微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

1、微元法在几何与物理中的一些应用摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用 Micro Element Method In Geometrical And PhysicalAbstract

2、：Micro element method haswidely applicationin geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important methodtosolve the definite integral problem.This paper expounds the principle and process of micro element method, to discusesthe application problems of geometrical problems

3、 and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstlylet the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply

4、the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral.Keywords：Micro elementmethod; Micro element; Geometric applications; Physics applicatio

5、n目 录1引言 (1)2微元法介绍(1)2.1微元法(2)2.2 微元法的步骤(3)2.3 微元法的使用条件(4)3 微元法在几何中的一些应用 (4)3.1 直角坐标系下平面图形的面积(4)3.2 已知平面截面面积的几何体的体积(6)3.3 直角坐标系下平面曲线的弧长(7)3.4 旋转体的体积和侧面积(8) 旋转体的体积(8) 旋转体的侧面积(9)4 微元法在物理中的一些应用 (10)4.1 机械运动问题 (11)4.2 液体压力问题 (12)4.3 电学做功问题 (13)5 结论 (14)致谢(15)参考文献 (15)微元法在几何与物理中的一些应用07级信息与计算科学 邓智维指导教师:庄思发

6、 讲师1 引言应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过定积分定义中的四部曲“分割，取近似，求和，取极限”得到定积分表达式的。而是利用步骤更简单的微元法得到定积分表达式。1简单来说“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的，将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量或难以确定的量成为常量、容易确定的量。通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体

7、的方法。这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体。因而，对微元法的理论和其在几何与物理中的应用的讨论，能提高人们利用微元法解决实际问题的熟练程度。2 微元法的理论2.1微元法定积分是分布在区间上的整体量。因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手。具体做法是：首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”；其次，对区间上每一点的微分无限累加，连续作和，这是“积零为整”，从而得到了所求的定积分。这种方法称为微元法。2首先引入曲边梯形求面积问题，如图1曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。则曲边梯形面积

8、为。为求上述图形的面积，可以在上任取一点x，并任给一个“宽度”(分割)，那么这个微小的“矩形”的面积为，则(1)abx图1 微元法的意义 计算，取近似值：第个窄曲边梯形的面积近似等于以为底、以为高的窄矩形面积，即，(2)求和：则曲边梯形的面积近似等于n个窄矩形面积的和，即(3)求极限，得的精确值：(4)为简便起见，对单个矩形作讨论，省略下标。表示任意小区间上的窄曲边梯形的面积，则(5)取的左端点为，则(6)于是(7)则 (8)可简化为(9)这些问题可化为定积分来计算的待求量有两个特点：一是对区间的可加性；另一特点，即找任一部分量的表达式：(10)然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将

9、注意力集中于找这一项。但这一项与之差在时，应是比高阶的无穷小量(即舍弃的部分更微小)，借用微分的记号，将这一项记为(11)这个量称为待求量的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微元。设在上连续，则它的变动上限定积分(12)是的一个原函数，即。于是，(13)这表明连续函数的定积分就是(10)的微分的定积分。由理论依据(11)可知，所求总量就是其微分从到的无限积累(即积分)，这种取微元计算积分或原函数的方法称为微元法。32.2微元法的步骤设函数，所求量可以表示为:，然后实际进行以下三步:第一步取，并确定它的变化区间;第二步设想把分成许多个小区间，取其中任一个小区间, 相应于这个小区间的

10、部分量能近似地表示为与的乘积，就把称为量的微元并记作，即(14)第三步在区间上积分，得到(15)这里的关键和难点是求,在解决具体问题时本着是的线性主部的原则, 这样计算的为精确值。42.3微元法的使用条件用定积分来解决的确实际问题中的所求量应符合下列条件：4(1)是与一个变量的变化区间有关的量；(2)对于区间具有可加性；(3)局部量的近似值可表示为这里是实际问题选择的函数。3 微元法在几何中的一些应用3.1直角坐标系下平面图形的面积(1)曲线，及轴所围图形(如图2所示)的面积的微元，则面积。图2(2)曲线(有正有负)，及轴所围图形(如图3所示)的面积的微元，则面积。图3(3)由上下两条曲线，(

