华师大版初二数学勾股定理的16种证明方法

1、勾股定理的证明【证法 1】（课本的证明）abba做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为ba、b,斜边长为 c, 再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等.即2 2121a2b24 ab = c24 ab22222，整理得a+b=c.【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. R

2、tAHAE 也 RtAEBF, / AHE = / BEF. / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形.它的面积等于 c2.-RtAGDH / HGD =-/ HGD + / EHA +-/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于（a + b）.（a +b2=4汉ab +c22也 RtAHAE, /EHA./ GHD = 90o,/ GHD = 90o.又 ABCD 是【证法 3】 （赵爽

3、证明）A、E、Ba2b2= c2C以 a、b 为直角边（ba）,以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状 RtADAH 也 RtAABE, / HDA = / EAB. / HAD + / HAD = 90 o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o.2EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 b-a .12 24汉ab + （ba）=c2. a2+b2=c2【证法 4】（1876

4、年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角又 / DAE = 90o, / EBC = 90o,AD / BC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2（b）1(Hb f =1ah-c22 2 21ab形的面积等于2在一条直线上. RtAEAD/ ADE = / AED +/ AED +.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使也 RtACBE,/ BEC./ ADE = 90o,/ BEC = 90o./ DEC = 180o 90o= 90o.ADEC是一个等腰直角三角形,三占-1c它的面积等于2a2b2=c2A、*【证法

5、 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a b，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上.过 C 作 AC 的延长线交 DF于点 P. D、E、F 在一条直线上,且 RtAGEF 也 Rt EBD, /EGF =/BED, /EGF +/GEF = 90, /BED +/GEF = 90, /BEG =180o90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG 是一个边长为 c 的正方形. /ABC +/CBE = 90o. RtAABC 也 RtAEBD, /ABC =/EBD. /EBD +/CB

6、E = 90o.即/ CBD= 90o.又/BDE = 90o,ZBCP = 90o,BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S,贝 Ua2bS 2 -ab,2a2+b2=c2.【证法 6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,C 三点在一条直线上.E过点Q作QP/ BC,交AC于点P. 过点B作BM丄PQ,垂足为M ;再过点 F 作 FN 丄 PQ,垂足为 N. / BCA = 90o, QP

7、/ BC, / MPC = 90o, BM 丄 PQ, / BMP =90o, BCPM 曰 / QBM +/ ABC + / QBM =又/ BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c , RtABMQ 也 RtABCA.同理可证 RtAQNF 也 RtAAEF.c2= S 2 -ab2a、 b（ba）， 斜 使E、A、APIL、b即/ MBC = 90o./ QBA = 90o,/ MBC = 90o,个矩形，/ MBA = /MBA = /ABC ,从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）1【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a b、c 的正方形，把

8、它们拼成如图所示形状，使 H、B 三点在一条直线上，连结BF、CD.过 C 作 CL 丄 DE, 交 AB 于点 M，交 DE 于点L. AF = AC，AB = AD，/ FAB = / GAD， FAB 也 GAD，12aFAB 的面积等于2， GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半，矩形 ADLM 的面积=a2.同理可证，矩形 MLEB 的面积=b2.c2=a2+b2，即a2+b2=c2.【证法 8】（利用相似三角形性质证明）如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC、 长为 c,过点C 作 CD 丄 AB，垂足是 D.在厶 ADC 和厶 ACB 中, /ADC =/ACB = 9

9、0o,/ CAD = / BAC，ADCs ACB.AD : AC = AC : AB，即AC2= AD AB.2同理可证， CDBs ACB，从而有BC =BD AB. AC2+BC2=(AD+DB )AB = AB2，即a2+b2=c2【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边 长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过 A 作 AF 丄 AC，AF交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R.过 B 作 BP 丄 AF，垂足为 P.过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E, DE 交 AF 于 H

10、. /BAD = 90o,ZPAC = 90o, ./DAH =/BAC.又/DHA = 90o,ZBCA = 90o,AD = AB = c,.RtADHA 也 RtBCA.C、正方形 ADEB 的面积=矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB 的面积BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的DcRHP4536cc9 2 c1.DH = BC = a, AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形,所以 RtAAPB 也 Rt BCA.即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a. RtADGT 也 RtABCA ,RtADHA 也 RtABCA. RtADG

