工程力学课件之平面任意力系

1、 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 工程力学第四章 平面任意力系 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 4-1 4-1 平面任意力系概念及工程实例平面任意力系概念及工程实例 各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。不都平行的力系称为平面任意力系。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 一、力的平

2、移定理一、力的平移定理4-2 4-2 平面任意力系的简化平面任意力系的简化证：证：F 可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A A的力的力 平行移到任一平行移到任一点点 B B，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的矩等，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的矩等于原来的力于原来的力 对新作用点对新作用点B B的矩。的矩。FM=MO(F)ABMABFFFFABF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 力线平移定理是力系向一点简化的理论基础。力线平移定理是力系向一点简化的理论基础。力线平移定理

3、可考察力对物体的作用效应。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 二、平面任意力系向一点简化二、平面任意力系向一点简化向一点简化向一点简化FnMn任意力系任意力系汇交力系汇交力系+力偶系力偶系（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）。OF1。A1F2。A2。FnAn。OF1F2M2M1简化结果简化结果: :平面汇交力系平面汇交力系力（主矢）力（主矢）平面力偶系平面力偶系力偶（主矩）力偶（主矩）xoyFRO=FRM=MO 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 12312 ( )( )( )OOOOiMmmmm

4、Fm Fm F大小大小方向方向主矢主矢主矩主矩FRO=F1+F2+Fn=F =FR2222()() RR xR yxyFFFFFarctanarctanRyyRxxFFFF作用点作用点: : 简化中心简化中心 ( (与简化中心位置无关与简化中心位置无关) ) 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 说说 明明1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简

5、化中心。明简化中心。主矩：主矩： 012ooonoMMFMFMFMF12RnFFFFF 主矢：主矢： 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 平面固定端（插入端）约束平面固定端（插入端）约束 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 平面固定端的约束力平面固定端的约束力AAAAMAFAyFAxFAMA 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 三、三、 平面任意力系简化的最后结果平面任意力系简化的最后结果 =0, =0,M MO O00，简化结果为一合力偶，简化结果为一合力偶

6、, , 刚体等刚体等效于只有一个力偶的作用，因力偶可以在刚体平效于只有一个力偶的作用，因力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O O无关。无关。RF =0 =0，M MO O =0 =0，力系平衡，力系平衡, ,下节专门讨论。下节专门讨论。 RF1. 1. 简化结果简化结果： 0,0,M MO O =0, =0,简化为一个作用于简化中心的简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是力系的合力。（此时合力。这时，简化结果就是力系的合力。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）RF 河南理工大

7、学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 RF 0,0,M MO O 0, 0,为最一般的情况。此种为最一般的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力情况还可以继续简化为一个合力 。RF合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用线位置的作用线位置RMdORFRFOOOOFRdFRFRMOFRdOOOOOOFRdFRFRMOFRdOO 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 )()()(主矩合力偶iOOFmM()()ORROmFFdM一合力偶1()()nOROiiMFmF一 平面任意力系的合力对作用面内任一点之平面任意力系的合力对作用面内任一点之

8、矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。2. 2. 合力矩定合力矩定理理OOFRdFRFRMOFRdOOOO 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 FxxoyAF FyFyFxxy =-yFxxFyMO(F)合力矩定理的解析式 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 例题例题 4-1 在长方形平板的在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四点上分别作用着有四个力：个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四（如图），试求以上四个力构成的力系对点个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该

9、力系的最后的合的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。成结果。234cos60cos300.598kNRxxFFFFF 124sin60sin300.768kNRyyFFFFF OABC xy2m3m30601F4F3F2F解：解：取坐标系取坐标系Oxy。（1）求向）求向O点简化结果：点简化结果： 求主矢求主矢 ：RF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 cos , 0.614RxRRFFxF0.794kN22RRxRyF=F+ F= , 52 6RFx cos , 0.789RyRRFFyF , 37 54RFy yOABC xRF 主矢的大小主矢的大小主矢的方向主矢的

10、方向 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 求主矩求主矩： OoMMF2342cos6023sin300.5kN mFFF （2）求合成结果：合成为一个合）求合成结果：合成为一个合力力FR， FR的大小、方向与的大小、方向与FR相同。相同。其作用线与其作用线与O点的垂直距离为：点的垂直距离为：R0.51mOMdFyOABC xRF OMRFdOABC xy2m3m30601F4F3F2F 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。力系的主矢和对任意点的主矩都等于