11、)，所围图形(如图4所示)的面积微元，则面积公式。图4(4)由左右两条曲线及所围图形(如图5所示)的面积的微元，则面积图5例 1试求由所围成的图形的面积。解：如图6，这是一个典型的型图形，所以面积微元，于是所求面积xyo12图6例 2 计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。解：如图7，抛物线与直线的交点、。若选坐标为积分变量，它的变化范围是，在其上任取子区间，则得面积微元，于是面积：若选坐标为积分变量，它的变化范围为，在上，面积微元；在上，面积微元，因而面积：图7运用微元法计算直角坐标系下平面图形的面积，首先应根据题目所给的条件画图；然后判断图形的类型，找出微元；最后根据公式积分，有时候要

12、对图形进行分割。直角坐标系下平面图形的积分，方法比较简单，但是定积分的基础，掌握好积分的方法，对掌握微积分的内容是极为重要。3.2已知平行截面面积的几何体的体积设有一物体如图8，它被垂直于轴的平面所截，截面面积为的已知的连续函数，取为积分变量，积分区间为，在上去取代表性小区间，相应薄片的体积近似等于底面积为、高为的柱体体积，及体积微元，从而，所求立体的体积。图8abA(x)x例3 一半径为a的圆柱体，用与底面交角为的平面去截该圆柱体如图9，并且截面过底圆直径，求截下部分的几何体体积。解：建立坐标系。在上任取一点为A，那么在这一点垂直轴的截面为一个直角三角形，其面积为A(x)=AB×B

13、E而；所以，所求的体积图9xyABEO在九章算术一书中记载着祖暅（祖冲之之子）原理：夫幂势即同，则积不容异。就是说，等高处的截面面积既然相等，则两立体的体积必相等。这是关于截面面积相等则体积也相等的原理。因此在完成已知平行截面面积的几何体的体积的题目时，在使用的公式，首先要明确A(x)。并且要弄明白体积微元的导出与式子的证明。53.3 直角坐标系下平面曲线的弧长设一曲线在上具有一阶连续的导数（如图10所示）。取为积分变量，在微小区间内，用切线段MT近似代替小弧段MN，得弧长微元为因此弧长公式：。图10例4 求曲线上相应从到的一段弧长。解：取为积分变量，并且，利用弧长公式，则所求平面曲线弧长为3

14、.4旋转体的体积和侧面积3.4.1旋转体的体积由连续曲线与直线及轴围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的立体叫做旋转体(如图11)。现在求它的体积。用垂直于轴的平行平面将旋转体截成几个小旋转体，所得截痕都是圆。取为积分变量，。在内的任一小区间上小旋转体的体积近似等于以为底圆半径，以为高的小圆柱体，即得体积微元于是旋转体体积y x y=f(x)想x)x) 图11例5求椭圆绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：设所求体积为，由方程，解得，于是有。类似可求椭圆绕轴旋转体所得的旋转体的体积为，在求一般旋转体的体积时，应注意掌握以下规律和求解方法：(1)明确旋转轴是轴或是轴，若是轴，则被积表达式为，若是轴，则被积

15、表达式为。(2)画出草图，以帮助明确积分区间。(3)在求解时，注意利用对称性，以简化求解过程。3.4.2 旋转体的侧面积设函数在闭区间连续，求其绕轴旋转所得的旋转体的侧面积。在任取小区间，以左端点所对应的函数值为半径作圆，这圆的周长与小区间所对应的弧长的乘积，近似代替该小区间所对应的弧段绕轴旋转所得的曲面面积。所以，旋转体的侧面积元素可表示为；所以旋转体的侧面积为。从直观角度看，扁圆台面相比扁圆柱面更接近小旋转曲面，所以用扁圆台近似代替。6例6 计算圆在上的弧段绕轴旋转所得球带的面积如图12。解：对曲线在区间上应用公式，得到特别当，时，则得球的表面积图124微元法在物理中的一些应用“微元法”是

