极限的计算与证明方法

1、本科生毕业论文（设计）册 学院 汇华学院 专业 数学与应用数学 班级 2008 级 X 班 学生 XXX 指导教师 XXX 论文编号 河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书编 号： 论文（设计）题目： 极限的计算与证明方法 学 院： 汇华学院 专业： 数学与应用数学 班级： 2008 级 3 班 学生姓名： xxx 学号： 指导教师： xxx 职称： 1、论文（设计）研究目标及主要任务 目标：总结一些常用的极限的计算和证明方法。 主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算、证明方法加以巩固，为后继的数学学习奠定基础。同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。2、论文（设计）的主要内容 主要内

2、容：极限的常见的计算和证明方法，即利用函数的定义求极限、利用两个准则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值定理求极限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求极限、利用级数收敛的必要条件求极限等。3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。 研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算与证明方法进行搜集归纳，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、

3、掌握及应用；最后作出总结。4、主要参考文献1华东师范大学数学系编,数学分析（第三版）M，高等教育出版社，2001 年。2大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学M，中国水利水电出版社,2004 年。3钱吉林等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）M，湖北长江出版集团，2009 年。5、计划进度阶段起止日期1毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题 2011.11.012012.12.022进行毕业论文的初稿写作 2012.12.032012.02.013进行毕业论文的二稿写作 2012.02.022012.03.244进一步修改论文，并最终定稿 2012.0

4、3.252012.05.095论文答辩 2012.05.10指 导 教 师： 年 月 日教研室主任： 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 汇华 学院 数学与应用数学 专业 2012 届学生姓名xxx论文（设计）题目极限的计算与证明方法指导教师xxx专业职称所属教研室研究方向课题论证：（见附页）方案设计：研究对象：极限的计算及证明方法。研究问题：极限常见的求法和证明方法的总结归纳。 采用方法：经验总结法、比较研究法、文献资料法等。内容安排：本文分为四个部分：绪论、极限的分类及定义、极限的计算与证明方法及结 束语。第一部分主要介绍极限在数学分析中的作用，引出主题；第二部分简 要

5、介绍数学分析中极限的分类和定义；第三部分进入正文部分，归纳总结了 十五种极限的常见求法及证明方法，并辅以相应的例题；第四部分是对全文 进行的总结性段落，使文章首尾呼应，内容更为完整。预期目标：掌握求极 限的方法，并且能够在不同的题目中应用想适应的方法，更好地完成极限的 求解及证明工作。同时通过对极限求法的讨论，加强应用极限解题的能力， 为日后相关学习奠定坚实基础。进度计划： 2011.11.012012.12.02 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题； 2012.12.032012.02.01 进行毕业论文的初稿写作； 2012.02.022012.03.24 进行毕业论文的

6、二稿写作； 2012.03.252012.05.09 进一步修改论文，并最终定稿； 2012.05.10 论文答辩。指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日毕业论文课题论证（附）数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，在初等数学这种静态的数量关系的分析到数学分析这种动态数量关系的研究这一发展过程中，研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应用而生。极限作为数学分析的理论基础和基本组成部分，作为区别初等数学的重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的角色，贯穿于整个数学分析学习的过

7、程中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上，可见极限在数学分析的学习过程中起到了十分重要的作用。极限的产生和发展可谓是曲折坎坷的，极限理论的建立不仅消除了微积分长期以来带有的神秘性，也为微积分奠定了理论基础，加速了微积分的发展，使微积分能够更好的更深入的解决更多的实际问题，成为生产和科学技术中有力的工具，而且在思想上和方法上深刻的影响和促进了近代数学的发展。 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，研究数学分析中函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，由此可见极限的重要性。极限理论又是数学分析中的基本概念，对极限理论和极限概念

8、理解和掌握的好坏将直接影响到相关课程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一变化过程中的变化趋势，是从有限到无限、近似到精确、量变到质变过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难。 而就是因为其艰难的发展路程，才更显现了它在数学研究过程中的重要性。要深入数学领域，就必须培养并掌握极限的思想及相关概念，更重要的就是要能够熟练地使用极限的方法解决数学中的很多难题。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生较为头痛的问题。又因为极限运算作为学习数分过程中的最基本的运算，所以能够很好地掌握一些常用的求极限的方法时十分必要的。求极限不仅要

