必修5 数列(4)

1、1（2013重庆）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T202（2014成都模拟）等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和3（2013浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（）若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|4（2013天津）已知首项为的等比数列an的前n项和为S

2、n（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明5（2013上海）已知函数f（x）=2|x|，无穷数列an满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由6（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn7（2013江西）正项数列an满足（2n1）an2n=0（1）求数列a

3、n的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn8（2013江苏）设an是首项为a，公差为d的等差数列（d0），Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：（k，nN*）；（2）若bn是等差数列，证明：c=09（2013安徽）设数列an满足a1=2，a2+a4=8，且对任意nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx满足f（）=0（）求数列an的通项公式；（）若bn=2（an+）求数列bn的前n项和Sn10（2012上海）已知数列an、bn、cn满足（1）设cn=3n+6，an是公差为3的等差数

4、列当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切nN*，均有bnbk；（3）设，当b1=1时，求数列bn的通项公式11（2012陕西）设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列（1）求数列an的公比；（2）证明：对任意kN+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列12（2012陕西）已知等比数列an的公比为q=（1）若a3=，求数列an的前n项和；（）证明：对任意kN+，ak，ak+2，ak+1成等差数列13（2012山东）在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73（）求数列an的通项公式；（）对任意mN*，将数列an中落入区间（9m，

5、92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm14（2012山东）已知等差数列an的前5项和为105，且a10=2a5（）求数列an的通项公式；（）对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm求数列bm的前m项和Sm15（2012湖北）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8（1）求等差数列an的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和16（2012广东）设数列an前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足，nN*（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式17（2011上海）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2

6、n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式18（2011上海）对于给定首项x0（a0），由递推公式xn+1=（xn+）（nN）得到数列xn，对于任意的nN，都有xn，用数列xn可以计算的近似值（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；（2）当n1时，证明：xnxn+1（xn1xn）；（3）当x05，10时，用数列xn计算的

7、近似值，要求|xnxn+1|104，请你估计n，并说明理由19（2011江西）（1）已知两个等比数列an，bn，满足a1=a（a0），b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3，若数列an唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不 为0的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由20（2011江苏）设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数kM，当整数nk时，Sn+k+Snk=2（Sn+Sk）都成立（1）设M=1，a2=2，求a5的值；（2）设M=3，4，求数列an的通项公式21

8、（2011湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（）求数列bn的通项公式；（）数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列22（2011广东）设b0，数列an满足a1=b，an=（n2）（1）求数列an的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2anbn+1+123（2011福建）已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值24（2011福建）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=（I）求数列an的通项公式；（II）若函数f（x）=Asin（2x

9、+）（A0，0p）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式25（2010重庆）已知an是首项为19，公差为4的等差数列，Sn为an的前n项和（）求通项an及Sn；（）设bnan是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn26（2010天津）在数列an中，a1=0，且对任意kN*，a2k1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k（）证明a4，a5，a6成等比数列；（）求数列an的通项公式；（）记，证明27（2010上海）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n5an85，nN*（1）证明：an1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn+1S

10、n成立的最小正整数n28（2010山东）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令（nN*），求数列bn的前n项和Tn29（2010宁夏）设数列满足a1=2，an+1an=322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列的前n项和Sn30（2010江西）正实数数列an中，a1=1，a2=5，且an2成等差数列（1）证明数列an中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an200的所有整数项的和1（2013重庆）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn

11、是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（）可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案解答：解：（）由题意可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=1×3n1=3n1，由求和公式可得Sn=；（）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列bn的公差为d，可得b3b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3

12、+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题2（2014成都模拟）等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和考点：等比数列的通项公式；数列的求和专题：综合题；转化思想分析：（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项

13、公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和解答：解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简

14、求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题3（2013浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（）若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：（）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（）利用（）中的结论，得到等差数列an的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d0时|a1|+|a2|+|a3|+|an|的和解答：解：（）由题意得，即，

15、整理得d23d4=0解得d=1或d=4当d=1时，an=a1+（n1）d=10（n1）=n+11当d=4时，an=a1+（n1）d=10+4（n1）=4n+6所以an=n+11或an=4n+6；（）设数列an的前n项和为Sn，因为d0，由（）得d=1，an=n+11则当n11时，当n12时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题4（2013天津）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn（nN*

16、），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明考点：数列的求和；等差数列；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（）由题意得2S3=2S2+4S4，变形为S4S3=S2S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（）根据（）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值解答：（）解：设等比数列an的公比为q，2S2，S3，4S4等差数列，2S3=2S2+4S4，即S4S3=S2S4，得2a4=a3，q=，=；（）证明：由（）得，Sn=1，当n为奇数时，=，当n为偶数时，=，随着n的增