11、零。00ROFM 22 ()()( )RxyOOFFFMMF 平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：000 xyoFFM1、平面任意力系的平衡方程、平面任意力系的平衡方程43 43 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 平面任意力系平衡方程的三种形式：平面任意力系平衡方程的三种形式：刚体平衡条件刚体平衡条件二矩式二矩式A、B连线与连线与x轴不垂直轴不垂直三矩式三矩式A、B、C三点不共线三点不共线一矩式一矩式Fx =0Fy=0 MA=0Fx =0MA=0 MB=0MA=0M B=0 MC=0 河南理工大学土木工程学院 工

12、程力学 第四章 平面任意力系 解：解：（1）取伸臂）取伸臂AB为研究对象；为研究对象； （2）受力分析如图：）受力分析如图：例题例题 4-2 悬臂式简易起重机可简化为图示结构。悬臂式简易起重机可简化为图示结构。AB是吊车是吊车梁，梁，BC是钢索，是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电动端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物共重葫芦和重物共重P=10kN，梁自重，梁自重W=5kN,=30o。求钢索。求钢索BC和铰链和铰链A的约束力，以及钢索受力的最大值的约束力，以及钢索受力的最大值 。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 ( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：A

13、B( )0,sin02lMFWP xFl AB0,cos0 xxFFFAB0,sin0yyFFWPF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 ( (4) ) 联立求解，联立求解，可得：可得：B222sinsin30ollWP xWP xxFWPlllAB33cos302oxxFFWPlA(2)sin2 (1 sin )(1sin )yxFWPWPlxWPl当当x=l时，钢索受力时，钢索受力FB最大，为拉力。最大，为拉力。Bmax225 kNFWP 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 解：解： （1）取）取AB研究对象，受力分析如图。研究对象，受力分析如图

14、。 （2）列平衡方程：）列平衡方程：例例 4-3 求图示悬臂梁固定端求图示悬臂梁固定端A处的约束力。其中：处的约束力。其中：q为均布载为均布载荷的载荷集度，集中力荷的载荷集度，集中力F=ql，集中力偶，集中力偶M=ql2 。BAq2lFMB2lFMAxFAyFAM xAy 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 0,xF 0AxF0,yF 0,AmF 20AyFFql220AMql lMFl 负号表示实际方向和假设的方向相反。负号表示实际方向和假设的方向相反。( (3) ) 联立求解：联立求解：0AxF2AyFqlFql2AMql B2lFMAxFAyFAM xAy 河南理工

15、大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 解：解：（1）取梁为研究对象。）取梁为研究对象。（2）受力分析如图。）受力分析如图。例例 4-4 水平外伸梁如图所示。若均布载荷水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩，力偶矩M=20kNm ，a=0.8m，求，求A、B点的约点的约束反力。束反力。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 ( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：( (4) ) 联立求解：联立求解：AAB24 kN,0,12 kNyxyFFFAB( )0,202yaMFqaMFaFaAB0,0yyyFFFFqaA0,0 xxFF 河南

16、理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 例例 4-5 刚架刚架ABCD的的A处为固定铰支座，处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此处为辊轴支座。此刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN， a=3 m。求支座。求支座A、D的约束反力。的约束反力。 解：解：（1）取刚架整体为研究对象，画出受力图。）取刚架整体为研究对象，画出受力图。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 ( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：( (4) ) 求解：求解：A12D( )0, 20yMFF aFaFaD21A( )0, 20yM

17、FFaF aFaA10, 0 xxFFFA110 kNxFF A21()/25 kNyFFFD15 kNyF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000平面平行力系的方程为两个，有两种形式：平面平行力系的方程为两个，有两种形式：00yoFM各力不得与投影轴垂直。各力不得与投影轴垂直。00BAMM两点连线不得与各力平行。两点连线不得与各力平行。BA, 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 塔式起重机的结构简图如塔式起重机的结构简图如图所示。起重机自重为图所示。起重机自重为W，载，载重为重为W1

18、，平衡物重，平衡物重W2。要使。要使起重机在空载、满载且载重在起重机在空载、满载且载重在最远处时均不翻倒，试求平衡最远处时均不翻倒，试求平衡物重。物重。解：解：（1）取塔式起重机整体为研究对象）取塔式起重机整体为研究对象,受力分析如图。受力分析如图。（整机在平面平行力系作用下处于平衡。）（整机在平面平行力系作用下处于平衡。）2W1WWeCbla例例 4-6 翻倒问题翻倒问题 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 ( (2) ) 列平衡方程：列平衡方程：0,AM0BF 1) 空载时（空载时（ W1 =0）：）：不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：B2()0Fb W ebWa B2