9、准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。而对于一些比较复杂的极限，如果直接按照极限的定义来求就会显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。为了极限的发展，使之得到更广泛的应用，有很多学者专家对求极限的方法也进行过深入的研究。作为一个数学专业的学生，很有必要对极限的求法和证明方法进行了解和熟悉。相信这个课题会让我更多的人了解数学这门学科，也对形成数学思想起到促进作用。本文就是针对极限的计算和证明方法展开的。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述作为一种科学的思想方法，极限思想同样是社会实践的产物。极限的起源与发展一直也是学者们较为关注的话题。早在春秋战

10、国时期，哲学名著庄子记载着惠施的一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就已经反映了古人对极限问题有了一定的思考。而我国古代数学家刘徽和祖冲之的“割圆术”已经能够利用极限论的初步思想来解决求圆周率的实际问题了。同时，古希腊人的“穷竭法”也已经将极限思想蕴涵其中来解决问题。但是，由于希腊人对“无限”有着一种恐惧心理，于是他们便借助了一种间接的方法归谬法来完成有关证明。以上这些都是极限思想在其萌芽阶段的表现，尽管这一阶段的极限概念不明确，但是却能够为后人继续探索和发展极限思想提供一个很好的平台。到了 16、17 世纪，极限思想进入了发展阶段，荷兰数学家斯泰文改进了“穷竭法” ，并且大胆地运用了极限

11、的思想来思考问题，从而将极限方法发展成为了一个实用的概念。之后，牛顿和莱布尼兹以无穷小的概念为基础建立了微积分，但由于他们在研究过程中遇到了逻辑困难，因此也不同程度地接受了极限思想。 ，此时，真正意义上的极限才得以建立。然而牛顿对于极限的理解是建立在几何直观上的，故而无法给出极限的严格表述，这与数学上的追求严密的原则相抵触。到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔以及依里埃等人先后给出明确态度，指明极限必须是微积分的基础概念，并且都作出了各自的极限的定义。直到 19 世纪，法国数学家柯西在前人的研究基础上才将极限概念比较完整地阐述出来。为了排除极限概念中依旧存在的几何直观的痕迹，德国数学家维尔斯特拉

12、斯对极限又作出了静态的定义，也给微积分奠定了更为严格的理论基础。这个严格的定义也被看作是科学论证的基础，一直沿用至今。到了近代，在数学的许多分支中，很多重要的学术性概念及理论都是以极限思想为理论基础来进行延拓和深化的。运用极限思想来解决问题也已经成为了学习数学分析乃至整个高等数学过程中一件必不可少的工具，数学分析之所以能够很好地解决初等数学无法解决的问题，也正是源于它应用了极限的思想方法。因此，能够很好的掌握极限的计算及证明方法也成为学习数学分析的必要条件。近年，许多的专家、学者对极限的热衷程度逐渐提升，他们在深入探究极限的概念及理论意义的同时也对极限的计算和证明方法有不同程度的的研究，并且取

13、得了一定的突破。比如说利用中值定理求极限、利用无穷小量求极限等方法便是较为突出的研究成果。这对于后人学习数学分析甚至是深入数学领域都有着重大的意义。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的Mathematical Analysis I第 111 页到 114 页。3.2.2 函数极限的性质函数极限的性质 在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外，由上面命题 1 的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列极限的性

14、质的形成而产生的，例如：极限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等式性等。 读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质： aUBE1，即点集E的去心邻域是非空的； aUaUaUBEEE 2 aUaUaUEEE ，也就是说，任意去心邻域的交集都包含某一个去心邻域。这一结论给出了我们函数极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处的讨论不与上述的 3.1 节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和概念。a. 函数极限的一般性质函数极限的一般性质 首先，我们给出以下定义： 定义定义 4.4. 如前所述，假设函数REf:仅是一个常值函

15、数。取一个函数REf:，当Exax ,时，如果点a是去心邻域 aUE上的一个常值，则a被称作函数f上最终恒定的一个点，即a为集合E的一个极限点。 定义定义 5.5. 函数REf:是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一个数RC，对于所有的Ex，都使得,)(,)(CxfCxf或者)(xfC 成立。如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当Exax ,时，这个函数就被称为最终有界、最终有上界或者有下界。定理定理 1. a. 当Exax时，函数REf:是一个常数A ExAxfax,)(lim。 b. 存在ExAxfax,)(lim1 当Exax时，函数REf:是一个有界常数。 c. 当)()

