力学量算符表示全面版资料

1、力学量算符表示全面版资料第三章力学量的算符表示1 如果算符？、?2求证:?3满足条件?2? 2?3? 3?2?n ? n ?n 1? 15证利用条件左乘之得?2则有(? 1) ?2? 2 ?o最后得再以左乘上式得?(?2 ?2 ?) 2?2 ,即?2 ?3? 2 ?2?3 ? 3 ?2则有?3?3Q ?2最后得.3'应用数学归纳法可以证明？-?n 1?n1?(n 1)?n? n ?n 1先设?n 2' 成立,以左乘上式得?n 10? (n 1)?n?n ? (n 1) ?n?n 1则有(? D?n1?n ?n最后得2证明?n 1证应用(A?B?)B? A及(AB?) AB?则(

2、?1?2Ln)l?n(l?L2Ln 1)LnLn 1(L?LL?n 2)L?nL?n 1L2L?同理可证(M?1M?2M?m)M?mMn 1昭则&L2G)(M?1M?2M?m)(?L2Ln)(? Ln) (M?iM?2(Ln Ln?卄口3 若算符e满足M?n)1 ?) (M?mM?m 1 M?1)(M?1M?2 M?m)(iLLn 1L?) (M?mM?m1M?1 )eL?1L?L22!I?n! ，求证：e% 17其中，（I?,®1(L?,(L?,a?)1(L?,(L?1(L?,a?)2!3!I召(L?,a?)L?2!n!a 1L?2!(L? a?)L?21召丄乱22施-(!

3、?!?)2!2!2!2!丄裁仏I2!2!aL?1L?,(L?a?aL?)-1?1?召L?aL?L?aL?L?L?2!2!1?a丄L?aL?2! 2!2!1 L?,(La ai?2L?aL?)3!丄馆丄aL31L?ai?1L?aL?3!3!2!2!直接展开，比较系数法。ae1?* 121I?I?l?因此，把e ae 展开式的L?的同次幕的系数合并之后，我们容易得到:而(?)L?1 G(L?，召)L?证方法一：把eeL?ae" a? （L?,a?）扌（L?,（E,a?）春（I（E,（E,?）SI?si?方法二：定义算符a（s）e ae?（s）对S的微商给出eS'a?e SL? （

4、L?,a?（s）其中S是辅助参数。则算符L?eS?ae SL?da(s)ds2d ?(s)ds2L? da( s)(?(?,召(S)d na(s)（LW,n个L?L?取 s i，得 a（i）e ae将a（1）展开为麦克劳林级数dsnL?（?,a（s）a（i） a（o）生?0ds2i d a（o）2! ds2按定义，召（°）?，所以我们最后得到ee L? a （L?） 扣,（仙）3_（L?i（L?1（?,a?） 2!3!4如果氏"都是厄密算符，但啟？，向：（1）FG （?f?是否厄密算符？（2）i（昭 GF?）是否厄密算符？解利用厄密算符具有的性质（?（?及（Ae?）B? A

5、（1）令 C FG? gi?则 C （ FG?） （G?） G? F? F? G?Gf? FG? （ F? G?的当FG" FG"时，（？（？，故鹅GF?不是厄密算符。（2）因i i ，故i（F? G?F?） i （F? GF?） i （F? GF?） iF?G? G?F? 因此i（i?G d?i?）是厄密算符。例如，x和px都是厄密算符，且x?x ?xX，所以（X?x ?xX）不是厄密算符, 事实上X?x ?xX i显然不可能是厄密的。但是在 ££i ?z中，把它改写为i（LyLx ££）L?z，显然左方是厄密算符。5 如果F?，G

6、?都是厄密算符，而算符KF?iG?求证：KO证斤（间F? i1?iG2_6 试证明力学量P所对应的算符是125并进一-步用数学归纳法证明力学量nP所对n应的算符是 i 。证先证明一维情况，按定义p：C*（Px，t）p：C（Px，t）dp*1*-（PxX Et）C （Px,t） “c i/2（x,t）e dx而（2 ）C(Px,t)(21)1/2(x, t)e-(PxxEt)dx2Px(x,t)e2Px5i-Pxx(x, t)e dpdxdx利用恒等式iP2PxePx2故2dei dxiPxX(x,t)e.2 i2 d_PxX2edxd2- Pxx2 e dx(x, t)dxdxdpx由于:de

7、dxd2e dx-Pxx ddxdxiPxxe -iPxX(x, t)dxi2 Px x e2Px同理dx(x, t)e(xx)C (Px, t)e对于？nn 1P，可先设后，不难得出?n2 d e dxiPxx(x,t)2 dedxiPxxdxdPx(x, t)dxdx x(x, t)dxdx dpx2-(x, t)dxx*(x,t)p： (x,t)dxn成立，然后写出 P的表示式,进行次分部积分1? P?7.求：LxPyLy欧呕?P?£ ?P?L?z?并由此推出L?x?y、 '、g分别与?y, ?z的对易关系。解Lxy?zz?y E z?x x?y Lz xpy ypx且

