分段线性插值

1、摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域， 但是在实际问 题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上 的函数值。如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使 用的近似表达式，是经常遇到的问题。对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方 法就是多项式插值。 当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即 假设给定了 n+1 个点的自变量的值以及函数值， 近似函数必须要过这 n+1 个点。多项式插值，从几何角度看，就是寻求 n次代数曲线y=Pn (x )通 过n+1个点作为f (x)的近似。但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近

2、似效果并不理想。 根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。龙格( Runge )现象即当 n 趋于无穷大时， x 在某一邻域内 ,f(x) 收敛，而在这 个区域外 f(x) 发散。因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法 达到减小误差的目的， 所以本实验将针对低次分段插值多项式来做具体的 讨论和学习。关键词：龙格现象分段差值1、实验目的1) 通过对分段线性插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2) 体会分段线性插值是如何消除龙格现象的。3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法理论设?= ?(?)在节点a = ?0 < ?1

3、< ? < ? = ?处的函数值为y ?=?(?),i=0,1, ?,n。为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼近原函数，这时的插值函数为分段函数：S1(?),? ?o,?1?(?) = S2(?),? ?1,?2?s?(?),? ?-1,?在区间?_ 1,?上的线性函数为?(?) = ? ?_ 1?_ ?_ 1 - ?_ ?_ 1 ?二丄?_ ?_ 1?= 1 2 ? ?误差为:R?(?)=?(?) - S?(?)?'' (?)- 2!(?- ?_1)(?_ ?),?_ 1 < ?< ?易见，?(?)是平面上以点(? , ?)(?= 0,1,2,

4、? ,?)为节点的折线,有如下的特点:1. ?(?)在?-1,?上为次数不超过一次的多项式；2. ?(?) ?,?;3. ?(?) ?1?-1,?；如果fx) ?2?,?,由线性插值的误差公式得到|?'' (?) |1?(?)1 =尹丄 1(?- ?-1)(?- ?)I1maxmax< 2 ?_,? I?(?) I ?-：%? I( ?- ?-1)(? - ?)I令？?？= ?1 <?<? |?'' (?)|,则有|?'' (?) |I?(?)I =I(?- ?-1)(?- ?)I1max< 2 ?_,? I?(?)I?J

5、a?I(?- ?-1)(?- ?)I? 12?2=(? -?-1)=?, ?=? -?-12 48关于整体误差：?(?) = ?(?) - ?(?) 丿 丿 丿可以按如下方式考虑，若记M = 1俘?？ ,?= 1品?？，则对任一x ?,?都有1?(?) - ?(?) - ?(?) w 1 <m?aj? i?i?1 1 <?aw>?i?i2? cw ?28 -于是，当h -0,时R (x) -0，说明分段线性插值？?(？?)收敛于？?(?)3、数值算例已知点坐标如下表所示:Xi0.50.70.91.11.3yi0.45790.6440.7830.8910.964用分段线性插值法

6、，求解当x为0.8时，对应y的值解：具体程序如下所示:#i nclude "stdafx.h" float Fdline(float x,float y,float x1,int len)int i=0;float s=0;for(i=0;i<len-1;i+)if(x1>=xi && x1<xi+1)break;s=(x1-xi)/(xi-1-xi)*yi-1+(x1-xi-1)/(xi-xi-1)*yi; return s;float Fdline(float x,float y,float x1,int len);void main(

7、)float x=0.5,0.7,0.9,1.1,1.3;float y=0.479,0.644,0.783,0.891,0.964;int len=sizeof(x)/sizeof(x0);float x1=0;float s=0;printf("请输入要求解的x1的值:n");scan f("%f", &x1);s=Fdli ne(x,y,x1,le n);printf("经过分段三次Hermite插值的结果为:n");prin tf("%fn",s);运行结果:fsi F：W i nd aws5ystem 3 2cin d.请输入要求解的幻的值：D.8经过分段三次Hermite插值的结果为;0.72&500请按任意键继续5 、对结果进行分析根据分段线性插值的原理，可以看出分段线性插值虽然有很好的收