北科高数上册答案

1、第四章第一节：定积分的概念1：1f(x):1 +X注:1 1 -0 r 1 1 0f(x)dx=limf(x)=0r ； ： r 14 1丨x 1-r2：1 f (x):x注:1 2 -1 r 1 一 1 f (x)dx = limf (x)=l0rY r i 二 1 + L-x3：ba f(x)dx=O注：由均分可得:f (x)dx 二 limb a f(a i) r再由定义可知：0 Gim baJ f(a ba”bai =b由夹逼原理知：f (x)dx二0=a4( 1)：ra b-ar(r 1r 224(2)：i1 rexdx =lim0r-'ryi-ier二 limr rr 11

2、1 ev - erer -1= lim(e -1)r上:=lim(e-1) J = e-1 r1 -e4( 3)：2 xdx专磴IG)2b? r2 i半径的圆在第一象限的面积，即为：二a245 (2):由f(x) =sin(x)(x I-二，川幕D图象可知：面积代数和为：0所以：TTsin( x)dx =05( 3)：a + bb a由 f (x) =| xI 图象知：f(a)=f(b) =2 2所以:b|x1dx9(b_a)f(a)_(b-a)2_46:金属丝的质量为:kxdx 二 lim k(0 ai)二 lim 卑卫 12Fn y n y n22ka2所受到的压强为：pxgx gx ；面

3、积兀为：bdx7：以水面上任意一点为原点， 垂直向下为x轴方向建立直角坐标系， 在x处(0岂a)aa所以：F 二 0 gxbdx 二 gb ° xdx&当f (x)为奇函数时，函数关于原点对称，则有0a_af(X)dX与 ° f(X)dX与 X 轴a围成的图形面积相等，符号相反，所以有：.f (x)dx二0-a(X) 为偶函数时，函数关于0ay轴对称，则有f(x)dx与0 f(x)dx与x轴围成的图形面积相等，符号相同，所以有:aaf(x)dx=2 f (x)dx70习题4-2(A)1. 比较下列积分大小1 1 2(1) j0 exdx和 0 e dxb解：禾U用例

4、2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)? 0,而f(x)dx是数值，它只有是零'-ab和不是零两种可能，设若.f (x)dx=0，则由已证得例2.1结果，在a,b上必有f(x) = 0,与 f(x) ab不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在a,b上, f(x)? 0且f(x)不恒等于0，贝y f (x)dx>0.La1 2 2 2 1 2o(ex-ex)dx 在0,1上ex-ex ? 0 且ex-ex不恒等于0，所以°(ex -ex)dx >0，所以1 1 2 o exdx> o ex dx。1213(2) x dx和 x dx0亀1 1 1解:&#

5、176;xdx-pXdx(x2-xsin x sin x在(0，2上 >一 x x)dx，因为在0,1上x2-x3?0 且x2-x3不恒等于0，所以1 1 1 1 10X2dx- pX3dx(x2-x3)dx>0，所以 o x2dxo x3dx。17rlix2dx和 x3dx解:2 2 21 x2dx - d x3dx =彳(x2-x3)dx，因为在1,2上x2-x3 <0且x2-x3不恒等于0,所以22232232223jdx-1xdx=1(x - x )dx <0，所以 1 x dx<1 x dx。 . 2 sin x 2 sin x , dx和 22 dx0

6、 x解:构造函数 f(x)= sinx-x,则 f '(x)=cosx-1,在(0, 上单调递减，从而有 f(x)= sinx-x <f(0)=0,所以sinx<x,而在(0，?上sinx ,x都是大于0的，所以sinx/x在(0，?上小于1，所以. .22 sin x 2 sin x dx >0，有 2 dx > 22 dx0 x"0x2. .2 2/Sin xsin x，所以2("x(5),；ln(1 x)dx和解：构造函数 f(x)=ln(1+x)-arctanx ,在0,1上 f 'x)=x2(1 x)(1 x2)(1 x)2

