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1、2、无穷积分的性质与收敛判别1、证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在上的两个函数和都在任何区间上可积，且满足，则当收敛时，必收敛（或者，当收敛，所以，当时，有。由于，因此更有 故收敛。推论1 若和都在任何上可积，且，则有（I）当时，与同敛态；（ii）当时，由收敛可推知，出收敛；（iii）当时，由发散可推知也发散。证 （I）因为，所以存在，使得当时，有即 （*）从而，若收敛，那么收敛。于是由收敛。若发散，则发散，而故发散，即发散。综合即知，与同敛态。（ii）在（*）中令，取右半个不等式，类似可证得结论。（iii）在（*）中取，用左半个不等式即将得证。2、设与是定义在上的函数

2、，对任何，它们在上都可积。证明：若与收敛，则与也都收敛。证由及与收敛可知收敛，故也收敛。又从而，由，及收敛知收敛。3、设，是定义在上的三个连续函数，且成立不等式证明：（1）若与都收敛，则也收敛；（2）又若，则（1）由于，是定义在上的三个连续函数，故必在有限区间上可积，又由知由已知，有收敛，据比较原则，知收敛，从而收敛，由收敛得也收敛。（2）由已知，在给，有且，由迫敛性定理：。4、讨论下列无穷积分的收敛性：（1） （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；解（1）因为，所以积分收敛。（2）因为，所以积分收敛，从而积分收敛。（3）因为，故积分发散。（4）因为，这时，故积分收敛。（5）时，故积分发

3、散，时，由于。这里，故时积分收敛。（6），这时，所以当时积分收敛，当时积分发散。5、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）； （2）；（3）； （4）解（1） 由课本P274例3知：是条件收敛的。（2）由于。而收敛，所以绝对收敛。（3）由于在上单调且当时趋于零，由狄利克雷判别法可知积分（3）是收敛的。又因而发散，收敛，从而积分（4）不绝对收敛，因此（4）积分条件收敛。6、举例说明：收敛时不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛。解 令，则收敛，但发散。7、证明：若绝对收敛，且，则必定收敛。证因，所以当时，从而在上，现绝对收敛，于是收敛，从而收敛，故收敛。8、证明：若是上的单调函数，且收敛，则，且。证 设单调递减，则必有（否则，若存在，使，则当时，从而，发散，矛盾）。由收敛知，任给，存在时故当时，因此，所以，且。9、证明：若在上一致连续，且收敛，则。证因为在上一致连续，故任给，存在某个，使当且时，有 （1）又因收敛，所以对，存在，使当时，有 （2）现考虑积分。时，由（1）有。

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