16、研究物理问题时所采用的一种特殊的分析方法,它是把研究对象分割为无限多个无限小的部分,或把物理过程分解成无限多个无限小的部分,然后抽取其中的一部分加以研究,通过对所抽取的这一部分的研究,就可以认知整体或全过程的性质和规律,它实质就是“从复合到单一,再从单一到复合”的综合分析思维方法。7在使用微元法处理连续问题时，需要将其分解为众多微小的“元过程”（如时间元，质量元，长度元、面积元），比如：(1)位移对时间的变化率瞬时速度：，求位移：；(2)速度对时间的变化率加速度：，求速度；(3)动量对时间的变化率力：，求冲量；(4)功对时间的变化率瞬时功率：，求功；8每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，

17、只需分析这些“元过程”，然后再对“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而对问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而达到巩固知识、加深认识和提高能力的目的。力学是物理中的基本部分，所以我们应掌握好微元法在物理力学中的应用，才能更好的掌握微元法在物理其他方面的使用。4.1机械运动问题例7 设某个物体初速度为，做加速度为的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为，试推导这关系式。解：作物体的v-t图像，如图把物体的运动分割成若干个小元段，由于每一小元段时间极短，速度可以看成是不变的，设为，则在此时间内物体的位移为，物体在时间t内的位移为，在v-t图像13上则为若

18、干矩形面积之和。当把运动过程分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OABC。图线与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做与变速直线运动的位移。，所以。又，代入上式可得。例8如图14所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？分析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过程中的t时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。解： 设v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有(16)两边同时乘以一个极短的时间t，有 (17)由于时间极短，可以认为在这极短的时间内

19、人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为，由此将(17)式化为 (18)把所有的元位移分别相加有 (19)即(20)此式即为质心不变原理。其中s1、s2分别为全过程中人和船对地位移的大小，又因为(21)由（20）、（21）两式得船的位移 4.2液体压力问题例9 有一圆锥形水池，池口半径10m，深15m，池中盛满了水，求将池水全部抽干所做的功。解： 这是一个克服重力做功问题，可将吸水过程看做是从水的表面到容器底部一层一层地吸出。那么提取每薄层水力的大小就是这薄层的重量。如图15建立直角坐标系，锥体母线的方程为，取水深为积分变量，其变化区间为，在的任意一个小区间上，相应的一薄层水的重量可以用

20、体积以点处的函数值为底部半径，以为高的圆锥体体积的水的重量近似代替，即水的重量近似为，其中为水的密度，为重力加速度。于是将池水抽干所做的功4.3电学做功问题例10 在原点有一个带电量为的点电荷，周围形成一个电场，求单位正电荷在该电场中从距原点处沿射线方向移至距原点处时，电场力所做的功。解：如图16，根据库伦定律知道：一单位正电荷放在电场中距离原点为的点处，电场对它作用力的大小为(为常数)，方向指向原点。因此，在单位正电荷移动过程中，电场对它的作用力是变力，取为积分变量，变化区间为，在中任取微小区间上，电场力可近似看作不变，并用在点处单位正电荷受到电场力来代替，于是得到它移动所作功的近似值，即功

21、的微元为。所以，电场力对单位正电荷在上移动所作的功为。若移至无穷远处，则做功为此时，电场力做功称为电场中该电的点位，于是知电场在处的电位为。图16总之，“微元法”作为物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，通常化“变”为“恒”，把变化的事物或变化的过程转化为极为简单的不变的事物或不变的过程来处理。其常用手段为：通过限制“变化”赖以发生的“时间”和“空间”来限制“变化”。由于一切“变化”都必须在一定的时间和空间范围内才可能得以实现，因此“微元法”就抓住“变化”的这一本质特征，通过限制“变化”所需的时间或空间来把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程。5 结语微元法是微积分、数学分析教学中的重点内容，是微积分学中的一种极其重要的思想。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样