7、arcta nx>0,所以 f(x)在0,1上是增函数 f(x)>f(O)=O,有 1(ln(1xarCtanx)dx >0，于是01 xin (1 x)dx>1 arcta n x0 1 xdx。2. 估计下列各积分的值4 2(1) 订(x 1)dx解：只须求出f(x)在区间上的最大、最小值M与m,便可用估值定理估计。显见x2+1在1,4242上单调增加，有 m=2,M=17,即 2? x +1? 17, x 1,4,而 b-a=3,所以 2*3=6?十(x - 1)dx?4217*3=51，即 6?1 (x2 1)dx? 51.5兀(2) _4 (1 sin2x)d

8、x7、2JT 5 冗 r 、TL解:记 f(x)=1+sin x,令 f '(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得 f(x)在区间一，上的驻点 X1=,X2=二,442二二5 二、2 2计算 f()=1 + 1=2,f(二)=1+0=1,f()=1+1/2=3/2,f()=1+ () =3/2,所以2442m=mi nf(x)=1,M=maxf(x)=2,兀5兀其中x ?,这里b-k,所以二?57：J(1 sin2 x)dx? 2二.40 x?(3) j2 e dx2 2解：记 f(x)= ex 0,2,因为 f (x)=(2x-1) ex :令 f 'x)=0,得到唯

9、一驻点 x=1/2,又 f(1/2)=1 1e 4 ,f(0)=1,f(2)=e2 ,所以 m=minf(x)= e 4 ,M=maxf(x)=e2 ,有因为 b-a=-2，所以-2e?0 X2 AJ.2 e dx ? -2 e 4.3. 设函数f(x)与g(x)在任何有限区间上可积(1)如果b- I abf(x)dx g(x)dx，那么f(x)与g(x)在a,b上是否相等?"a 7bb(2)如果在任意区间a,b上都有 f (x)dx g(x)dx，那么f(x)是否等于g(x)?LaLa(3)如果(2)中的f(x)与g(x)都是连续函数，那么又有怎么样的结论？解:( 1)不一定。f(

10、x)，g(x)恰巧在某一区间a,b积分值相等，但是不能说明 f(x),g(x)是相等的，例如 f(x)= t.sinxdx=O,g(x)=4_.tanxdx = O,但是实际上 sinx丰 tanx.44 不 恒等，前 提必须f(x),g(x)都 是连续 函数。例女口f(x)=sinx(O ? x ?二)，g(x)Jsin x0=0ji< x :, x =2ji而ITH0 f (x)dx= 0 g(x)dx。(3)反证法：假设f(x)不 恒等于g(x),设f(x) >0,bbf(x)dx 二 g(x)dx ,所以at ab f (x g (x) >x，由例2.1结果f(x)三

11、g(x)矛盾，所以f(x)三g(x).4.证明柯西不等式：若函数 f(x)与g(x)在区间上可积，则b2b 2b 2(a f(x)g(x)dx)2 沢 a f2(x)dx).(ag2(x)dx)证：令 L(x)=f(x)+ g(x),则 L2(x)=f 2(x)+2 - f(x)g(x)+- 2 g2(x) ? 0,从而有 »L(x)dx _ 0，即*a2 b 2bb 2 g (>) dx()x(© x dx亠.1 (f2) x dx ? 0.将上式右边视为关于的二次多项式。a' a' a2 2 b 2b2b2因为 Ax +Bx+C? 0,可知 B -

12、4AC? 0,从而有 4( f(x)g(x)dx) - 4 f (x)dx g (x)dx ,: a- a- ab2 b 2b 2从而有(f (x)g(x)dx) f (x)dx g (x)dx。LaLaLa5.设 f(x)在区间a,b连续，证明 f ef("dx.fe-f0°dxA(b-a)2aa证：利用上题的结论，令f(x)=,ef(x) ,g(x)=_f(x),它们都是连续函数，有(逼)2.( f ee")dx)2 兰(f *(刃 * Jef (x)dx)2 = (b - a)2。a aa(B)6. 证明闵可夫斯基不等式：若函数 f(x)与g(x)在区间a,

