平面向量单元测验3

1、第9章 平面向量2011年单元测验3一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则=（）ABCD2化简的结果是（）AB2CD3对于菱形ABCD，给出下列各式：；=；+=4|2其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个4在 ABCD中，设=，则下列等式中不正确的是（）ABCD5已知向量与反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|6已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5

2、）7下列各组向量中：，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD8与向量=（12，5）平行的单位向量为（）ABC或D或9若|=，|=4，|=5，则与的数量积为（）A10B10C10D1010若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量，则的坐标为（）ABCD11设kR，下列向量中，与向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD12【待处理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36，则a与b的夹角是（）A60°B120°C135°D150°二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13已知向量满足，则的夹角为_14在四边形ABC

3、D中，若，且|=|，则四边形ABCD的形状是_15已知，若与平行，则=_16已知为单位向量，|=4，与的夹角为，则在方向上的投影为_三、解答题（共6小题，满分0分）17已知非零向量满足，求证：18在ABC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一个内角为直角，求k的值19设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值20已知，与夹角为600，则当实数k为何值是？（1）（2）21如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：PA=EF；PAEF22如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2第9章 平面向

4、量2011年单元测验3参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则=（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义。分析：在矩形ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案解答：解：矩形ABCD中，O是对角线的交点，= （+）= （+）=（3+5），故选A点评：本题考查相等的向量，以及向两加法的平行四边形法则的应用2化简的结果是（）AB2CD考点：向量加减混合运算及其几何意义。专题：计算题；向量法。分析：利用向量数乘的运算律进行化简是解决本题的关键，可以利用类似数的合并同类项的方法进行化简计算解答：解：原式等于=故选B点评：本题考查

5、向量数乘的运算，考查向量数乘的运算律，关键要将向量的数乘运算进行“合并同类项“体现了类比思想3对于菱形ABCD，给出下列各式：；=；+=4|2其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个考点：相等向量与相反向量。专题：计算题。分析：由菱形图象可知这两个向量不相等错误，与两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定义知正确解答：解：由菱形图象可知错误，这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定义知正

6、确故选C点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化4在 ABCD中，设=，则下列等式中不正确的是（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。专题：计算题。分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线所在的向量之差，注意方向解答：解：根据向量加法的平行四边形法则知，即，得到，故选B点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加

7、减运算是用向量解决问题的基础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题5已知向量与反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|考点：平行向量与共线向量。分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的绝对值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正确的答案解答：解：由已知：向量与反向，故选C点评：本题主要是考查平行向量和共线向量的及相应模的运算6已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）考点：平面向量共线（平

8、行）的坐标表示。专题：计算题；分类讨论。分析：利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式求出解答：解：设第四个顶点为（x，y）当第四个顶点与（1，0）对顶点则x1=4；y=5解得x=5，y=5当第四个顶点与（3，0）为对顶点则x+3=0，y=5解得x=3，y=5当第四个顶点与（1，5）为对顶点则x+1=2；y5=0解得x=1，y=5故选D点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式7下列各组向量中：，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义。分析：根据平面内向量基底的定义直接进行判

9、断判断两个向量是否共线，即可得出结果解答：解：由，可得1×72×5即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底由可得3×10=5×6即故，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底由可得即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底答案为B点评：本题考查向量基底的定义，通过判断是否共线判断结果属于基础题8与向量=（12，5）平行的单位向量为（）ABC或D或考点：用向量证明平行。专题：计算题。分析：设出与向量=（12，5）平行的单位向量，求出的模，利用，求出解答：解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，所以=，或故选C点评：本题考查向量共线，

10、考查学生计算能力，是基础题9若|=，|=4，|=5，则与的数量积为（）A10B10C10D10考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；将已知条件中的三个等式平方求出两个向量的数量积解答：解：故选A点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用此性质常解决与向量模有关的问题10若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量，则的坐标为（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：由已知条件知与模相等，夹角为；利用向量的模的坐标公式及向量的数量积公式列出方程组，求出解答：解：设，据题意知x2+y2=5，解组成的方程组得，故

11、选B点评：本题考查向量的模的坐标公式、考查利用向量的数量积公式求向量的夹角11设kR，下列向量中，与向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD考点：平行向量与共线向量。专题：计算题。分析：根据条件中所给的向量的坐标，代入两个向量平行的充要条件进行验证，整理出充要条件是2k22，一定不等于零，一次得到这两个向量一定不平行解答：解：=（k2+1）（k2+1）=2k222这两个向量一定不平行，故选C点评：本题考查两个向量平行的充要条件，这个充要条件有两种表示形式，坐标形式是最直接的一种形式，解题时只要进行数字的运算，是一个基础题12【待处理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36

