三点共线、线共点

1、第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用。1点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。 n（n4）点共线可转化为三点 共线。例1如图，设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形 AECD,BFCG。又作平行四边形 CFHD , CGKE。求证：H , C, K三点共线B知四边形AKGD 同样可证 行四边形，其对 是AB中点，线 三点共线。证连 AK, DG, HB。由题意，ADECKG, 是平行四边形，于是AK仝DG。 AKHB。四边形AHBK是

2、平 角线AB, KH互相平分。而C 段KH过C点，故K, C, H例2如图所示，菱形ABCD中，/ A=120,点0ABC外接圆，M为其上AFDCE一点，连接 MC交AB于E, AM交CB延长线于F。求证：D , E, F三 点共线。证女口图，连AC, DF , DE。因为M在0 上,贝U/ AMC=60 =Z ABC=Z ACB, 有厶 AMCsA ACF, 得MCMACF。CD又因为/ AMC=BAC，所以 AMCEAC, 得MCMAACAD。AEAECF AD所以 C-二，又/ BAD= / BCD=120。，知 CFDsCD AE ADE。所以/ ADE=/ DFB。因为 AD / B

3、C,所以/ ADF = / DFB=/ ADE, 于 是F, E, D三点共线。QE和QF，切点分别为E，F。例3四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P, AD与BC的 延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线 求证：P, E，F三点共线。PF与圆的另 易如证 如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连 CM，PF。设 一交点为E并作QG丄PF，垂足为G。QE2=QM QP=QC QB / PMC = Z ABC= / PDQ。从而C，D，Q，M四点共圆，于是 PM PQ=PC PD 由，得PM PQ+QM PQ=PC PD+QC QB， 即 PQ =QC

4、 QB+PC PD。易知 PD PC=PE PF，又 QF2=QC QB,有 PE PF+QF2=PD PC+QC AB=PQ2， 即 PE PF=PQ2-QF2。又2 2 2 2PQ2 QF2=PG2 GF2=(PG+GF) (PG GF)=PF (PG GF)，从而 PE=PG GF=PG GE即 GF=GE故 E与 E 重合 所以P, E，F三点共线。例4以圆0外一点P,引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交 圆0于C, D。又由B作CD的平行线交圆0于E。若F为CD中点，求 证：A, F, E三点共线。BF, OF,证女口图，连 AF, EF, OA, OB, 0P,P延

5、长FC交BE于Go易女口 0A丄AP, 0B丄BP,OF 丄 CP，所以 P, A, F, 0, B五点共圆，有/ AFP=Z AOP=Z POB= / PFBo又因CD / BE,所以有/ PFB=Z FBE,而FOG为BE的垂直平分线，故 EF=FB,Z FEB=Z EBF,所以/ AFP=Z EFD, A, F, E三点共线。2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直 线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5 以厶ABC的两边AB, AC向外作正方形 ABDE, ACFG。 ABC的高为AH。求证：AH, BF, CD交于一

6、点。如图。延长HA到M , 使 AM=BC。连 CM , BM。 设CM与BF交于点K。在厶ACM和厶BCF中，AC=CF, AM=BC, / MAC + / HAC=180, / HAC+Z HCA=90, 并且/ BCF=90 + Z HCA, 因此Z BCF+Z HAC=180Z MAC=Z BCF。从而 MACBCF,Z ACM=Z CFB。所以Z MKF = Z KCF + Z KFC = Z KCF + Z MCF=90, 即BF丄MC。同理 CD 丄 MB。AH , BF, CD MBC 的 3 条高线，故 AH , BF, CD 三线交于一点。例 6 设 PABC 内一点，Z

7、APB-Z ACB=Z APC-Z ABC。又设 D, E 分别是厶APB及厶APC的内心。证明：AP, BD, CE交于一点C别为R, S, To CE交AP于证 如图，过P向三边作垂线，垂足分 连 RS, ST, RT,设 BD 交 AP 于 M,N。易知 P, R, A, S; P, T, B, R; P, S, C, T分别四点共圆，贝UZ APB-Z ACB=Z PAC+Z PBC=Z PRSZ PRT =Z SRT。同理，Z APC-Z ABC=Z RST,由条件知Z SRT= Z RST,所以RT=STo又 RT=PBsinB, ST=PCsinC, 所以 PBsinB=PCsi

8、nC,那么PB PCoAB AC由角平分线定理知ANAC AB AMNPPC PB MP故M , N重合，即AP, BD , CE交于一点。例7 C-:O1与 O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q, R分别为02上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I, IN垂直于O1O2,垂足为N, IN与QR交于点M o证明：PM, RO1, QO2三条直线父于一点。证 如图，设ROi与Q02交于点0,连 MO, P0。因为/ 0iQM = Z OiNM=90,所以 Q, 共圆，有/ QMI = Z QO1O2。而/ IQO2=90 =Z RQOi,所以/ IQM = Z

9、 O2QO1,Oi, N, M四点QOiQMOi O2MI同理可证需=晋。因此QM _ QOiMR 一 RO2因为QOi / RO2，所以有OQ _ QOiOR - RO2由，得 MO / QOi。 又由于 OiP=OiQ, PO2=RO2,所以 OiO = OiQ = OiP OR RO2 PO2 即 OP/ RO2。从而 MO / QOi / RO2/ OP, 故 M, O, P 三点共线，所以 PM, ROi, QO2三条直线相交于同一点。3.塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理1(塞瓦(Ceva)定理):设P, Q, R分别是 ABC的BC, CA, AB边上的点。若 AP, BQ, C