13、b上b21b 21b 21可积，则(a(f(x) g(x) dx)2 乞(a f (x)dx)_ ( ag (x)dx尸。证明t/W+sW2必二打乜问+f/(力亦2力(魂(*虚 可:厂加(工)dx+2打2(x)dxg2(x)dx , 乂严(耳临比加(町如町加(工展加(x)却M：孑E町F 所以(£Laq十回咯屛(f尸办乍十(證(球&乍.7. 设 f(x)在区间a,b连续，且 f f(x)dx=fxf(x)dx = o,证明：f(x) 在(a,b )内至少存在不同的两个零点。b证明：根据积分中值定理，在a,b上，存在1，满足.f(x)dx二f( 1 )( b)=o,得到af( 1

14、) =0， 是f(x)的一个零点。假设；是唯一的一个零点。那么在(a, )和(，b)bb内 f(x)异号。假设(a, 1)上 f(x) >0,( 1，b)上 f(x) <0.由 f (x)dx xf(x)dx=0 和aaX?Ubf ( 1) =0可知0= f(x)(x- i)dx亠i ： f (x)(x - i)dx丰0得出矛盾，所以至少在(a,b)aL i上还有一个零点。习题4-3(A)1. 单项选择题(i)设 f(X)口1-C0SX2. sin tdt,g(x) =56X X ，则当xt0时f(x)是g(x)的56(A ) 低阶无穷小 (B)高阶无穷小 (C)等价无穷小(D)同

15、阶但非等价无穷小提示：洛必达法则X 22(2) 设 f(x)是连续一阶导数，f(O)=O,f '0)工 0, F(x) (x -t )f(t)dt。且当 Xt0 时,F'(x)与xk为同阶无穷小，则 k等于(C )(A)1(B)2(C)3(D)42 (3) 把xt 0时的无穷小cost2dt,tan tdt,sin t3dt，使排在后面的00- 0是前一个的高阶无穷小，则正确次序是(B )(A) : , ,(B) : , J (C) 1 , ： ,(D)-,，:2. 设f(x)在上连续,c为某常数，且对任意的x (：),有f(t)dt =5x3+40 , 则 f(x)=1_5x

16、lc=2c3. 试求函数y二intdt当X=0和X=-时的导数04齐(。Xsintdt)，sinxdydxdydx31二 sinX444.证明sinx2 , -cosx2与-cos2x都是同一个函数的原函数，你2能解释为什么同一个函数的原函数在形式上的这种差异吗？同一个函数的原函数在形式上的差异只是一个常数C。例如sin x2 , -cosx2与-cos2x都2是函数2sinxcosx的原函数。sin x2=1 -cosx2 , -cos2-1(2sin2x) =sin2x2 2 25.用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分1 2(1)/xdxdx1 x3T(3)0 sin xdx1(4)/dxa2

17、(5)0 (3x -x 1)dx(6)：(x2 l)dxq x<3a 1(9 ) o厂严(10 )420 3x 3xJ 1 x21. dxH(11 ) J04 tan2xdx(12 )工xx _01(13)设f (X)二 2求1f (x)dxXx 0J 1(7) J(1 "dx (8) .Jx3 谆cosx*inx)dx117e 1 dx =1 n xxe =11 osi nxdx-cosxji=-20(5)(6)(7)(8)(10)(11)(12)1xdx - -2(-xdx Qxdx) =1f (3x2 x+1)dx = (x3fx22 2 1 1 3 1 1 1(x 严(

18、3x 3x3x)=a02 _£11 一 84、x(1 x)dx = 4 (、x x)dx = (f1 2、2x)927112dx 二 arctanx3 1 x2(9)0 a2x2dx =1 arcta n a3a曲“ x2)GW arctanx)JIji1 - -14；tan2xdx4(sec2 x-1)dx = (tanx-x)1cosx 一2 2sin x)dx 二 03sin(§ - x)dx 二 cos(§ - x)0 201 3+ - x-1 31 0 1 0 1 2 1 2 (13)1 f(x)dx f(x)dx o f (x) dx xdx亠 ixd

19、x x6.求下列各导数(1) 0 arCtantdtdxd b 1dx3_ £xdt ( 3) £x2 一计 dt ( 4)d cosxcost2) dtdx -sin x(5)-d ；l n(1+t6)dt dx x(6)x32 (x t) (t)dt，其中(x)是连续函数。 dx x解:(1)arcta nx (2)3x22x1 x4ln(1x3)22121-cosC cos x)sin x -cos(： sin x)cos x (5)ln(1 x )-3?2 丘3333xdXxx32322dx2 (x t) (t)dt (x 2 (t)dt 2t (t)dt)二 2