17、大而减小，即，且，综上，有成立点评：本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力5（2013上海）已知函数f（x）=2|x|，无穷数列an满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由考点：等差关系的确定；数列的函数特性；等比关系的确定专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a

18、3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2a1+|2|a1|=2|a1|（*），分情况当a12时当0a12时当a10时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；当a10时，由公差d2可得矛盾；解答：解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2|a1|=2a1，a3=2|a2|=2|2a1|，当0a12时，a3=2（2a1）=a1，所以，得a1=1；当a12时，a3=2（a12）=4a1，所以，得（舍去）或综合

19、得a1=1或（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2|a1|，a3=2|2|a1|，由2a2=a1+a3得2a1+|2|a1|=2|a1|（*），以下分情况讨论：当a12时，由（*）得a1=0，与a12矛盾；当0a12时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，），所以an是一个等差数列；当a10时，则公差d=a2a1=（a1+2）a1=20，因此存在m2使得am=a1+2（m1）2，此时d=am+1am=2|am|am0，矛盾综合可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，an，成等差数列点评：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决

20、问题的能力，综合性强，难度较大6（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn解答：解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解

21、得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时，=，当n2时，=（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得：Tn=+（+）=Tn=3点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题7（2013江西）正项数列an满足（2n1）an2n=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）通过分解因式，利用正项数列an，直接求数列

22、an的通项公式an；（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列bn的前n项和Tn解答：解：（1）由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可得（an2n）（an+1）=0所以an=2n（2）因为an=2n，bn=，所以bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力8（2013江苏）设an是首项为a，公差为d的等差数列（d0），Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：（k，nN*）；（2）若bn是等差数列，证明：c=0考点：等比关系的确定；等差数列的前n项和；

23、等差数列的性质；等比数列的性质专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论；（2）把Sn代入中整理得到bn=，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明，由此可得到c=0解答：证明：（1）若c=0，则an=a1+（n1）d，当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d0，故d=2a因此：，故：（k，nN*）（2）= 若bn是等差数列，则bn的通项公式是bn=An+B型观察式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0

24、经检验，当c=0时bn是等差数列点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题9（2013安徽）设数列an满足a1=2，a2+a4=8，且对任意nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx满足f（）=0（）求数列an的通项公式；（）若bn=2（an+）求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；导数的运算；等差关系的确定；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（I）利用导数的运算法则先求出f（x），再利用，即可得到数列an是

25、等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an；（II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn解答：解：（I）f（x）=anan+1+an+2an+1sinxan+2cosx，2an+1=an+an+2对任意nN*，都成立数列an是等差数列，设公差为d，a1=2，a2+a4=8，2+d+2+3d=8，解得d=1an=a1+（n1）d=2+n1=n+1（II）由（I）可得，=2（n+1）+，Sn=22+3+（n+1）+=点评：数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键10（2012上海）已知数列an、bn、cn满足

26、（1）设cn=3n+6，an是公差为3的等差数列当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切nN*，均有bnbk；（3）设，当b1=1时，求数列bn的通项公式考点：数列递推式；数列的函数特性专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列bn的通项公式，最后综合即可解答：解：（1）an+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=8（2）an+1an=2n7，b

27、n+1bn=，由bn+1bn0，解得n4，即b4b5b6；由bn+1bn0，解得n3，即b1b2b3b4k=4（3）an+1an=（1）n+1，bn+1bn=（1）n+1（2n+n）bnbn1=（1）n（2n1+n1）（n2）故b2b1=21+1；b3b2=（1）（22+2），bn1bn2=（1）n1（2n2+n2）bnbn1=（1）n（2n1+n1）当n=2k时，以上各式相加得bnb1=（222+2n2+2n1）+12+（n2）+（n1）=+=+bn=+当n=2k1时，=+（2n+n）=+bn=点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目1

28、1（2012陕西）设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列（1）求数列an的公比；（2）证明：对任意kN+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质专题：综合题分析：（1）设an的公比为q（q0，q1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列an的公比；（2）对任意kN+，Sk+2+Sk+12Sk=（Sk+2Sk）+（Sk+1Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（2）=0，从而得证解答：（1）解：设an的公比为q（q0，q1）a5，a3，a4成等差数列，2a3=a

