巧解双曲线的离心率

1、巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。1、求离心率的值（1）利用离心率公式，先求出，再求出值。（2）利用双曲线离心率公式的变形： ，先整体求出，再求出值。例1 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_.分析：双曲线的渐近线方程为，由已知可得解答：由已知可得，再由，可得.（3）构造关于的齐次式，再转化成关于的一元二次方程，最后求出值，即“齐次化”。例如：例2 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_.分析

2、：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。解答：因为两条直线垂直， 所以（负舍）2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。（1）直接根据题意建立的不等关系求解的取值范围。例3 若双曲线（），则双曲线离心率的取值范围是_.分析：注意到的条件解答：（2）利用平面几何性质建立不等关系求解的取值范围。例4 双曲线的两个焦点为，若为其上非顶点的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为_.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。解答：因为，而，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以。（3）利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解的取值范围。例5 已

3、知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线离心率e的取值范围是_.分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。解答：由可得，又因为点P在双曲线的右支上，即，所以.（4）运用数形结合思想建立不等关系求解的取值范围。例6 双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率，再由 。（5）运用函数思想求解的取值范围。例7 设，则双曲线的离心率的取值范围是_.分析：把离心率表示成关于的函数，然后求函数的值域解答：把或表示成关于的函数，然后用求函数值域的方

4、法求解，。小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出的值，能够得到中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。练习：（1）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C2 D3解：设双曲线C的方程为1，焦点F(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|AB|2×2×2a，b22a2，答案：B（2）已知双曲线C：1

5、(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay±x By±x Cy±x Dy±x解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y±x，又离心率为e，所以，所以双曲线的渐近线方程为y±x.答案：C（3）双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是()A. B2 C. D.图1解：如图1，由l2PF1，l2PF2，可得PF1PF2，则|OP|F1F2|c，设点P的坐标为，则 mc，解得ma，即得点P的坐标为(

6、a，b)，则由KPF2，可得2ac，即e2.答案：B（4）若双曲线1的离心率为，则m的值为_解：由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e，所以m2.答案：2图2（5）如图2，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是_A3 B2 C. D.解:设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于双曲线与椭圆有公共焦点且M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案：2（6）设点P在双曲线1(a>0，b>0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取

7、值范围是_解：由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以4|PF2|PF2|2a，|PF2|a，|PF1|a，所以整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.答案：（7）已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_解：由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF<即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|<|EF|就能

8、使AEF<，即<ac，即b2<a2ac，即c2ac2a2<0，即e2e2<0，即1<e<2. 又e>1， 故1<e<2.答案：(1,2)（8）如图3，F1，F2分别是双曲线C：1(a>0，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，求C的离心率.图3解：依题意，知直线F1B的方程为yxb，联立方程得点Q，联立方程得点P，所以PQ的中点坐标为.所以PQ的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2

9、，即3a22c2. 所以e.答案：（9）双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e. 双曲线的离心率为.答案：（10）如图4，双曲线1(a0，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