20、(t)dt 3x3(1 X2) (x3)2x2(1 x) (x2) xdxx*X"X7. 指出下列运算的错误，错在何处(1)和1 t)dt=.1X3-cosx=02. 2 2 二°、1-cos xdx = ° sinxdx =解：(1)忘记了 X3对X的一步求导 正确解：3x2 ,1 X3(2) 计算过程失误，先化简，再求导。正确解：3x2(3) 正确(4) 没有谈论(0, 2二)上sinx的正负性。正确解：48. 设k是正整数，试证明下列各题(1) coskxdx=0(3) cos2 kxdx = r：5JI(2) sin kxdx=0_Jl 2(4)sin k

21、xdx =：5证明【通过讨算左式达到证明(1)dsin =sin knk(2) sin krdjr= f dcos k.r = 一=°.Jk ；|心、r： l r i+cos 2九丁jf r .(3) cos2 kxdj：= =十0=比9. 设k及m为正整数，且 k工m,试证明下列各题TtTtJT(1) coskxsin mxdx = 0 ( 2) sin kxsinmxdx = 0 (3)coskxcosmxdx= 0555证明【只须计算各左式从而得证左式“寺sin (Z+A)j+sin (/cosZ+Acos d去)工 Tk(2)左式cos (女十/kr+cos (A/)xdrs

22、in (上+/)jr k+l hsin (A-Z)jrT匚厂(3)左式n-yj_co禹(A十2)工一cos (iiZ)xjd1*sin (代+)工 sin (k l)jr*2L Wki-tt2_10.求由参数方程x=j°sin2sdsy= J。cosids所确定的函数y=f(x)的一阶导数。X2y11.求由方程(0 tddt oJdt=O)'所确定的y=f(x)的一阶和二阶导数虫=sint2,dy = 2tcost，两式相比得 够=2tcottsect dsdsdxf 2_12.设 f(x)=X x 0,1，求毋(x) = J,f(t)dt在0,2上表达式，并 x x w 1

23、,20讨论=(x)在0,2上的连续性。解 【应注意広£ 口2E寸，应将5>(.r) = 计算.下题同J当0x<l时，0(才=t2dt = tJ o 3当l<x<2时，=I /<r)dr = 严dr 十 rdz1OJ 11 * 12 6分段表示再x e oa),显见在<0tDU(l,2)内连续，剩下只须讨论它在工=1 处的连续性.因为e( 0) = lim从而4>(文)在北=1左连续.同样地.L” 一丄)2 6 =寺一 + =寺=*0(1+0)= Lim故©(了在才二1处也右连续，从而QCr)在=1处及(0,2)内处处连续13.求下列

24、极限x2cost dt(Jdt)2啊0te dt(3) lim0X2arctan tdt(4) lim-0XYJ +x2(5) lim -xY0Jdt0X 2e dt解：(1 )根据洛必达法则X 2 cost dt 0 limX0二 lim cosx2 二 1xx 2X t22 et dtX t22gedt) li=limx_0(2 )根据洛必达法则lim xX0X 2t2f te dt0xex=lim= 2x 01 2x2(3)根据洛必达法则和等价无穷小limX_0sin xovta ntdt亠 tan x7sin tdt0cos xjtan(sin x)= lim.2 、x sec x、s

25、in(tan x)二 limX_0tan(sin x) sin(tan x)= 1,(x； 0 时tanx : sinx : x)(4 )根据洛必达法则Xarctan tdt lim -x1 x2arctan x 兀 =limx .： x一1x2(5 )根据洛必达法则X t20e dt li-lim-2 . xlimx -212f e dt0X2 e2x2 e二 lim 1x '：ex=0f 'x) < 0,14.设f(x)在a,b上连续，在(a,b )内可导且F(x) 1 f(t)dt.证明：在(a,b )内有 F'x) < 0. x _a a证明 【只须