16、(lim)(lim21ExAxfAxfaxax且时 21AA 。证明 结论 a 中一个最终的常函数有一个极限，结论 b 中一个函数有的极限存在，说明这个函数有界，这与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。假设21AA 。选取两个互不相交的邻域 1AV和 2AV，即 21AVAV。由极限的定义我们有 11)()(limAVaUfaUExAxfEEax, 2 2)()(limAVaUfaUExAxfEEax。选取一个a（E的一个极限点）的一个去心邻域 aUE，使得 aUaUaUEEE 。又 aUE，再取 aUxE。然后就有 21)(AVAVxf，由于邻域 1AV和 2AV互不相交，故 2

17、1)(AVAVxf不成立。 b.b.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 定义定义 6.6. 如果两个数值函数REf:和REg:有一个共同的定义域E，它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义： ,xgxfxgf ,xgxfxgf ,xgxfxgf此处 Exxg,0。 定理定理 2 2. 取函数REf:和函数REg:，使得他们有一个共同的定义域。如果ExBxgAxfaxax,)(lim)(lim且，那么a. ExBAxgfax,)(lim；b. ExBAxgfax,)(lim；c. 00,limxgBExBAgfax且，对于。在 3.2.2 节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题 1

18、 中给出的数列极限相应定理的直接结果。这个定理也可以通过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小集合E中点a的去心邻域的范围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同先前涉及到的陈述“从自然数 N 中取一个数 n” 。此处为读者自行证明。当Exax时，函数REf:被称作是无穷的，如果函数的极限为零。 命题命题 2.2. a.当Exax时,如果RE :和RE :趋于无穷，那么它们的和也趋于无穷。 b.当Exax时,如果RE :和RE :是无穷函数，那么它们的积 也是无穷的。 c.当Exax时,如果RE :是无穷的，且RE :是有界的，那么它们的积是无穷的。 证明 a.我们将给出证明如下： Ex

19、xExxxaxaxax,0lim,0)(lim0)(lim且。对于任意0，利用极限的定义，有 2)(,0)(limxaUxaUExxEEax， 2)(,0)(lim xaUxaUExxEEax。那么对于去心邻域 aUaUaUEEE 我们可以得到 xxxxxaUxE，这样，我们就证明了 0limxax。 b.这个结论是结论 c 的特殊情形，因为每一个极限存在的函数都有界。 c.给出证明如下 MxaUxaURMxEEax,0)(lim且 Exxxax, 0lim。对于任意0，利用极限的定义，有 MxaUxaUExxEEax)(,0)(lim。那么对于去心邻域 aUaUaUEEE 可以得到 MMxx

20、xxxaUxE 。这样，我们就证明了 Exxxax, 0lim。 英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used. Many of them are analogous to the properties of the limit of a sequence that we have already established, and for that r

21、eason are essentially already known to us. Moreover, by Proposition 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passag

22、e to the limit in inequalities.We call the readers attention to the fact that, in order to establish the properties of the limit of a function, we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set: aUBE1,that is, the deleted neighborhood of the point in E is nonempty; aUaUa

23、UBEEE 2 aUaUaUEEE ,That is, the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood. This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only for functions defined on sets of numbers

24、. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section.a. General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions.Definition 4. As before, a function REf:

25、assuming only one value is called constant. A function REf: is called ultimately constant as axE if it is constant in some deleted neighborhood aUE, where a is a limit point of E.Definition 5. A function REf: is bounded, bounded above, or bounded below respectively if there is a number RCsuch that ,

26、)(,)(CxfCxfor )(xfC for all Ex. If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood aUE, the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above, or ultimately bounded below as axE respectively.Theorem 1. a)(REf: is ultimately the constant Aas axE)(AxfaxE)(lim).b)

27、()(limxfaxE)(REf: is ultimately bounded as axE).c)(1)(limAxfaxE)(2)(limAxfaxE)(21AA ).Proof.The assertion a) that an ultimately constant function has a limit, and assertion b) that a function having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to

28、the proof of the uniqueness of the limit.Suppose 21AA . Choose neighborhoods 1AV and 2AV having no points in common, that is, 21AVAV.By definition of a limit, we have 11)(limAVaUfaUAxfEEaxE, 2 2)(limAVaUfaUAxfEEaxE.We now take a deleted neighborhood aUE of a (which is a limit point of E) such that a

