有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解

1、有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方指第fr定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做哥(power).得产即有：al_|a_'_a=an.在a%,a叫做底数，n叫做指数.r-Z一n个厂廿带底数要点诠释：(1)乘方与哥不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51,指数1通常省略不写

2、.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次哥都是正数；(2)负数的奇次哥是负数，负数的偶次哥是正数；(3)0的任何正整数次哥都是0;(4)任何一个数的偶次哥都是非负数，即a1>0要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定哥的符号，然后再计算哥的绝对值.(2)任何数的偶次哥都是非负数.【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且

3、从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方1.计算：(1)34；-34；(-3)4；-(-3)41(3)32)3；(-2)3【答案与解析】由乘方的定义可得:-3 4=-(1)3 4=3X3X3X3=81;(3X 3X 3X 3) = -81 ;(-3)4 =(3)父(-3)x(-3)x(3) = 81 ;-(-3)4=-(-3) (-3) (-3) (-3)=-81-23(2)二32

4、 3222(3) %)(3) (3)8一；278一;272322(-)=()(-)()=3333(-2)3(-2)(-2)(-2)-8=a2n (n 为正整数)，(a)2n* = a2n中【总结升华】注意(-a)n与an的意义的区别.(-a)2n(n为正整数).举一反三:【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)X(-5)X(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反数，即-53=-(5X5X5).因此，它们的底数不同，表示的意义不同.【变式2】(2015?杭州模拟)若n为正整数，(-1)”(A. 1B.

5、 一 1C. 2n)D.不确定因为n为正整数，2n一定是偶数，所以(-1)2n=1.6类型二、乘方运算的符号法则2.不做运算，判断下列各运算结果的符(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,15I,-(-32)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得:(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;【总结升华】为。时，结果是结果为负.-(-2)2010运算的结果是负.“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0,0;当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数指数不旦米Zr举一反三n

6、nnn“；1【变式】当n为奇数时,1-1-1-144【答案】0类型三、有理数的混合运算在3.计算：(1) -(-3)2+(-2)3+(3)-(-5)(2) 73-6X(-7)2-(-1)10+(-214-24+214)(3)141c31(4) L2(+11-+2-13-仅24-3I2八434)(.0.2)3【答案与解析】(1)-(-3)2+(-2)3+(-3)-(-5)=-9+(-8)+(-3+5)=-9+(-8)+2=-9+(-4)=-13(5) 73-6X(-7)2-(-1)10+(-214-24+214)=(7X72-6X72-1)-(-214+214-24)=72X(7-6)-1+(-

7、24)=(49-1)+(-24)=-21124(3)有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算112211原式二一一-(2-)=一-823383(4)将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算I1-：-21-111-21-13324-42434-0.21545755*(一5)()()241624341 257二24-2412516523139=-6056125=1204040【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提.举一反三:【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型仞题1】【变式】计算:(1)1-i1-0.5X1设一2,3-(2)(3)611(1一+

8、一38-33-2.75)X(-24)+(-1)20113-2(4)一3一一(-0.1)(-0.2)32+1-2-31【答案】(1)原式f5).1-r=1|父(-7)=-7(-716广J64.计算:或原式=(1-1+1x1)(2-9)23，1、(2)原式=-1-X2-6-(4)原式=1+一811r=X(-7)61(-27=-1-X29=-7635¥11、，-)X(-24)-1-832-3+66-9=22-0.001=-1000-25+111+|-8-3|0.04=-1014(_2)2011.22012【答案与解析】逆用分配律可得:(_2)2011 -22012=_22011.22012

9、=22011(一1.2)=122011=22011【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有22n+22n=22n;22n一22n=22n举一反三:【变式1计算：220219218217216_.2423222【答案】原式=219-218-217-216-.-24-23-22-2=218-217-216-.-24-23-22-2=.=22-2=23 747【变式2】计算：(-3)7X(-)74 3,3747347【答案】(-3)7(.)7=(.)(-4)7=14343类型四、探索规律5.(2015?滕州市校级二模)求1+2+22+23+-+22013的值，可令S=1+2+22+23+-+22

10、013,则2s=2+22+23+-+22014,因此2S-S=22014-1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52014=.015一1【答案】14解：设S=1+5+52+53+-+52014,则5s=5+52+53+-+52015,5S-S=(5+52+53+-+52015)-(1+5+52+53+-+52014)=52015-1,戌。15所以，s=2£.4【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+T52014,表示出5s=5+52+53+-+52015,然后相减求出S即可.举一反三：【变式】观察下面三行数：-3,9,-27,81,-243,729,0,12,-24,84,-240,732,-1,3,-9,27,-81,243,(1)第行数按什么规律排列？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.【答案】(1)第行数的规律是：-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,；(