26、演算FQ),再设迭证之】由题设'/(.r)(x a) _J 出(T C工)<工一 G (工二(j- a)2f(T> 一 /(f)f) -=- 工口x aWo. (Z7 (?) o 其中用到积分中值定理和拉格朗日微分中值定理。15.设函数f(x)在x=1的某个邻域内可导，且 f(1)=0,limi f '(x) =1,计算 1叫x 11 (t t f(u)du)dt (1-x)3根据洛必达法则:x 1tt f(u)du)dt (1 -x)3=limx * 1xx1 f(u)du3(1-x)2x1 f(u)du xf(x) 6(x1)2f(x) xf '(x)6

27、_2f (1) f '(1)_1- 6 616. 求下列极限(1)(2)nnimlim( 2n_ n 1n 2n222n2)(1)解:n原式=lim 'f十(丄)2n1 1(2)解:n原式=limn ；:n_心1 (L)2n1 x12W1ln(x 1)1 ln20 2a,b,使得17. 设f(x)在a,b上可积，证明：至少存在tbf (x)dx = Lf (x)dxxb证明：构造函数 F (x) f (x)dx f (x)dxLaF(a) f(x)dx,F(b) f (x)dx, F(a).F(b) =-( " f (x)dx)0，根据罗尔定"a"

28、a"a理，存在 a,b，使得 f(x)dx 二"f (x)dx=a18. 设f(x)在a,b上连续，且f(x)>0.证明：(1)存在唯一的匕( a,b),使得f f (x)dx= J； 丄 dx ;、aU f (x)dx ax f(t)证明：构造函数xb 1F(x)f (x)dxdx'ax f (x)(2) d ( ：f(t)dt - b 1 dt) _2,x a,bb1F(a) = J-abbbdx,F(b)= f(x)dx,F(a).F(b) = (J f(x)dx)(Jdx) ： 0根据罗尔定理，至少存在一个©( a,b)使得f f(x)dx=

29、 J；丄 dx。再证唯一性,、a: f (x)F'(x) = f(x) _20, (2)得证。所以F(x)在a,b上连续递增，只能有一个零点f(x)巴b 1( a，b)'使得 af(x)dxf(x)dX。习题4.4一、选择题1、(A)2、( D)解:求f x的原函数，即对f(x)求不定积分f (x)dx 二 sin xdx二一cosx C，令 c=1，即得 D。3、( C)二、填空题1、cOsx C1 -sin x_22 .cosx= 2d(COsx).COSX解：原式=d cosx =-sin x . cosx2、xf'(x) - f (x) C解：原式=d kf&#

30、39;(x) L f'(x)dx = xf'(x) - f (x) =C3、xx +C2 C得,丄 xx +C2解:当 x 0 时，xdx 二 xdx = * x2 C当 x : 0 时， xdx 二 -xdx 二-2 2 24、 x sin x cosx C2解：由已知得 f(x)dx=s inx C ,于是有,f (x) =(sinx2)'，则x2 f (x)dx 二 x2d(sinx2)二 x2 sin x2 - 2sin x2dxx2 sin x2cosx2 C三、判断题1、正确2、不正确3、正确4、不正确分析，右边=d F"=f (t)dxdx5、正

31、确6、不正确四、求不定积分1111、 解：2dx - - d (一)CXxxf_32 22、解： x .xdx 二 x2dx= x5 C53、解:1=xdx = 2,x C4、解:5、解:(1 _X x3 x2)dx 二 1dx3xdx 亠 i x dx6、解:7、8、解:9、10、11、12、13、14、15、2x=X -244x - 3x3 = C1 22/ 1(x )dx= i(x -2、x )dxpxx2(2x 3x) dx = (4x 9x 2 6x)dx 二,dx4 -4x2原式=解:解:解:解:解:解:解:3x 4x34x2ln 232 In x C9x+2l n32 6x+In

32、 62-4x 2 cost , dx = costdt3costdt =3t 二arcsin3 C22cost31 x2dx(3131 x2dx = X3arcta nx Cfll (.x 1)( I x3 - 1)dx =dx =(x2 x3- x -1)dxx32二 一 x35上xx C31r _2Jx +x2) 、xv2 C我 3x2 " .(3x21x23)dx = x3arctan x C2tan2 xdx = sin 2' cossin2 xdx 二1 cos2xcosx -sinxdx-x1(2-1)dx = tan x - x Ccos x1 -cos2xxd