8、(x, ?x)i '(y, Px)0, (y, Pz) 0, (z, Px)0(z, Py)0以及?x, ?y, ?z之间均可对易。故LxPx?x?x(y?z z?y)?x ?x(y?z z?y)y( PzPx?x?z) z( ?y ?x?x?y)0L?y?x?x?y(z?x x?z)?x ?x(z?x x?z)z( ?2x P2x) (xfx ?xX)?z - ?zi ?zi同理輕PxL?z-|?yi ?yi同理可证，对于 ？y,pz分别有LxPy PyLx i ?z Ly?y ?y?y 0 lyi P*及llXPz?z?xipy,LyPzPzyiPx,Lzpz?zLz0一般地，我们

9、可以将上述各式合并写为：L?jPzLXi ijk Pk其中i，j，k为循环指标，而1,当i jk,且i, j,k为顺序循环时ijk 1,当i j k,且i, j,k为逆序循环时0，当i j时&求？xX xg ?£x XL?y PL?zx x?z ?并由此推出?<,Ly,LZ分别与y,z的对易关系。解Ex xE (y?z z?y)x x(y?z z?y)0Ex x?y (z?x x?z)x x(z?x x?z)2z(?xX x?x) x (?z ?z) i z £x x?z (x?y y?x)x x(x?y y?x)同理可证:2y yE ?xZ zL?y(x?x

10、 ?xx) i yi z £y yL?y0i y ©z z£ i x?zyyL?zi xL?zZ zL?z05般地，可以把上面的式子合并为l?Xj XjL? i ijk xk2x29一维谐振子处于基态其中P)2(x)求(x)2 (解（XT利用第二章第222(x x) x x o3题的结果，我们知道（X）是已归一化了的，故x2x2 dx V2x2x dxdx2x2 .小xe dx 0同理,(x)2x2x2(P)2注意到一维情况下,只须考虑PxdxPx，因此2x2-e 2i2x2一 e 2 dxxixedxex2exee2Px2Te2x)dx 02x222x222x2

11、22x222 e2x2(d_ dx2x e2x2"22 dx2 22x2x dxdx2 22 2(P) ( Px)PxPx取后得22讨论：通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系22 2(x) ( Px)7致。3题的结果，处于基P 0的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第态的一维谐振子的动量几率分布函数为1 -C(P，t)1 e22它是p的偶函数，p 0，这从物理上看是很清楚的。这种对称性(坐标空间和动量空间)是一维谐振子的主要特征之一。2p也可以从动量空间中求平均而得到。在以x为自变量的表示式中,d22dx22一维谐振子的薛定谔方程为(X)05X2

12、EX,代入上式可得2):?在以p为自变量的表示式中，考虑到算符d 2c( P)iP，故薛定谔方程为同理可令dp2c(p)2EP,，于是有d2c(p)dp2显然c( p)的解只须在(X)中以p代替 2p2 厂出(2)c(p)0x即得:Cn(P)P)2n!2n22Co(p)p Co(p)dp和上面得出的结果一致。10. 维运动的粒子处在x,当x 当xAxe(x) 0,0)求(x)2 ( p)2解由第二章第1题知归一化系数为2 3/2x dxa20xdxx2x2dxA22 xdx(x)2x2x232在上面的计算中利用了积分公式n!(2 )n 1xdxdx A2 ixex_d_dx(xe x)dxA2

13、xex(exe)dxA2(xx2)dxA21(2?2!(2?A2A20xe4 2x d2 (2(xedxx)dxxexe x)dxA20 xe x( 22xex)dx2 x ze (2 x2x2)dx A2 2 21(2 )23(2 )八22e1 ,3 212 2A4442222 2(p)pp(x)2(p)23“ 22 23 24 2420A2最后得讨论:2 2(X)( P)4，满足测不佳关系。* 2用 p c(p)pc(p)dp 及 pc (p)p c(p)dp求得的结果也和上面的结果一致。显然，在已知(x)的情况下，把 p用算符i代替，直接用坐标几率分布函数表计算p或p2 ,比先由(X)求

14、动量几率分布函数c(p)，再由c( p)2来p或p简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给 计算带来方便。在第四章将看到，一个力学量，不管用p作自变数，还是用 X或其它量作自变数,计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测 量的值，它不应当和计算方法有关。11.求粒子处在态 Ym时角动量的X分量和角动量y分量的平均值Lx, Ly ；并证明:2(Lx)2 ( Ly)2 y(l2 l m)2解(1)先证明两个普遍的关系：(LX i£)YmV(lm)(l m 1) Y,m 1可以用两种方法来证明。i l?L?xL?zL?zEL?yL