10、R相交于一点M，则BP血亠。PC QA RB证 如图，由三角形面积的性质，有AR S.amcbpSambRB S BMCPCS AmcCQSBMCQAMB以上三式相乘，得匹d塑=i.PC QA RB故厶 QIMQO2O1，得定理2 （定理1的逆定理）:设 P, Q, R 分别是 ABC 的 BC, CA, AB 上的点。若CQ = 1,PC QA RB则AP, BQ, CR交于一点。证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于RBP CQ ARBP CQ AR由疋理1有1 .而1,所以PC QA RBPC QA RBAR ARRB 一 RB .于是R与R重合，故AP, BQ, CR交于一点定

11、理3 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）:一条不经过 ABC任一顶点的直线和三角形三边 BC, CA, AB（或它们的延长线）分别交于P, Q, R,则BP CQ AR 1 PC QA RB -证 如图，由三角形面积的性质，有ARRBS.ARPS.BRPBPPCS BRPS.CPRCQSRPQAS.ARP将以上三式相乘，得匹空，1.PC QA RB定理4 （定理3的逆定理）:CA, AB或它们延长线上的3点。若设P, Q, R分别是 ABC的三边BC,BP CQ ARPC QA RB则P, Q, R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之

12、有关的题目 中有着广泛的应用。例8如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分/ BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：/ GAC=Z EAC。 证 如图，连接BD交AC于H ,的延长线于J。对厶BCD用塞瓦定理，可得过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AECG BH DE ,1 GB HD EC因为AH是/ BAD的角平分线,由角平分线定理知代入式得BH ABHD ADDE ADEC 一 CJCG AB DE ,1 GB AD EC因为 CI / AB, CJ / AD，贝U 箜=GB AB 代入式得CI AB AD ,1 . AB A

13、D CJ从而CI=CJ。又由于/ACI=180-Z BAC=180-Z DAC=ZACJ,所以 ACIACJ，故/ IAC= / JAC，即/GAC=Z EAC.例9 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M 求证：DL=BM.证 如图，设直线LM与BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于点I。 在厶ECD与厶FAB中分别使用梅涅劳斯定理，得EG DI CH ,1 ,IC HE因为 AB/ CD,GDEGAGGF HB JA所以CHFHGD从而GF DIHEBJHBCD CIICJACIBMAG FH

14、 BJAB AJ，故 CI=AJ.而 AJBJ DI DLMC CI AJ LA 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL。例10在直线I的一侧画一个半圆T, C, D是T上的两点，T上过C和D的切 线分别交I于B和A,半圆的圆心在线段BA 上, E是线段AC和BD的 交点，F是I上的点，EF垂直I。求证：EF平分/ CFD。证 如图，设AD与BC相交于点P,I 于 H，连 OD, OC, 0P。由题意知 RtAOADsRtAPAH, 于是有AH _ HP AD DO .类似地，RtA OCBs RtA PHB, 则有用O表示半圆T的圆心。过P作PH丄BH HPBC - CO由

15、 CO=DO，有 AH = BH，从而AHBCPD=i.AD BCHBCPDA由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC，BD,PH相交于-一点，即E在PH点H与F重合。因/ ODP= / OCP=90。，所以O, D，C,P四点共圆，直径为OP.又/PFC=90。，从而推得点F也在这个圆上，因此EBCSFAB，DC延长P为圆上任意S.若对角线AiDi， BiEi，/ DFP = / DOP=Z COP=Z CFP, 所以EF平分/ CFD。例11如图，四边形ABCD内接于圆， 线交于E,AD、BC延长线交于F， 一点，PE，PF分别交圆于R， AC与BD相交于T.求证：R，T，S三点共线。先证两个引理

16、。引理1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若BiAiCiFiEiDi根据圆内接多CiFi交于一点，则有Ai B C1D1 E-i F-i1.B1C1 D1E1 F1AI如图，设AiDi，BiEi，CiFi交于点O, 边形的性质易知 OAiBisA OEiDi， OBiCisA OFiEi, OCiDisA OAiFi，从而有A BiBiO Ei FiFiO Ci DiDiODi EiDQ B CiBQ Fi AFiO将上面三式相乘即得 旦.CD1 .旦E ，BiCi DiEi Fi A|引理2:圆内接六边形AiBiCiDiEiFi，若满足Ai Bi Ci Di Ei FiBiCi Di

17、 Ei FiAi则其三条对角线AiDi，BiEi，CiFi交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例ii之证明如图，连接 PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由厶 EBRsA EPA，A FDSsA FPA，知两式相乘，得BR EB PAPA 一 EP DSFPFDBR EB FPDS 一 EP FD又由 ECRsA EPD, FPDFAS,CRPDPDASFP.两式相FA乘，得由，得EBAFDC*=1BAFDCEBRCDSARCDSAB=1.CRAS EC FP_ EPFABRASEBFA.故DSCRECFDBRCDSAEBAFDCRCDSAB-BAFDCE由，得对厶EAD应用梅

18、涅劳斯定理，有S三点共线。由引理2知BD，RS, AC交于一点，所以R，T，A组1. 由矩形ABCD的外接圆上任意一点 M向它的两对边引垂线 MQ和MP,向另 两边延长线引垂线MR, MT。证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的 一条对角线上。2. 在厶ABC的BC边上任取一点 P,作PD / AC，PE/ AB，PD，PE和以AB， AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D , E。求证：D, A, E 三点共线。3. 一个圆和等腰三角形 ABC的两腰相切，切点是D, E,又和 ABC的外接圆 相切于F。求证： ABC的内心G和D, E在一条直线上。4. 设四边形ABCD为等腰梯形，把 ABC绕点C旋转某一角度变成 ABC 证明：线段AD, BC和BC的中点在一条直线上。5. 四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD相交于P。设三角形ABP, BCP,CDP和DAP的外接圆圆心分别是 O