33、x =_ 22,r 2 cos2 x - cosxdx 二x2 sincosx -sin xxdx 二 (cosx sin x)dx二 sin x-cos C16、17、1819、20、21、22、23、24、25、26、五、六、解:c°s2x2 dx = (_12 )dx 二一cotx-tanx Ccos xsin xsin x cos x解:x 2xx9010 3 dx90dx=015解:I fx . x x dx = x2x4x8dx =x8dx 8x8 二C'151 x1 -x+ x丿,dx = 2 arcsinx CJ-x2解:2cos2xi icosx sin x

34、 dx =12 sin xcosx dx =1 sin 2x dx = xC解:22cosx cos2xdx 二 cosx1-2sin xdx 二 (cosx - 2cosxsin x)dx解:解:i ex _e3d = (e3x _e：x _3ex 3e)dx = 1 e3x_3ex - 3e C33解:“r2secx secx - tan x dx 二 sec x - secx tan x dx = tan x - secx C-sin x C2sin3 x3解:cos2 -dx =' 2 'sinx C2 2 2/ 3-x 4dx7J-4x7 C解:十1,1r12tan

35、x 丄小dx2 dxsec xdxC1 cos 2x2 cos2 x22解:设任一点该曲线的切线斜率为k,则解: 1 k = f' x ，则有x1f x = f' x dx dx = I n x C x又曲线经过（e2,3），即ln e2+C=3，得C=1故该曲线方程为 y=l nx，1解: l = 3t2dx =t3 C当 t =0 时，l =0 ；得 C=0故 l 二 t3(1) 将 t = 4s 时，l = 43 = 643(2)当经过的路程为512m时，512二t ；解得t= 8s七、利用换元积分法求下列不定积分1、解:cos(3x 5)dx fcos(3x 5)dx

36、3x 5 =gsin 3x 5 C2、解:xe2x dx =2x* 2e2d(2x )42x2eC43、解:dx =2x 31 1J x2 2x 3nd 2x 3 i；Jn 2x 3 C4、解:1 x ndx 二 1 x d(x 1)=2n -1x5、解:3 丄x21+Edx"dx2-x1 二 dx2+ 1、1 -3x2d3= arcsin- + darcsin J3x + C 翻36、解:23x 5dx =123x 523x 5d 3x 5- C33l n27、解:8 -3xdx 二-笃叫 8 -3x 二328一乂2 c解:1 1 “ 3 dx9-5x =d(9-5x)=L v9

37、-5x '529 - 5x 3 C109、解:212 22xcos xdx cosx dx sin x C ' '210、解:dx2 二sin 2(2x)4= gcec<2V2x-cot 2x2 I11、解:dx1 cosxdx12、解:dx1 sin x、2dxsin2 x cos22 討二 cos_ + sin Z < 2 2丿dxcos 1213、解:14、解:15、解:16、解:17、解:18解：19、解:20、解:21、解:22、解:23、解:24、解:25、解:1 dx21x24arcta nC2 4 x4dxxln x In x1 d(1 -x

38、2)= (1x2)2 Cd In x =ln In x +CIn In x . dx xln xln ln xd In x = In In xd In In x =丄(1 n In x)2 C In x23cos x 2 dx sin x(_co翼-cosx)dx - sin x1sin xCsin x2cos4 xdx = (1 cOs2x) dx21cos 2x ,cos2xdx441 cos4x、，)dxsin2xcos2xdx 二 sin dx 二 '4上空色dx丄-创也C88321 二( cos2x48x sin 2x x sin 4x - C428323csc x 小 C3

39、*dx dx1 sin2 xsin2 x cos2 xdxcos2 x 2sin2 x412ta n x1 厂d tan x1 2ta n xsec4xdx 二 sec2x(1 tan2x)dx 二 1 taxdtanx = tanx 沁 C.3csc'xcotxdx 二 csc2 xcscxcotxdx - csc2 xd cscx =-ln(1 )C=丄 arctan(w' 2 tan x) + C2d(ex)1 e2x=arctan ex C26、解:dx.1 x1一厂X 一（厂1一x）Xdx= 4匕x_d CJ xSd)dx1 1 x21 J x27、解:12r&quo