29、5+a4，a10，q0，q2+q2=0，解得q=1或q=2q1，q=2（2）证明：对任意kN+，Sk+2+Sk+12Sk=（Sk+2Sk）+（Sk+1Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（2）=0对任意kN+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键12（2012陕西）已知等比数列an的公比为q=（1）若a3=，求数列an的前n项和；（）证明：对任意kN+，ak，ak+2，ak+1成等差数列考点：等比数列的前n项和；等差关系的确定专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由

30、a3=a1q2，以及q=可得 a1=1，代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果（）对任意kN+，化简2ak+2（ak +ak+1）为 （2q2q1），把q=代入可得2ak+2（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列解答：解：（1）由 a3=a1q2，以及q=可得 a1=1数列an的前n项和 sn=（）证明：对任意kN+，2ak+2（ak +ak+1）=2a1 qk+1=（2q2q1）把q=代入可得2q2q1=0，故2ak+2（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用

31、，属于中档题13（2012山东）在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73（）求数列an的通项公式；（）对任意mN*，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm考点：数列的求和；等差数列的通项公式专题：计算题分析：（I）由已知及等差数列的性质可求a4，由可求公差d，进而可求a1，进而可求通项（II）由可得9m+89n92m+8，从而可得，由等比数列的求和公式可求解答：解：（I）数列an是等差数列a3+a4+a5=3a4=84，a4=28设等差数列的公差为da9=73=9由a4=a1+3d可得28=a1+27a1=1an=a1+（n1）d=1+9

32、（n1）=9n8（II）若则9m+89n92m+8因此9m1+1n92m1故得Sm=b1+b2+bm=（9+93+95+92m1）（1+9+9m1）=点评：本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用14（2012山东）已知等差数列an的前5项和为105，且a10=2a5（）求数列an的通项公式；（）对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm求数列bm的前m项和Sm考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等差数列的性质专题：综合题分析：（I）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项（II

33、）由（I）及已知可得，则可得，可证bm是等比数列，代入等比数列的求和公式可求解答：解：（I）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为an=7+（n1）7=7n（II）由，得n72m1，即=49bm是公比为49的等比数列，点评：本题主要考查了利用基本量，结合等差数列的通项公式及求和公式求解等差数列的项目、和，等比数列的证明及求和公式等知识的综合应用15（2012湖北）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8（1）求等差数列an的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质专题：计算题分析：（I）设等差数列的

34、公差为d，由题意可得，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n7，则|an|=|3n7|=，根据等差数列的求和公式可求解答：解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，an=23（n1）=3n+5或an=4+3（n1）=3n7（II）当an=3n+5时，a2，a3，a1分别为1，4，2不成等比当an=3n7时，a2，a3，a1分别为1，2，4成等比数列，满足条件故|an|=|3n7|=设数列|an|的前n项和为Sn当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n3时

35、，Sn=|a1|+|a2|+|an|=5+（3×37）+（3×47）+（3n7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用16（2012广东）设数列an前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足，nN*（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式分析：（1）当n=1时，T1=2S11由T1=S1=a1，所以a1=2a11，能求出a1（2）当n2时，所以Sn=2Sn1+2n1，Sn+1=2Sn+2n+1，故an+

36、1=2an+2，所以（n2），由此能求出数列an的通项公式解答：解：（1）当n=1时，T1=2S11因为T1=S1=a1，所以a1=2a11，求得a1=1（2）当n2时，所以Sn=2Sn1+2n1所以Sn+1=2Sn+2n+1得 an+1=2an+2所以an+1+2=2（an+2），即（n2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以an+2是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，nN*点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用17（2011上海）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x

37、=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式考点：等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项（2）对于数列an，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式（3）对an中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对bn中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项解答：解：（1）a1=3×1+6=9； a2=

38、3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于an=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7bn当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k1+7不属于bn在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）b3k2=2（3k2）+7=a2k1b3k1=6k+5 a2k=6k+6b3k=6k+76k+36k+56k+66k+7当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b

39、3=c4点评：本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法18（2011上海）对于给定首项x0（a0），由递推公式xn+1=（xn+）（nN）得到数列xn，对于任意的nN，都有xn，用数列xn可以计算的近似值（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；（2）当n1时，证明：xnxn+1（xn1xn）；（3）当x05，10时，用数列xn计算的近似值，要求|xnxn+1|104，请你估计n，并说明理由考点：数列递推式；数列与不等式的综合；反证法与放缩法专题：压轴

40、题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；（3）由题意，只要，由此可估计n的值解答：（1）解：x0=5，a=100，xn+1=（xn+）x1=（5+）4.74同理可得x24.67，x34.65猜想xnxn+1；（2）证明：xnxn+1（xn1xn）=；xnxn+1=0xnxn+1；（3）解：由（2）知由题意，只要，即2n104（x0x1）n=15.1n=16点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大19（2011江西）（1