29、UaUaUEEE . Since aUE, we take aUxE. We then have 21)(AVAVxf, which is impossible since the neighborhoods 1AV and 2AV have no points in common. b. Passage to the Limit and Arithmetic OperationsDefinition 6. If two numerical-valued functions REf: and REg: have a common domain of definition E, their su

30、m, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas: ,:xgxfxgf ,:xgxfxgf ,:xgxfxgfif 0 xgforEx.Theorem 2. LetREf: and REg: be two functions with a common domain of definition.If AxfaxE)(lim and BxgaxE)(lim, thena) BAxgfaxElim;b) BAxgfaxElim;c)BAg

31、faxElim, if 0B and 0)(xg for Ex.As already noted at the beginning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences, given Proposition 1. The theorem can also be obtainedby repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of t

32、he limit of a sequence.The changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood aUE of a in E, where previously we had referred to statements holding from some Nn on. We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest sp

33、ecial case when 0 BA.Of course assertion c) will then be excluded from consideration.A function REf: is said to be infinitesimal as axE if 0)(limxfaxE.Proposition 2. a) If RE : and RE : are infinitesimal functions as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.b)If RE : and RE : are infini

34、tesimal functions as axE, then their product RE : is also infinitesimal as axE.c)If RE : is infinitesimal as axE and RE : is ultimately bounded as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.Proof. a) We shall verify that.Let 0 be given. By definiti 0lim0lim0limxxxaxEaxEaxEon of the limit,

35、 we have 20limxaUxaUxEEaxE, 20lim xaUxaUxEEaxE.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE we obtain xxxxxaUxE,That is, we have verified that 0limxaxE.b)This assertion is a special case of assertion c), since every function that has a limit is ultimately bounded.c)We shall verify that MxaUxaURMxEEax

36、E0lim)0)()(lim(xxaxELet 0 be given.By definition of limit we have MxaUxaUxEEaxE0lim.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE , we obtain MMxxxxxaUxE .Thus we have verified that 0limxxaxE. 本科生毕业论文设计题目 极限的计算与证明方法 作者姓名 X X X 指导教师 X X X 所在学院 汇华学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 2012 届 X 班 完成日期 2012 年 5 月 8 日目目 录

37、录中文摘要、关键词 .III1.绪论 .12.极限的分类及定义 .1 2.1 数列极限及其定义 .1 2.2 函数极限及其定义 .23.极限的计算与证明方法 .2 3.1 利用极限的定义求极限.2 3.2 利用三个准则求极限.3 3.3 利用柯西收敛准则求极限 .5 3.4 利用极限的四则运算性质求极限.6 3.5 利用两个重要极限公式求极限.7 3.6 利用单侧极限求极限.8 3.7 利用无穷小量的性质求极限 .8 3.8 利用等价无穷小量代换求极限 .9 3.9 利用函数的连续性求极限 .9 3.10 利用导数的性质求极限 .11 3.11 利用中值定理求极限 .12 3.12 洛必达法则

38、求极限 .14 3.13 利用泰勒展开式求极限 .17 3.14 利用定积分求和式的极限 .18 3.15 利用级数收敛的必要条件求极限 .194.结束语 .20参考文献 .20英文摘要、关键词 .IV极限的计算与证明方法河北师范大学汇华学院数学与应用数学专业指导教师 XXX作者 XXX摘要 本文主要归纳了数学分析中求极限的十五种方法：（1）利用函数的定义求极限、 （2）利用三个准则求极限、 （3）利用柯西收敛准则求极限、 （4）利用极限的四则运算性质求极限、 （5）利用两个重要极限公式求极限、 （6）利用单侧极限求极限、（7）利用无穷小量的性质求极限、 （8）利用等价无穷小量代换求极限、 （

39、9）利用函数的连续性求极限、 （10）利用导数的定义求极限、 （11）利用中值定理求极限、 （12）利用定积分求和式的极限、 （13）利用洛必达法则求极限、 （14）利用泰勒展开式求极限、（15）利用级数收敛的必要条件求极限。关键词 极限，极限的分类，极限的计算方法 1.绪论数学分析就是将函数作为研究对象，将极限理论及其方法作为基本方法，并且把微积分学作为其主要内容的一门学科。而极限理论及其方法在这门课程中又占有着极其重要的地位。极限思想是微积分中的最基本的一种思想，数学分析中的大量的深层次理论及相关应用都是极限的不断延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如导数、函数的连续性以及定积分等等都需