19、1()0FW ebWab可得空载时平衡物重量可得空载时平衡物重量W2的条件：的条件：2()W ebWa2W1WWeCbla 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 0,BM0AF 2) 满载且载重位于最远端时满载且载重位于最远端时,不翻倒不翻倒的条件是：的条件是：A21()0FbW abWe W l A121()0FWeWlWabb 211()WWeWlab2W1WWeCbla121()()W ebWeWlWaba综合考虑，平衡物重量综合考虑，平衡物重量W2应满载的条件应满载的条件：可得满载时平衡物重量可得满载时平衡物重量W2的条件：的条件： 河南理工大学土木工程学院 工程力

20、学 第四章 平面任意力系 一、基本一、基本概念：概念： 刚体系刚体系 由若干个物体通过约束组成的系统；由若干个物体通过约束组成的系统； 外外 力力 物体系以外任何物体作用于该系统的力；物体系以外任何物体作用于该系统的力； 内内 力力 物体系内部各物体间相互作用的力；物体系内部各物体间相互作用的力；44 44 物体系统的平衡物体系统的平衡静定与静不定的概念静定与静不定的概念CFBFBCCFACqAxFAyFABCq 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 物系平衡的特点：物系平衡的特点： 物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体

21、可列3 3个个 平衡方程，整个系统可列平衡方程，整个系统可列3 3n个方程（设物系中个方程（设物系中 有有n个物体）个物体） 解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部局部（常用），由局部由局部 整体整体（用较少） 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 解：解：1、以整体为研究对象，画出受力图、以整体为研究对象，画出受力图 例例 4-9 三铰拱结构如图所示，它的左半部受到竖向均布三铰拱结构如图所示，它的左半部受到竖向均布荷载荷载q的作用。已知的作用。已知q=10kN/m，a=4m。求支座。求支座A、B的的约束反力。约束反力。 河南理工大学土木工程学院

22、工程力学 第四章 平面任意力系 列平衡方程列平衡方程:B0, 202AyaMFqaFa0,xF AB0 xxFF0,yF AB0yyqaFFA33 10 kN/m4 m30 kN44yqaFB10 kN/m4 m10 kN44yqaF解得：解得： 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 2、以左半部分为研究对象，画出受力图、以左半部分为研究对象，画出受力图 。列平衡方程列平衡方程:C()0,MF AA02xyaFaFaqaAB10 kN/m4 m10 kN44xxqaFF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 解：解：1、取系统整体为研究对象，画出受力图。

23、、取系统整体为研究对象，画出受力图。 例例4.11 物块重物块重W=12 kN，由，由3根杆根杆AB、BC和和CE组成的构组成的构架及滑轮架及滑轮E支承。已知：支承。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不，不计杆及滑轮的重量，设滑轮半径为计杆及滑轮的重量，设滑轮半径为r，求支座，求支座A、B的反力的反力以及以及BC杆的内力。杆的内力。DCBAEWByFFAxFAyFABCED 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 列平衡方程：列平衡方程：A( )0,MF B4 (1.5 )(2 )0yFFrWrB10.5 kNyF0,xF A0 xFFA12 kNxFFW0,yF

24、 AB0yyFWFAB1.5 kNyyFWFWByFFAxFAyFABCED解得：解得： 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 列平衡方程：列平衡方程：2、以、以ADB杆为研究对象，画出受力图。杆为研究对象，画出受力图。解得：解得：ByFBCFAxFAyFADBDxFDyFBCBCFBCFBCDAB221.5( )0,2 2 2 021.5yyFMFFFBC15 kNF 负值说明二力杆负值说明二力杆BC杆受压。杆受压。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 1、静定问题静定问题 当系统中未知量数目等于或少于独立平当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数

25、目时的问题。衡方程数目时的问题。 2、静不定问题静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡方当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。程数目时，不能求出全部未知量的问题。(也称为超静定问题也称为超静定问题)静定静定静不定静不定静不定静不定静不定静不定三、静定与静不定概念：三、静定与静不定概念： 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 45 45 考虑摩擦时的平衡问考虑摩擦时的平衡问题题摩擦力摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力滚动摩擦力滚动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力静滚动摩擦