11、T 也 RtADHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又 / DGT = 90o,/ DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH 是一个边长为a 的正方形.GF = FH = a . TF 丄 AF , TF = GT GF = b a . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba,下底 BP= b,高 FP=a +（b a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为.RtAHGF 也 RtABDC.即S7=.过 Q 作 QM 丄 AG，垂足是 M .由/ BAQ =

12、 / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtAABE 也 RtAQAM .又 RtAHBT 也2c二S|S2S3S4S5S8S3S411 la亠ib - a b2ab=2,S5- S8S9-1ab - S82把代入，得c2二 S,S2b2- S=b2S2S)=a b cS3S4 =bb2-S S8-S8SsS9b2a2a、直线上.用数字表示面积的编号（如图）-/TBE =/TBH =/ABH = 90o, /ABE.又/BTH =/BEA = :90o,BT = BE =b,RtAHBT 也 RtAABE.HT = AE =a.GH = GT

13、HT = ba.又/GHF +/BHT = :90o,/DBC +/BHT =:/TBH +z-/GHF =/DBC. DB = EB- ED = ba,/HGF =/BDC = =90o,【证法 10】（李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、BHTc.做三个边长G 三点在一条Ss= S5RtAABE 也 RtAQAM，又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE./AQM +/FQM = 90o，ZBAE +/CAR = 90o，ZAQM =/BAE， /FQM=/CAR./QMF =/

14、ARC = 90o，QM = AR = a，RtAQMF 也 RtAARC.即S4二S6.2=3 + S2+ S3+ S4+ S5a = 3 + S6bS8 S5S4 S6, , ,=5 S6S3S7S8Rt ABE.所以 Rt HBT 也 RtAQAM .即 由又S72aa2-S3S7S8=S2b2b2=S|S4S3S2S5=c2,=c2【证法 11】（利用切割线定理证明）在 RtAABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c.如图，以 B 为圆 心 a为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E,则 BD = BE = BC = a.因 为/ BCA =9

15、0o,点 C 在。B 上，所以 AC 是。B 的切线.由切割线定理，得AC2=AE *AD=AB BE AB - BD=c a c -a2=c=c2b2即b2/.a22-a2_a,2【证法12】（利用多列米定理证明）在 RtAABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c （如图）.过点 A 作 AD/ CB，过点 B 作 BD / CA，贝 U ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB *DC =AD BC +AC *BD， AB = DC = c， AD = BC = a， AC = BD =

16、 b， AB2二BC2AC2，即c2二a2b2，/. a2+b2= c2【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明）在 RtAABC 中，设直角边 BC = a，AC = b,切圆。0,切点分别为 D、E、F（如图），设。O 的半径为 r. AE = AF , BF = BD , CD = CE,-AC BC - AB 二 AE CE BD CD - AF BF斜边 AB = c.作 Rt ABC 的内CE CD= r + r = 2r,a b -c = 2ra b = 2r ca b $ = 2rS.ABC= 2ab2ab=4SABC，长为 c,过点 C 作 CD 丄 AB，垂足是 D.假设a

17、2bc2，即假设AC2BC2AB2二AB AB=ABAD BD =ABADAB * BD可知 AC $ =AB * AD,或者 BC $ =AB * BD.即 AD : AC丰AC: AB ,或者 BD : BCMBC:AB.在AADC 和AACB 中, /A =/A,.若 AD : AC 工 AC : AB，贝 U/ ADCMZACB.在ACDB 和AACB 中,Z B=Z B,若 BD : BCMBC: AB，贝 UZ CDBMZACB.又ZACB = 90o,ZADCM90o,ZCDBM90o.这与作法 CD 丄 AB 矛盾.所以，AC a2+b2=c2SABC = S AOB SB O

18、C S A OC-2r c c r=2=4 r2rc =4SABC,4 r2rc 二 2ab ,a2b22ab二2ab c2,【证法 14】（利用反证法证明）如图，在 Rt ABC 中，设直角边又r21cr21 ,ar br2rca2b2=c2AC、BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的a b 2ab = 4 r rc cc2，-AB2，则由-BC J AB2的假设不能成立.abb2ab【证法 15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c.作边长是 a+b 的正 方形 ABCD .把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD2 2 2的面积为a b=a b 2ab;把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个212(a+b)=4H-ab+c22=2ab+c2./ ADC = 90 o.作 AB / DC, CB / DA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形.部分，则正方形 ABCD 的面积为a2b22ab = 2ab c2a2b2二c2【证法 16】(陈杰证明)设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(ba)，斜边的长为 分别为 a、b 的正方形(ba),把它们拼成如图所示形状，使 条直线上.用