？ 解：设，则，当且时，故在上单调递减，而在与处都连续，且 ，故 在上只有一个根(2) 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法

6、）例 求方程的近似解解 设，可以知道方程的唯一根在开区间(1，2)之中，取x2，牛顿法的迭代公式为xn+1xnxn ， 则 x1.77185 x1.76324 x1.76323因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解 4用导数证明不等式 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式 例 当时，证明不等式成立 证明：设，则 在内单调递减，而， ， 故当时，成立一般地，证明，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知

7、，时，有，即证明了 例 （2007年安徽高考试题）设，求证：当时，恒有分析：此题要证明的不等式是由已知函数变形而来所以证明此不等式，我们无需构造新的函数，只需要通过研究已知函数的单调性，就可以使结论获证 解：对求导得：， 故，于是，所以，当时，因为，所以的极小值不难求得，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有 5用微积分知识证明恒等式 用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明恒等关系，依据 例 证明 证 设，则 ，故 又时，从而 ，因此原题得证 6导数在曲线的切线问题上的应用 导数的几何意义：如果函数的导数存在，则的函数在处的导数即为该函

8、数在点（，）切线的斜率利用这个我们可以求出曲线的切线方程例（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容忽视 7运用微分学知识研究函数图像函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作

9、图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断一般来说，讨论函数图像的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函数的单调区间，极值，列表；(4)观察函数是否有渐进线，如果有，求出渐进线；(5)求出函数的凸凹区间和拐点，列表；(6)确定一些特殊点，如与坐标轴的交点等 例 描绘函数的图像解 定义域为，值域为是偶函数，图形关于轴对称，令，解得驻点，令，解得，当，函数值无限接近于0，即是渐近线综上，画函数草图如下：中学用微分学知识作函数图像，举一、二个例子就行了这里作为函数的一个极为重要的特征凹凸性，B版教材只在“探索与研

10、究”中提到其实学了导数，从单调性到凹凸性是很自然的事情关于函数凹凸性的题目在高考中也屡次露面，我们应该重视函数凹凸性与导数的关系8导数在数列问题中的应用例1 求数列的和(其中，) 分析：这道题可以用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使问题更加简明解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和当，1时，然后等式两边同时对求导，有 例2 已知首项与公差都是正整数的等差数列满足对任意，都有，（1）求数列的前n项的和；（2）求数列的最小项分析：这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的项解（1）注意到，恒成立，则， （2）设，当1n5时，0，当n5时，0，故 二、积分在高中数学中的应用定积分是

11、新课标中新加的内容，课标对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用纵观08、09年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章连续曲线，轴二直线所围成的曲边梯形的面积例1（2008海南、宁夏卷理）由直线，曲线及轴所围图形的面积是（ ）A B C D

12、 解：如图，则此区域的面积，故选D如果平面区域是区间上的两条连续曲线与（相交）及直线所围成的，它的面积为例2求由两条曲线与围成的平面区域，如图解：两条曲线的交点是与，则此区域的面积 定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积，虽然教材不作为教学内容，但可以向学生渗透一些思想 微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，我们高中数学主要有这几种用法，今后也需要我们更全面地探索和研究更多的用法高中阶段微积分的应用是体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义 参考文献：1.人民教育出版社课程教材