26、力静滚动摩擦力动滚动摩擦力动滚动摩擦力摩擦力的分类：摩擦力的分类： 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 PNF如果施以水平力如果施以水平力HFHF可能出现什么情况？可能出现什么情况？F摩擦力摩擦力 两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间产生了彼此阻碍运者有相对滑动的趋势时，在接触面之间产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。 现有一物块承受重力，在铅垂方向必有约束反力与之现有一物块承受重力，在铅垂方向必有约束反力与之平衡。平衡。一、滑动摩擦力

27、的特征一、滑动摩擦力的特征 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 静滑动摩擦力的特点：静滑动摩擦力的特点：1 方向：沿接触处的公切线，方向：沿接触处的公切线，2 大小：大小：max0FFs3 NFfFsmax（库仑摩擦定律）（库仑摩擦定律） （ f s只与材料和表面情况有只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）关，与接触面积大小无关。）与相对滑动趋势反向；与相对滑动趋势反向；max0FF临界摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为：临界摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为：PNFFfF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 2 2 大小：大小：FfF N

28、动滑动摩擦的特点动滑动摩擦的特点：1 1 方向：沿接触处的方向：沿接触处的公切线，公切线， 与相对滑动趋势反向；与相对滑动趋势反向； 一般情况下，动摩擦力一般情况下，动摩擦力 小于最大静摩擦小于最大静摩擦Fmax，并可以看成是一个常数。并可以看成是一个常数。Ff称为动滑动摩擦因数。称为动滑动摩擦因数。sff 对多数材料，通常情况下对多数材料，通常情况下 , ,实际中常实际中常取取 。sffPNFHFF 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。基本相同。几个新特点：几个新特点：2 2

29、严格区分物体处于严格区分物体处于临界、非临界状态临界、非临界状态；3 3 因因 问题的解有时在一个问题的解有时在一个范围范围内。内。maxFFs01 1 画受力图时，必须考虑画受力图时，必须考虑摩擦力摩擦力；二、有滑动摩擦时的平衡问题二、有滑动摩擦时的平衡问题 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 推力为推力为 ， 解：使物块有上滑趋势时，解：使物块有上滑趋势时，1F已知：已知：.,sfP水平推力水平推力 的大小的大小求：求： 使物块静止，使物块静止，F例例4-124-12画物块受力图画物块受力图,0 xF0sincos11sFPF(1),0yF0cossin11NFPF(

30、2) 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 解得：解得：PffFsssincoscossin11N 1SsFf F(3)(3)设物块有下滑趋势时，推力为设物块有下滑趋势时，推力为2F画物块受力图：画物块受力图：PffFsssincoscossin2, 0 xF0sincos22sFPF(1)(1), 0yF0cossin22NFPF(2)(2)22NssFfF(3)(3) 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 12sincoscossinsincoscossinFPffFPffFssss为使物块静止为使物块静止 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章

31、 平面任意力系 屋屋 架架*4.6 简单平面桁架的内力计算简单平面桁架的内力计算 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 桁架是由一些桁架是由一些细长杆细长杆在其在其两端两端用用铰链铰链连接连接(利用焊接利用焊接或铆接等方法或铆接等方法)而成的几何形状不变的结构。而成的几何形状不变的结构。 在载荷作用下计算在载荷作用下计算桁架的内力桁架的内力是研究桁架的主要目是研究桁架的主要目的之一。的之一。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 1、平面桁架的基本假设：、平面桁架的基本假设：（1）直杆；）直杆；（

32、2）铰接；）铰接；（3）外力作用在节点上；）外力作用在节点上；（4）不计自重。）不计自重。 在上述假设下的桁架称为理想桁架，桁架在上述假设下的桁架称为理想桁架，桁架中中每根杆件均为二力杆每根杆件均为二力杆。 桁架的优点：承载力大、自重轻。桁架的优点：承载力大、自重轻。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 截面法：将桁架部分杆切断，利用桁架的平衡方程计算杆截面法：将桁架部分杆切断，利用桁架的平衡方程计算杆的内力。的内力。2、桁架的内力计算、桁架的内力计算 节点法：利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。节点法：利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第四章 平面任意力系 例例4-14 已知已知: P=10kN,尺寸如图；求尺寸如图；求:桁架各杆件受力。桁架各杆件受力。解解: 1、求外约束力。取整体，画受力图。、求外约束力。取整体，画受力图。0,xF0,yF0,BM0BxF042AyFP5kNAyF0PFFByAy5kNByF2、求各杆内力。、求各杆内力。 取节点取节点A，画受力图。，画受力图。0 ,yF030sin01 FFAy110kNF (压压)0 ,xF030cos012 FF解得解得:28.66kNF (拉拉) 选取只