O0010,向量共线定理的几个推论及其应用

1、向量共线定理的几个推论及其应用人教版数学（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量 b与非零向量a共线有且仅有一个实数，使b a。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题 （诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。 以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量b与向量a共线二 存在不全为0的实数、，2，使a2b = 0，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点A B、C共线=存在一组全不为0的实数，2，使AB-zAChO。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中AB, AC均不为零向量，而推论（一）中，向量I

2、 Ta,b可能含0。推论三：设O A B三点不共线，且 OP = xOA + yOB , （x, y R）,则P、A B三点共线二x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。推论四：设0为平面内任意一点，则三个不同点 A、B、C共线= 存在一组全不为0的实数、， 2, ' 3使-,0a -2030c =0 且 12'3=0证：当0点与A B C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；当0点与A、BC三点均不重合，则三点A BC共线存在s , t R,且s t丰0,使得sAB t AC =0，此时，s工-t，否则AB = AC，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：s(O

3、B -OA) t(OC OA) =0，即：s OB tOC -(s t)OA =0。显然 s+t+-(s+t)=0令 _(s t) =，1 = 0, S =，2 = 0,t =，3 = 0 ,故1 " ''2' “3 = 0 得证。推论五： 设0为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线=若存在实数, -2, -3，使OA 20B 30C = 0且 r 23 =0则 I = 2 = 3=0。推论五实质是推论四的逆否命题。T T T推论六：点P在 ABO的内部（不含边界） 二 存在正实数，使得0P= OA，'20B，且 r2: 1。0?0A 20B，

4、证：如图，必要性：若点 P在 ABO勺内部（不含边界），则延长0P交AB于P，过P作OA 0B的平行线，分别交OA 0B于 M N点，过Pl作OA 0B的平行线，分别交 OA 0B于 M，Ni点，显然iPMkiPMti，|FN|：i农|，OP = OM ON= iOAOB。其中=J-°MI, 2|OA|显然|0B|X 0, ' 20。由于亠；.2 =|OM| 两| ipni 耳|OA| |OB|OA| |OB|卑1 I丄1吗1 ：|OA| |OB|T T TisBj * lal*=1.而充分性由上述各步的可逆性易知。| AB| |AB| |AB|事实上，我们可以将推论三与推论

5、六整合在一起，导出推论七：推论七：分别记过点 A且与BC平行的直线为li ,已知平面内不共线向量 AB，AC 且 AP =打 AB + 九2 AC。直线BC, AB AC分别为12,13,14.则:p点在直线12上= i*2 =1 ； p点在直线12不含a点一侧二1 ；p点在直线12与11之间二0： ：；© ：1；p点在直线i：= 2=0 ； p点在直线11不含直线12一侧二 i-© ：0 ；P点在直线l3不含c点一例：= 2 <0R ； P点在直线l3含c点一侧：='2 0, i R ；P点在直线l4不含B点一侧u : 0, R，P点在直线l4含B点一侧=0

6、, R。1112证：设直线AP与直线BC相交于点P，则设BP "BC，贝UT T T T T T T r T TAP: =AB BP: =AB tBC 二 AB t(AC - AB)二(1 -t)AB tAC,故：俪忌吨书益tTC,则故P若在直线BC上,则、 - =1,又v AP, AP 共线, 贝U AP = kAPkt _k_、=0(kt -k JAB =(kt - 2)AC , v abac不共线，贝U.kt 一 打=0(1)P在区域内，则0<k<1，即0< 2 ：1，且2均为正实数，即0 ： '： 1,0 ： 2 ： 1 ；(2)P在区域内，则0&l

7、t;k<1, t>1，则 20 , '0，且 0 ： '' 2 ： 1 ；(3)P在区域内，则k<0,、 ： 0, 20，且'< '2 : 0；(4)P在区域内，则k<0,1 ： 0, 2 ： 0 ,且 12 : 0;(5) 若P在区域内，则k<0 ,(6) 若P在区域内，则 0<k<1(7) 若P在区域内，则k>1 ,(8) 若P在区域内，则k>1 ,(9) 若P在区域内，则k>1 ,10, ' 2 : 0，且'' 2 : 0，则、,；”2 三(0,1)；则 11