41、）已知两个等比数列an，bn，满足a1=a（a0），b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3，若数列an唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不 为0的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式专题：综合题；压轴题分析：（1）设等比数列an的公比为q，根据等比数列的通项公式，由b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3表示出b1，b2，b3，根据b1，b2，b3成等比数列，再根据等比数列的通项公式得到等比数列an的首项与公比的关系式，把q看作未知数，根据a大于0得出根的判别式大

42、于0，进而得到方程有两个不同的实根，又数列an唯一，得到方程必有一根为0，把q=0代入方程即可得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）利用反证法进行证明，假设存在，分别设出两等比数列的公比，根据等差数列的通项公式，b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列，列出关系式，化简后分别求出两等比数列的首项及公比，分别求出b1a1，b2a2，b3a3，b4a4的公差为0，与已知的公差不为0矛盾，假设错误，进而得到不存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不 为0的等差数列解答：解：（1）设an的公比为q，a1=a（a0），b1a1=1，b

43、2a2=2，b3a3=3，b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，b1，b2，b3成等比数列，（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）即aq24aq+3a1=0，a0，=4a2+4a0，方程有两个不同的实根，又数列an唯一，方程必有一根为0，将q=0代入方程得a=，a=；（2）假设存在两个等比数列an，bn，使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列，设an的公比为q1，bn的公比为q2，则b2a2=b1q2a1q1，b3a3=b1q22a1q12，b4a4=b1q23a1q13，由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成的等差数列得：即，×q2得：a1（

44、q1q2）（q11）2=0，由a10得：q1=q2或q1=1，（i）当q1=q2时，由，得b1=a1或q1=q2=1，这时（b2a2）（b1a1）=0与公差不为0矛盾；（ii）q1=1时，由，得b1=0或q2=1，这时（b2a2）（b1a1）=0与公差不为0矛盾，综上所述，不存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不为0的等差列点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值，会利用反证法说明命题的真假，是一道中档题20（2011江苏）设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数kM，当整数nk时，Sn

45、+k+Snk=2（Sn+Sk）都成立（1）设M=1，a2=2，求a5的值；（2）设M=3，4，求数列an的通项公式考点：数列递推式；数列与函数的综合专题：综合题分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，变形后，利用Sn+1Sn=an+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得Sn+k+Snk=2（Sn+Sk），记作，把n换为n+1，得到一个关

46、系式记作，后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即an6，an3，an，an+3，an+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且an6，an2，an+2，an+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到an+2an=anan2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=anan1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=anan1，

47、经过计算后，得到n大于等于2时，d=anan1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=anan1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可解答：解：（1）由M=1，根据题意可知k=1，所以n2时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1），即（Sn+1Sn）（SnSn1）=2S1，又a1=1，则an+1an=2a1=2，又a2=2，所以数列an除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n2时，an=a2+2（n2）=2

48、n2，所以a5=8；（2）根据题意可知当kM=3，4，且nk时，Sn+k+Snk=2（Sn+Sk），且Sn+1+k+Sn+1k=2（Sn+1+Sk），得：（Sn+1+kSn+k）+（Sn+1kSnk）=2（Sn+1Sn），即an+1+k+an+1k=2an+1，可化为：an+1+kan+1=an+1an+1k所以n8时，an6，an3，an，an+3，an+6成等差数列，且an6，an2，an+2，an+6也成等差数列，从而当n8时，2an=an3+an+3=an6+an+6，（*）且an2+an+2=an6+an+6，所以当n8时，2an=an2+an+2，即an+2an=anan2，于是得

49、到当n9时，an3，an1，an+1，an+3成等差数列，从而an3+an+3=an1+an+1，由（*）式可知：2an=an1+an+1，即an+1an=anan1，当n9时，设d=anan1，则当2n8时，得到n+68，从而由（*）可知，2an+6=an+an+12，得到2an+7=an+1+an+13，两式相减得：2（an+7an+6）=an+1an+（an+13an+12），则an+1an=2dd=d，因此，anan1=d对任意n2都成立，又由Sn+k+Snk2Sn=2Sk，可化为：（Sn+kSn）（SnSnk）=2Sk，当k=3时，（Sn+3Sn）（SnSn3）=9d=2S3；同理当

50、k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4S3）=2a4=16d9d=7d，解得a4=d，因为a4a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列an为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列an的通项公式为an=1+2（n1）=2n1点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题21（2011湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（）求数列bn的通项公式；（）数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列考点：等比关系的确定；等比数列的通