12、，则a与b的夹角是（）A60°B120°C135°D150°考点：数量积表示两个向量的夹角。分析：根据向量数乘和数量积的变化得到向量的数量积，把向量的模和数量积代入夹角公式，得到向量夹角的余弦值，根据向量夹角的范围，得到向量的夹角解答：解：由（3）（）=36得=60cos，=又0°180°，=120°故选B点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的数量积，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13已知向量满足，则的夹角为考点：平面向

13、量数量积的坐标表示、模、夹角。分析：把两向量差的模是7两边平方，代入所给的两个向量的模得到数量积，根据两向量夹角公式做出夹角的余弦，因为向量夹角的范围限制，求出满足条件的角解答：解：|=7，=cos=0，故答案为：点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直本题考查求夹角14在四边形ABCD中，若，且|=|，则四边形ABCD的形状是矩形考点：向量加减混合运算及其几何意义。专题：计算题。分析：利用平面向量加法的平行四边形法则，根据四边形ABCD中，若，我们易根据|=|

14、，结合矩形判定定理，判断出四边形ABCD的形状解答：解：在四边形ABCD中，若，向量和分别表示平行四边形ABCD的两条对角线，若|=|，则表示两条对角线长度相等，根据矩形的判定定理，我们可得四边形ABCD是矩形故答案为：矩形点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，其中利用平行四边形法则，及矩形判定定理分析四边形ABCD的形状是解答的关键15已知，若与平行，则=±1考点：平行向量与共线向量。专题：计算题。分析：利用向量的运算法则求出两个向量的坐标，再利用向量共线的充要条件列出方程，解方程得值解答：解：，=（3+2，21），=（3+2，2）（3+2）（2）=（21）（3+2

15、）解得=±1故答案为：±1点评：本题考查向量的坐标形式的运算法则、向量平行的坐标形式的充要条件16已知为单位向量，|=4，与的夹角为，则在方向上的投影为2考点：平面向量数量积的含义与物理意义。专题：计算题。分析：由题意要求在方向上的投影，利用投影的定义可知应该为：，而又知|=4，与的夹角为，代入即可解答：解：因为利用投影的定义可知在方向上的投影为：，又知|=4，与的夹角为， 所以=4=2故答案为：2点评：此题考查了在方向上的投影的定义，还考查了学生的计算能力三、解答题（共6小题，满分0分）17已知非零向量满足，求证：考点：平面向量数量积的运算。专题：证明题。分析：把已知的等

16、式两边平方，可得这两个非零向量的数量积等于零，从而得到两个非零向量垂直解答：证明：|=|=，又为非零向量，点评：本题考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件18在ABC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一个内角为直角，求k的值考点：平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义。分析：因为谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论解答：解：当A=90°时，因为2×1+3k=0，k=当B=90°时，=（12，k3）=（1，k3）=0，2×（1）+3×（k3）=0 k=当C=90°时，=0，1+k（k3）=0，k23k1=0k的取值为

17、或或点评：在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角，分类讨论的数学思想，是中档题19设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值考点：向量的共线定理。专题：计算题。分析：利用向量的运算法则求出；将三点共线转化为两个向量共线；利用向量共线的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值解答：解：若A，B，D三点共线，则共线，即由于不共线可得：故=2，k=8点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理20已知，与夹角为600，则当实数k为何值是？（1）（2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示。专

18、题：计算题。分析：（1）先计算的值，当 时，由 =，利用向量的坐标运算法则及向量相等的条件，解出实数k的值（2）当 时，由 =0，利用两个向量的数量积公式解出实数k的值解答：解：由题意得 =3（1）当，则3=5，且k=3k=（2）当，则，k=点评：本题考查两个向量平行及垂直的性质的应用，两个向量的数量积公式的应用21如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：PA=EF；PAEF考点：向量在几何中的应用。专题：证明题。分析：利用ADDC建立坐标系，根据题意表示出正方形ABCD顶点的坐标，再设DP=r并利用PECF为矩形，求出点E、F的坐标，由向量的坐标表示求出的坐标，根据向量的模求法证明PA=EF；利用求出的坐标，利用数量积坐标运算求出=0，即证出PAEF解答：解：以D为原点为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），PA=EF，由得，=+=0，点评：本题考查了利用坐标法证明几何中的问题，即利