常微分方程自学练习题

1、常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是_.3 方程的基本解组是_.4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程的常数解是_.6 方程一个非零解为x1(t) ,经过变换_7 若4(t)是线性方程组的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=_.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为_.9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_.11 一阶线性方程有积分因子( ).12 求解方

2、程的解是( ).13已知(为恰当方程,则=_.14 ,由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程的通解是( ).16方程的阶数为_.17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=_.18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_.19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g1(t),；第二类边界条件，；第三类边界条件F， T，其中k0,k1,T都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。

3、（选填“多于”、“少于”或“等于”）21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数a,b,c作成的判别式=b2-ac在区域中的某点（x0,y0）大于零，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果=0，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果<0，则称方程在点（x0,y0）是型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）二 单项选择:1 方程满足初值问题解存在且唯一定理

4、条件的区域是( ).(A)上半平面 (B)平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面2 方程( )奇解. (A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A) (B) (C) (D)4 方程的一个特解形如( ). (A) (B) (C) (D)5 连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程过点(0,0)有( ). (

5、A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题x ,在区间,上的解是( ). (A) (B) (C) (D) 9 方程是( ). (A)一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程(D)二阶线性方程10 方程的通解是( ). (A) (B) (C) (D)11 方程的一个基本解组是( ). (A) (B) (C) (D)12 若y1和y2是方程的两个解,则 （e1,e2为任意常数）(A)是该方程的通解(B)是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13 方程过点(0,0)的解为,此解存在( ). (A) (B) (C) (D)14 方程

6、是( ) . (A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程的通解是( ).(A)(B) (C)(D)16 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A)(B)(C)(D)17 方程的一个数解形如( ). (A)(B)(C)(D)18 初值问题 在区间上的解是( ).(A) (B) (C) (D) 三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分: (1) (2) (3) (4) (5)2 求方程的解 3 解方程:并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4 求方程: 5求方程: 的通解6 求的通解.7 求解方程:8 求方程:的解9 求方程

7、的通解10 求下列方程组的通解11求初值问题的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1) (2) (3) (三种方法)(4)13 计算方程 的通解14计算方程 15 求下列常系数线性微分方程: 16 试求x的基解矩阵17 试求矩阵的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵的特征值和特征向量19 解方程组20、21、求解初值问题 （提示：使DAlembert 公式）22、求解初值问题23、求解第一初边值问题四 名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5条件6 线性相关五 证明题1在方程中已知p(x);q(x)在上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不

8、能与x轴相切.2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3设f (x)在0；+上连续且f (x)=0求证：方程的一切解y(x)；均有y (x)=04 在方程中p(x)、q(x)在（）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（）上的严格单调函数。5证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6证明：函数组（其中当时）在任意区间（a ,b）上线性无关。7试证：习题答案一 填空题:1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 开5、 6、 7、 ,c为常数列向量8、 y=x2+c9

9、、 初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c ; c为任意正常数13、/14、15、16、417、018、；其中c是确定的n维常数列向量19、u(l,t)=g2(t) , 20、多于，少于21、双曲，抛物，椭圆二 单项选择 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D三 求下列方程的解1 (1）解：当时，分离变量取不定积分，得 通积分为 1ny= Cex（2）解：令y= xu , 则代入原方程，得 分离变量，取不定积分，得 （） 通积分为：（3） 解： 方程两

10、端同乘以y-5,得 令y -4= z ，则代入上式，得 通解为 原方程通解为 （4） 解： 因为 ， 所以原方程是全微分方程。 取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为 即 （5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c32 解：设则方程化为 ，积分后得y = ct 即 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5为任意常数= = f1(t) + f2(t)故x1(t)+x2(t)为方程=f1(t)+f2 (t)的解。 3 解： 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里c是任意常数。以x=0,y=1代入通解

11、中以决定任意常数c，得到 c = -1 因而，所求特解为 4 解：以 及 代入，则原方程变为 即 将上式分离变量,即有 两边积分,得到 这里是任意函数,整理后,得到 令,得到 sinu = cx 5 解: 令z = y-1得 代入原方程得到 这是线性方程,求得它的通解为 代回原来的变量y , 得到 这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。 6 解： 这里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，这时 因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程由（1）对x 积分，得到 为了确定，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得 于是 = 4y4 积分后可得 =y4 将