15、XL?XLZ(a)从角动量算符L? L?LZLXL?yLZ或?L所满足的对易关系出发:由一式与二式乘i后相加减可得：iLZ(LX 吆)(LX 电)£或 iLZ(LX i£)(LX iE)(E£(2 iLy)对冷运算得： iLy)Ym (LX i?y)(LZ用算符L?z(LX(LX iLy)Ym(m 1) (LX iL?y)Ym另外，注意到L?(LX 所以？(LXL?和?y,LZ均可对易，故有： iL?y)(L?X iE)l?iL?y)Ylm (LX i?y 疋 Ym l(l 1) 2(LX i£)Ym从上面二式可见（LX i?y）Ym既是l?Z的本征函数

16、，本征值为（m 1），又是 数，本征值为1（1 。2,亦即（LX iLy）Ym，具有Y|，m 1的形式。的本征函令(?<它的共轭复式是i£)Ym C Y,m1(LX i ?y) Ym C Ym 1二式相乘,2,积分，再注意到 Y,m的正交性，得:(LX i£)Ym(Lx iLy)*Ymd Ym(LX il?y)(L?x i?y)Ylmd(LXiL?y)L?xEi(LXiL?y)CYm(£吆)但 i?y)Ymd* <2 Ym E?yi(L?xL?yLyLx)Ymd* <2Ym(F?L?z)Ymdl(l 1)2 2 m m(l m)(l(LX i?y

17、)Ymv'(l m)(lm 1) Y（b）用直接求微分的方法证明12 i sin -一 ctg cos 1?yi cosctgsinLXiL?yi eictgLX i£i e-ictgm、(l m)!(2l卫 Rm(cos)eim1/4 (l m)!；mPl(cos ) sinmdm “、m-Pl (cos )d (cos ),m 1而其中m 1)(LX故i?y)yimm 1msin cosdmd(cos )mPl (cosmsinm)sin ictg sindmds?Pl cos)(im)i(m 1) e(l m)!(2l1)一 4 (l m)!(L?xQiLy)Ym,(l

18、 m)(l m 1)(l m 1)!(2l1)4 (l m 1)!sind (cosi( |1)-t Pl (cos )e、(l m)(lm 1) Y,m 1同样，对LX iLy也有(L iL?y)Ylmm 1msi ndmPi (cos )mictg sinm 1 cosm Pl (cos ) sind(cos )dmdm 1d(cos )m 12 m cosd(cos)m Pl(cos )(im)ei(m1)(l m)!(2l1)4 (lm)!.2 sin 其中dm(l m 1)!(2l 1). m1sin(l m)(l m 1)4 (l m 1)!dmi(m 1)d(cos)m Pg )

19、 e (l,(l m)(l m 1) .4dm1(l m1)!2 sinorpl(cos)(lm)(l m 1)d(cos )m 11Pl (cos )i (m 1) e,(l m)(lm 1) Y,m 1d (cos )mrPl(cos2 m cosdmm 1“2、d/(1)-tPi(d2md(cosd m Pl()d)mPl (cos )(l m)(l mm 11)pl()可证明如下：因为勒襄德多项式Pl(cos )Pi()满足方程2、dPl吋 l(l 1)Pi对上式求微商md - (1(1或(1故有1次后得到2)dp1)丁1m下plm 12 _d丿 m 1 Pl d2m-jl(l 1)-

20、 dmd pi7m 1Plm 1m(m2mmd pid m(l1)dm)(lP1m 1 l(l记d1)dm 1d _m 1Pl现在来求Lx和Ly 注意到Ylm的正交性，亦即YmYmSin d令 Lx iLyY-(LxiL?y)YimSin d dYr!. (l m)(l m 1) Y,m 1 sin d d 0L?Ym(3)Lx 2(?x S1(L?X SLx2m1)Yl,m i2(!m)(l m 1)Yl,m 12 2(Rm)(r1)1 2 , (l m 2)(l m1)Yl,m 21 2 (l m)(l m 1)Ym2 _2 (lm)(lm 1)1 厂m_1)厂m_2)Y,m 2注意到Ym

21、的正交性，得:L2xYlmL?YmSinm)(l m1) (l m)(lm 1)m2)同理可证:L2y2y21故(Lx)2 Lx2 2(lm2)2 2(Ly) Ly方法三：在固定2 Ly -(lZ轴不变的情况下，进行坐标旋转,l m2)把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时E, L在球坐标中的算符表示式看出角不变，唯一的改变是变为，注意到x和y的对称性，不难由L2L2x而LxLy°(Lx)2(Ly)2讨论：为了证明lx1)2m2lm2)Ly2LxT(l227(l2Ly0； Ly 05m2)m2)我们还可以用下面两种简并方法:(a)设Ym( 1 )为的本征态，则有?zYm( ,