40、t;x -ln(1 .厂7)C.1 - x2(1-x2)(1_x2),Q7dx =dx2解:2x => 2 2a xdx，令 x = asi nt，则(a -x = a cost, dx = a cosx变量代换得，原式costdt 二 a21 一 cos2t2a21dt t sin2t C222a . x x arcs ina x Ca29、解:dxx2 x2 -9，令30、3丹 x_解：.扣X二(1 x=x sin x-2xcosx - 2cos xdx)2(1 十)dC=.1 X2亠 c1 x21、解:arccos xdx =:arccosx2、解：In xdx = x 1 nx

41、- dxx3、解：x2 cosxdx =2x sin x -用分部积分发解下列不定积分=x ln x x C2xsin xdx1 x2dx 二 xarccosx i ；1 - x2 C2=x sin x 2xcosx - 2sin x C4、解:x24x arccot xdx arccot x22 j +2x dxx(11rv)dxx21arc cot x222x丄 xarc cot x2 21arcta nx C22 2 2 15、解：(Inx)dx=x(ln x) - 2xInxdx=x(ln x) -2xInx 2 xdxx2二 x(ln x)2xIn x 2x C22x36、解：x a

42、rc tanxdxarctanx -2、x3(1+x2)xx3dxarcta n x -i x2x x 1 -x3 1 x22x3 *x2ln 1 xarcta nxCx667.22121xtan xdx 二 x(sec x1)dx x xsec xdx x xtan 22cos2x , dx4x + ln cosx +C解: .,sin2x , xcos2xxsin xcosxdxdx =241 2xcos2x-sin 2x C89、解:x2cos xdx 二 xcec2xdx = xtan x - 'tan xdx 二xtan x-沁dxcosx=xtanx +ln cosx +C

43、10、解:I Jx sin、xdx = 2xsin、xd、x = -2xcos . x 亠 4. x cos、xd、x=- 2x cos、x 4xsin、x - 4 sin . xd . xl>J-JJ-2x cos、x 4 x sin x 4cos x C11、解:x2dx - (1 +ex )丄1 ex 1 e xe -x12、解:arcsinx ,=-2 J1 -x arcs in x + j 1 x dx'(1x=-2d -x arcs in xdx'心+ x-2、1 -xarcsinx 4. V x C13、解:arctan、xdx = xarctan、. x

44、-dx = x arctan、x -2 1 x . x=xarctanx -15、解：2x arctanx丄arctanx ,2 dx = arcta nxdx厂 dx1 X21 X214、解:=x arctan x -16、解:ln tan xln tan xln tanx12dxdxd tanxln tanx Csin xcosxtanxcos xtanx2arcta nx17、解:earctan x3 dxe1x22arcta nx e1 x2arctanx s darcta nx exearcta nx ex21 x21 x21 x2 23 dxarcta nx于是有，2 J厂(1+x

45、2 yarcta nxarcta nxdx仝xe即,arcta nx e1 x21x231x22dx =arcta nx1-x ed 仮=(1 + x)arcta门仮 - Jx + CJe dx =2仮6% = 276" 一 jeXdx = 2(Vx-1)e 2x 2e sin xdx = e sin x +C arcta n2 x2I2 I2=xarctanx In 1 xarctan x C2 218解:exs in 乂 dx Zsin*2e c os< xx e si nx2 x 2c exs 2 e 2scidix2exsin2xdx=exsin2x- exsin 2xdxexsin 2x -2excos2x得， exsin 2xdx 一5即,exsin 2x - 2ex cos2x19、解:In x1x2x2,xln xdx =5 +x2(冷妇鬻2 TW + QC + C20、解:x x(x +1 )e -e1 xx xexdx1 ：121、解:dx i 1 xx xx=Jx'e ex +x(e )e< 1、ex九、证明下列递推公式(1)证明:Indx2 cec x可求得,(2