12、代入（3），得到 u=x3+3x2y2+y4 因此，方程的通解为 x3 + 3x2y2 + y4=c 这里c是任意常数 7 解： 特征方程即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost 、sint 、tsint 故通解为x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1 ; c2 ; c3 ; c4为任意常数 8 解： 令 则方程化为： 积分后得y=ct 即于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5 其中c1 ; c2 c5 为任意常数 ，这就是原方程的通解。 9 解 对应齐次方程的特征方程为， 特征根为 齐次方程的通解为 y=C1+

13、C2e5x因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y1(x)=x（Ax2 + Bx + C） 代入原方程，比较系数确定出 A=， B= ，C= 原方程的通解为10 解： 先解出齐次方程的通解=C1+C2令非齐次方程特解为 =C1(t)+C2(t)满足= 解得 积分，得 通解为 11 解： M=max=4 故解的存在区间为 2) q0(x)=0 q1(x)=0 q2(x)=0+ = 12 求方程的通解: 1) 解: 变形(1),将y看作自变量, x为未知函数 解齐线性方程, 通解为x = cy 令x = c (y)y. (2)微分得, 由(1)(2)知,积分得故(是任意常数) 2) 解

14、: 令则, 于是 则原方程变为 即 将上式分离变量有 积分得为任意常数。整理令得 方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c为任意常数) 3）(三种方法) 解：法一，这里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y 因此此方程是恰当方程 现求 u使（1）， （2） 对（1）中x积分得 （3） 对（3）中y求导 积分得，代入（3）得 故通解为，c为任意常数 法二，重新组合得，即 于是通解为其中c是任意常数。 4） 解： 令则 对x求导得 积分得 于是方程通解为 （p=0）13 方程的通解 解： 齐次方程是 由于2i是特征方程单根 故所求特解应具形式

15、 代入原方程 故通解为，其中c1c2为任意常数14 解：特征方程有重根 因此对应齐线性方程的通解为，其中c1,c2为任意常数。 因为不是特征根，现求形如的特征解， 代入原方程化简 于是 故 故通解为其中c1,c2为任意常数 15 求下列常系数线性微分方程 对应的齐次方程为 特征方程为 特征根为 a不是特征根， 故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x的特解代入原方程得 故原方程通解为，（为任意常数） 16 解：因为 = + 而且后面的两个矩阵是可交换的 得到t = E + t +但是，= 所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 17 解： 特征方程为 因此，是A的二重特征值.为了寻求对应于的

16、特征向量,考虑方程组 因此, 向量 是对应于特征值的特征向量,其中是任意常数. 18 解A特征方程为 特征根为 对应于1=3+5i的特征向量满足 解得u = a 为任意常数 对应于特征向量满足 解得为任意常数 19 解:的特征方程为1=1,2=4为特征根,为方程组解a为任意常数.为方程组解. 这样为方程的解20、解：21、解：由DAlembert 公式公式为则=22、解：由令 则已知误差函数定义，故23、解：第一步对方程进行化简，使其不包括b2u项。令u=veat，代入方程，有令a=-b2,则u=,v为定解问题的解。由分离变量法，得四 名词解释 1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称

17、之为微分方程。 2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上 的微分方程称为偏微分方程。 3 形如 的方程，称为变量分离方程，这里分别是x , y的连续函数。 4 形如 的方程，称为伯努利方程，这里为x的连续函数，是常数 5 函数f (x , y)称为在R上关于y满足条件，如果存在常数L>0,使得不等式对于所有都成立, L称为常数. 6 定义在区间上的函数, 如果存在不全为零的常数c1 , c2 , . ck 使得恒等式对于所有都成立,称这些函数是线性相关的. 五 1在方程中,已知p (x),q (x)在上连续,求证:该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.证明：方程，设是它的任一非零解。 若p (x),q (x)在上连续，假设在平面上与轴相切。 则与方程有非零解矛盾。 故与x轴不相切。 2 由已知得把x1