课时分层作业23 平面的法向量与平面的向量表示

1、.课时分层作业二十三平面的法向量与平面的向量表示建议用时：45分钟根底达标练1设平面的法向量为1，2,2，平面的法向量为2，4，假设，那么等于A2 B4C2 D4D，1，2,2m2，4，4.2假设平面，的法向量分别为a1,2,4，bx，1，2，并且，那么x的值为A10 B10 C. DB因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以ab1,2,4x，1，20，即x280，解得x10.32,2,1，4,5,3，那么平面ABC的一个单位法向量可表示为Aa1,2，2BaCaDaC设平面的法向量为ax，y，z，那么有，令z1，得y1，x，a故平面ABC的一个单位法向量为a.43,1,2，平面的一个法向量为n2

2、，2,4，点A不在平面内，那么直线AB与平面的位置关系为 【导学号：33242291】AABBABCAB与相交但不垂直DABD因为n2321420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，应选D.5如图3215所示，在三棱锥PABC中，PABC，PBAC，点G是P在平面ABC内的射影，那么G是ABC的图3215A内心B外心C垂心D重心C连接AG，BG图略，那么AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影因为PABC，所以由三垂线定理的逆定理知AGBC，同理，BGAC，所以G是ABC的垂心应选C.6l，且l的方向量为2，8,1，平面的法向量为1，y,2，那么y_.l，2，8,

3、11，y,20，而218y20，y.7假设A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量ax，y，z，那么xyz_. 【导学号：33242292】234由题意，知，.由于a为平面的法向量，所以a0，a0，即，所以，所以xyzyy2348点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如2，1，4，4,2,0，1,2，1对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的选项是_填序号1,2，12，1，41221140，APAB，即正确1,2，14,2,01422100.APAD，即正确又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一个法向量，正确不正确9.如图3216所示，四棱锥PAB

4、CD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.求证：PABD.图3216证明如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.因为PBPC，所以POBC.又平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，所以PO平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中，由于ABBC2CD，易知RtABORtBCD，所以BEOOABDBADBCDBA90，即AOBD.由三垂线定理，得PABD.10正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点1求证：A1EBD；2假设平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置【导学号：332

5、42293】解以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为a，那么D0,0,0，Aa,0,0，Ba，a,0，C0，a,0，A1a,0，a，C10，a，a设E0，a，e0ea1a，a，ea，a，a,0，a2a2ea00，即A1EBD.2设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1x1，y1，z1，n2x2，y2，z2a，a,0，a,0，a，0，a，e即取x1x21，得n11，1，1，n2.由平面A1BD平面EBD得n1n2.n1n220，即e.当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.才能提升练1A1,0,0、B0,1,0、C0,0,1

6、，那么平面ABC的一个单位法向量是 A.BC.DD1,1,0，1,0,1设平面ABC的一个法向量为nx，y，z令x1，那么y1，z1，n1,1,1，单位法向量为.2平面内有一点M1，1,2，平面的一个法向量为n6，3,6，那么以下点中，在平面内的是 【导学号：33242294】AP2,3,3BP2,0,1CP4,4,0DP3，4,4A设平面内一点px，y，z，那么x1，y1，z2n6，3,6是平面的法向量，n，n6x13y16z26x3y6z21，由n0得6x3y6z210，2xy2z7.把各选项的坐标代入上式可知A选项合适3如图3217所示，PO平面ABC，且O为ABC的垂心，那么AB与PC

7、的关系是_图3217垂直O为ABC的垂心，COAB.又OC为PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理知ABPC.4设u，v分别是平面，的法向量，u2,2,5，当v3，2,2时，与的位置关系为_；当v4，4，10时，与的位置关系为_u，v分别为平面，的法向量且u2,2,5，当v3，2,2时，uv64100，uv，即，当v4，4，10时，v2，uv，即.5如图3218所示，在三棱锥PABC中，ABAC，点D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上BC8，PO4，AO3，OD2.图32181证明：APBC；2假设点M是线段AP上一点，且AM3，试证明平面AMC平面BMC. 【导学号：33242295】证明建立如下图的空间直角坐标系，那么O0,0,0，A0，3,0，B4,2,0，C4,2,0，P0,0,4，10,3,4，8,0,0，所以0,3,48,0,00，所以，即APBC.2由1知|AP|