8、, 2 ： 0, m -1;则 0, 20 ,2 -1则、：0, '21,-1.综上：当P点位于h上方， 1.；，2 ： 0 ；当P点位于h下方12上方，(0,1)；当P点位于12下方21 ；当P点位于13左边，'2 : 0， 13右边，'20 ；当P点位于14左边，'10， 14右边1：0从而得证。注：推论(七)的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。、应用举例例1如图，在平行四边形 ABCD中，点M是AB的中点，点 N在BD上。BNBD ,3求证：M N、C三点共线。T 4 H * T T4 T 4证：设 AB = e , AD = e

9、2 , ( ei 与 e2 不共线)，贝U BD = q - e .1 T 11 TLN 为 BD的三等分点， BN BD(e2 -e,),而 BM BAe1 ,33221D2 BN=3e2 一产 Se2 3 匸)eSe2212 BM BC BM333,/ m2,且 m+n=1,且 B、3M C三点不共线，则点 M N、C三点共线。例2 设M N分别是正六边形 ABCDEF勺对角线AC CE的内分点,且 amAC=，若 b、M NCE三点共线，求'的值。分析：要求的值，只需建立f( - )=0即可，而f( )=0就隐含在直线方程的 向量形式中。解：延长EA CB交于点P,设正六边形的边

10、长为1,易知 ECP为Rt ,1AE=AP=AC= 3 , PB=2,A 是 EP之中点，CE = ：CN ,1 11 1- CA(CE CP) CN - 3CB 二一22九22、1 '', CACM ;1 一扎CN 3CB,2又. AM CNAC CE1 1CM1 f 'CN3( 1 _ 1 )CNCB ； B M N三点共线.由推论(三)知,2、 2例3 （06年江西高考题）已知等差数列an的前n项和为S,若OB =qOA - a200OC，且A B、C三点共线，（设直线不过点 O）,则8200=A. 100B. 101C. 200解：易知 a1+a200=1, S

11、200 = 20°（a a200）=100,故选 AoD. 2012例4 （ 06年湖南高考题）如图 OMZ AB点P在由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 （不含边界），且OP二xOA yOB，则实数对（x, y）可能的取值是1 32 2A.（打B. *3）解：由p点所处的区域，禾u用推论（七）的结论我们不难判定 OP二xOa yOB中的线性组合系数对（ x,c.（一弓）4 40<x+y<1，且 x<0, y>0。从而应选 CoD.y）应满足例5 （梅涅劳斯定理）若直线 l不经过 ABC的顶点，并且与 ABC的三边BC CA AB或它们的延长线分

12、别交于P、Q R,则匹=1PC QA RB证：如图，设P、Q R三点分有向线段 BC CA AB,所成的比分别为, 2, ' 3，则CQPC QA RBA又P、Q R三个分点中有一个或三个外分点，所以任取一点0,则由定比分点的向量公式得:'2： 0，因而只需证明1 ,2 * 3 = 一1。0P=0B"10C,0Q=0C"20A,0R=0A+，30B1 +人1 + 21 + 為 P、Q R三点共线，由推论4知存在全不为0的实数ki,k2,k3使OB + 人OCOC + 入2oaOA 十几3oB小（）%（ J ）"3丿 1 +人1 +爲K +k2 +k

13、3 =0）ka（1 '3）=0k2 ）OC 昭1 .，2即（丛2k3 ）OA （ 3k3k1 ）OB （我1 ' '2 1 ' '31 - -S 1 * >11 ' '1且己 走）（汽 代）（占:比）=。，而A、B、C三点不共线，由推论5得3二-1 ,原命题得证。'2k2.k3_，3k3.k112131311例6（塞瓦定理）若P、QR分别是 ABC的BC CAAB边上的点，则，AP、BQCR三线共点的充要条件是去carb“。证:必要性：如图，设 P、Q R分有向线段BC CA则BPPCCQ ar”八"QA RB在平

14、面ABC内任取一点 O令AP、BQ 三点共线，由推论 4知，存在实数k1使OMOA（仆序比恳（仆）CR三线交点为仕Oc,1：；'九2T TOB ； ,1OC11同理存在实数k2, k3使OM = U1 -k31 -k3OM3 OA 3 3OB ksOC ,1+打1 +打-得:(ki 匕2 2)OA (U1 -k2)OB (匕 1 1+為1+人1+人-T o-TM-+1 1-得：（& 一戶）oa （戶-戶 i）OB （戶七）臭髭.1 +打 1 +人 1 + a31 +扎，又 A B C三点不共线，且-匕邑 2） （f-k2）（匕出 -匕喧）=0,11乜1+人1中斷11乜2及(k1_丄_电).(1" k11311-_电'3)(-k1一 k3) = 0 , '由推论 5 得1'31'1,1 k2 1 &a