课时分层作业24 直线与平面的夹角

1、.课时分层作业二十四直线与平面的夹角建议用时：45分钟根底达标练1如图3225所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是图3225AC1BB1BC1BDCC1BD1DC1BOD由线面垂直的断定定理，得C1O平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，应选D.2PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60，那么PC与平面PAB所成角的余弦值为【导学号：33242301】A.BC.DC设PC与平面PAB所成的角为，那么cos 60cos cos 30，得cos .3. 正四棱锥SABCD的

2、侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，那么AE、SD所成的角的余弦值为A. BC. DC令正四棱锥的棱长为2，建立如下图坐标系，那么A1，1,0，D1，1,0，S0,0，E，cos，.AE、SD所成的角的余弦值为.4假如APBBPCCPA60，那么PA与平面PBC所成角的余弦值为A.B C.DD如图，设A在平面BPC内的射影为O，APBAPC.点O在BPC的角平分线上，OPC30，APO为PA与平面PBC所成的角cosAPCcosAPOcosOPC，即cos 60cosAPOcos 30，cosAPO.5在正三棱柱ABCA1B1C1中，假设ABBB1，那么AB1与C1B所成角的大小为【导学号

3、：33242302】A60B90 C105D75B建立如下图的空间直角坐标系，设BB11，那么A0,0,1，B1，C10，0，B.，10，.即AB1与C1B所成角的大小为90.6等腰RtABC的斜边AB在平面内，假设AC与成30角，那么斜边上的中线CM与平面所成的角为_45作CO，O为垂足，连接AO，MO，那么CAO30，CMO为CM与所成的角在RtAOC中，设CO1，那么AC2.在等腰RtABC中，由AC2得CM.在RtCMO中，sinCMO.CMO45.7如图3226所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是_【导学号：33242302】图322630连接

4、BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长为a.易证BC1平面A1B1CD，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，BOa，sinBA1O，BA1O30.即A1B与平面A1B1CD所成角为30.8在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，那么直线BC与平面PAC所成的角为_30以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设ODSOOAOBOCa，那么Aa,0,0，B0，a,0，Ca,0,0，P，从而2a,0,0，a，a,0设平面PAC的一个法向量为n可求得n0,1,1，那么cos，n.所以

5、，n60.所以直线BC与平面PAC所成的角为906030.9如图3227所示，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，假设平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值图3227解设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图那么D0,0,0，A0,0,2，M1,0,2，N0,1,0，可得1,1，2. 又D0,0,2为平面DCEF的一个法向量，可得cos，.所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cos，|.10如图3228所示，点P在正方体ABCDABC

6、D的对角线BD上，PDA60.图32281求DP与CC所成角的大小；2求DP与平面AADD所成角的大小【导学号：33242303】解如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.那么1,0,0，0,0,1连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设m，m,1m0，由，60，由|cos，可得m.解得m，所以.1因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.2平面AADD的一个法向量是0,1,0因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.才能提升练1正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，那么A1B1与平面A1EF夹角的

7、正弦值为A.BC.DB建立如下图的空间直角坐标系，设棱长为1，那么A11,0,1，E，F，B11,1,10,1,0，设平面A1EF的法向量nx，y，z，那么即令y2，那么n1,2,1，cosn，即线面角的正弦值为.2如图3229所示，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，那么PG与底面ABCD所成的角满足 【导学号：33242304】图3229ABcos Ctan Dsin B建立如下图的空间直角坐标系，那么P0,0,1，A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，所以G，.又平面ABCD的一个法向量为n0,0,1，那么cos，n，所以P

8、G与平面ABCD所成角的余弦值为.3三棱锥SABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_建立如下图的空间直角坐标系，那么S0,0,3，A0,0,0，B，1,0，C0,2,0，1,0，1，3，0,2，3设面SBC的法向量为nx，y，z那么令y3，那么z2，x，n，3,2设AB与平面SBC所成的角为，那么sin .4如图3230所示，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，那么直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_图3230取BC的中点O，连接AO，DO，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，那么A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为nx，y，z，那么所以，取x1，那么y，z1，所以n1，1，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.5如图3231所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上图32311求证：AC平面PDB；2当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 【导学号：33242305】解1证明：四边形ABCD是正方形，A