22、) m Ym(,)?yLZ LZE i ?x17L丄I?X故ILzLzLy1* I? |?v dY* 1? I? Y d:-lm yzlmIm zfmi1 miYm?yYmd(疏疋丫加1 miYm?yYmdm YmiyYmd0同理，因为££ i Ly，可以证明Ly 0(b)利用本章第12题的结论来证明 Lx0,令 ALy, BLy, C?x则显然A B?都是厄密算符，A，B?的对易关系为:A? BA i(?L?yL?z鸵ILX利用12题的结论2、2C2(A)(B)4得出z 、2z 、2(-lx)2(Ly)(Lz)4由于态Y|m(,)是Lz的本征态，在本片态中测量力学量Y|m

23、(，)态在平均平方偏差(2Lz)必须为零。故有2(Lz)0(Ly)2 (Lz)22 22(Lx)2要保证不等式4成立，考虑到就是角动量分量之间所必须满足的对易关系2(Lx)为非负的数，所以必须是同理，只须利用LzL?x LxL?zLx 0。Lz有确定值，即力学量Lz在i ?y，也可以证明Ly在方法三中，不从物理上考虑,i L?x LyLZ 址直接从对易关系出发，也很容易证明lX注意到LX 丄(LyLz L?z?y)iL?x 得:LX ( l?xl?yL?zil?xl?zL?y)L!丄 YmLXLyLzYmdiYmLXLzLyYmd-mYm?x?yYlmd*Y|mI?xI?zL?yY|md左乘利

24、用右乘 Ly得: Ly 冲y ?xM)U 丄 YmLzLXLyYmdiYmELzLyYmd丄(LZYm)*LxLyYmdiYmLXLyYlmdmYmL?xL?YmdiYmLXLYmd2 22 2比较Lx和Ly可见，Lx Ly。再利用Lx Ly 0，按照方法三的讨论，很容易证明。 22 2 2 2(Lx)( Ly) y(l Im)12.若R、B?都是厄密算符，且A? BAiC?，证明:2(A)(B)2AB?C24BAi(?引入积分J(B?B?)(? i B?)其中为实参数，显然j( )* A2J(B?2 i)0(A?2 2 2A i (ic) B 0这是关于的二次三项式,C24( A)2A)2

25、(B)2(B)2C24要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即0若Ku L?为K的本征函数，对应的本征值为1 ；W也是K的本征函数，对应的本征值为1。解依题意K则矶朋?M?L?l?(?M? 1)?L?L?(1)L?(1)u故u是K的本征函数，对应的本征值为1 ,Kl?M?M?(1 M?l?)M?M?MfK?B.，则LM?，且 LM? M? 1,证明，若 也是 K的本征函数，对应的本征值为M? M? (1)M?(1)故也是K的本征函数，对应的本征值为1。xd (x)(x)(1)dx(2)(ax) a 1(x)；(3)(a x)(x b)dx证(1)方法一:d (x).xdxxd (x)dxd (

26、x) x(x)dx14.证明狄拉克函数的下述性质:方法二：(a b)x (x) (x)dx (x)dxxf(x)d 凶dx xf(x)d dx(x) xf (x) (x) (x)d xf (x)(x) f(x)dx (x)xf (x)dx (x)f (x)dxf (x) (ax)dx 丄 f(x) (ax)d(ax)1y-f()(y)dy1-f(0)(2)aaaa上面令y ax。1 而 af(x) (x)dx1-f(0) a故1(ax)-a(x)(3)令 f(x)(ax)则(a x) (x b)dxf(x) (xb)dx f (x)x b(a b)左右二端相比较可得：xSdxx注意：函数在运算

27、时还有其他重要性质，例如：f(x) (x a) f(a) (x a)2 2 1(x a )(x a)(x a)ax (x)0等等。用相似的方法也可以证明。15利用测不准关系估计氢原子基态能量。解若电子的质量为，电子离核的距离为r，则氢原子的平均能量为2 2E匕乞2 r式中P是电子的动量。p r 利用测不准关系2对氢原子的基态，由于其对称性，故，而电子和核的距离在数量级内，其误差不会大于本身，即所以得到若在能量表示式中，以代替，由于，故基态的能量最小，故故对类氢原子则有z为原子序数。，就是第一玻尔轨道。上述结果和用精确方法求得的氢原子基态能量相符，这里的16.设体系处在态中，求:(1)力学量的可能值和平均值；(2)力学量的本征值；(3)力学量和的可能值。解(1)因为和都是的本征函数。对应于态，的本征值为；对应于态，的本征值为 。因此，对态来说，的可能值是0,。力学量 的平均值为故故对应于 态，的本征值为