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文档简介

1、常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。课本中只介绍了仅关于或仅关于的积分因子，这还远远不够。此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。积分因子的定义：若对于一阶微分方程 其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数若存在连续可微的函数，使得，为一恰当方程，即存在函数，使则称为方程的积分因子通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为：，即 1.1、定义1 若方程 (1)的左端恰好是某个二元函数的全微分，则

2、称(1)式为恰当微分方程.1.2、定义2 如果存在连续可微的函数=，使得 + =0 为一恰当微分方程，即存在函数 ，使，则称为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数为(1)的积分因子的充要条件是=，即是2.1 结论1：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则（2）由(1)得 =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若 取=则有 即,两边乘以且由（2），得 即=为原方程的积分因子.同理得=命题得证。结论2：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则,（3）由(1)得 =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若 取

3、=则有 即,两边乘以且由（3），得 即=为原方程的积分因子.从而得证.结论3：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子,，则, （4）由(1)得 =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若 取=则有 即,两边乘以且由（2），得 即=为原方程的积分因子.同理得=所以命题得证.结论4：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则,（5）由(1)得 =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若,取=则有 即,两边乘以且由（5），得 即=为原方程的积分因子.从而得证.结论5：假设（1）式中和满足关系=，其中分别为和的连续函数，则方程

4、（1）的积分因子为:）证明：由和存在关系得两边同乘以，得）=）从而=根据定义3知）为方程（1）的积分因子.结论6：变量分离方程有积分因子.证明：用乘以变量分离方程两端，得 这个方程是恰当方程，因此变量分离方程的积分因子为结论7：设函数+连续可微且，则方程 有积分因子证明：令，则原方程可化为 两边乘以，得这是一个恰当微分方程，因此原方程有积分因子得证.例题例1求的积分因子解 因为，且，则，于是积分因子为例2 求的积分因子解 因为，且，于是积分因子为例3求方程的积分因子解 因为， ，且，只与有关，于是有积分因子参考文献王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）M.北京：高等教育出版社，2006

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