40、要借助极限来定义。假若有人要问：“数学分析到底是一门什么样的学科？”那么我们可以概括地说：“数学分析便是将极限思想作为基本工具对函数进行研究的的一门学科” 。 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。极限一直是数学分析中的一个重点内容，极限主要可分为数列极限和函数极限两大类，而极限的计算与证明方法又可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们可以知道求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，同时也要注意两个重要极限的运用，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。迫敛性和单调有界准则是很重要的定理，在解题的时候要重点注意运用。泰勒

41、公式、洛必达法则等则是针对某些特殊的情形而言的。极限理论的建立，不仅将长期以来微积分所带有的神秘性消除了，而且在数学思想上和解题方法上深刻的影响并且促进了近代数学的快速发展，成为了生产以及科学技术中的有力工具。所谓的极限思想，就是运用极限概念对一系列问题进行分析并作出进一步的解决的一种数学思想。由此，极限运算也就成为了学习数分过程中的最基本的运算。极限的定义又是高度抽象的，这就使得我们不能完全利用其基本的定义来解决所有有关问题，而又因为极限的运算分布于整个高等数学的始终，所以，对于极限的相关计算方法和证明方法便显得尤为重要。2.极限的分类及定义2.1 数列极限及其定义 定义 设 na为数列，a

42、为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当Nn 时有,aan则称数列 na收敛于a，定数a称为数列 na的极限，并记作aannlim,或)(naan,读作“当n趋于无穷大时， na的极限等于a或na趋于a”。注：以上定义常称为数列极限的N定义。2.2 函数极限及其定义定义 设f为定义在, a上的函数，A为定数.若对任给的0，存在正数(M)a,使得当Mx 时有 Axf)(,则称函数f当x趋于时以A为极限，记作Axfx)(lim 或 Axf)( )(x。3.极限的计算与证明方法3.1 利用极限的定义求极限 利用极限的定义求极限是一种最根本的求极限的方法。【例 1】利用极限的定义证明下题：(1)

43、0, 0!limanann; (2)nnn!lim;证 (1)对于任意0，都要找到N，使得当Nn 时， !0!nanann (1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子为n个数a的乘积，分母为n, 2 , 1 的乘积，随着n不断的增大，分子上的因子永远是数a，而分母的因子会越来越大，因此不等式左端随着n的增大，会越来越小，而且有 11nnxnax由于a为一个正常数，故存在着正整数1N，使得11Na则当1Nn 时，naNaxxNn111,并且 naxxNn10由此，若想使(1.1)成立，只需 naxN1 (1.2)成立即可。取12NxaN，则当2,max1NNn 时，式(1.2)成立，即式(1.1

44、)也成立。可得 0limnnx (2)要证nnn!lim，只需对任意0M，可以找到N，使得当Nn 时， 1!nMMnnn (1.3)故知0!limnMn，即对于1，是能够找到N，使得当Nn 时，式(1.3)成立。 【例 2】 证明01limnn，这里设a是一个正数。 证 由于nn101,因此，对于任意的0，只需取111N，则当Nn 时，便有Nn11 即 01n这就证明了01limnn 3.2 利用三个准则求极限3.2.1 迫敛性(夹逼准则) 定义 设收敛数列 na和数列 nb都是以a为极限的，且数列 nc满足：存在正数0N，当0Nn 时有 nnnbca，则数列 nc收敛，且acnnlim。【例

45、 1】 求数列 nn的极限。解 设nnnhna1，此处10nhn，则有如下式 2211nnnhnnhn由上可得 1120nnhn，因此有 12111nhann （1.1）数列121n总是收敛于 1 的，由于对任意给出的0，我们取221N，则当Nn 时便有1121n。于是，不等式(1.1)的左极限和右极限都为 1，故由迫敛性得到1limnnn。 3.2.2 单调有界准则 定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 【例 2】 证明数列 ,222,22,2个根号n，是收敛的，并且求出其极限。证 设222 na，我们可以发现数列 na是递增的。现在应用数学归纳法来证明数列 na有上界。显然有221a

46、。设2na，则有22221nnaa，因此对一切n都有2na，即数列 na有上界。故由以上定理知，数列 na是有极限的，并且可记其为a。又由于 nnaa221，对上式的左右两边取极限可得aa 22，即有 021aa，解得21aa或由保不等式性可知，1a是不可能的，故有 2222limn 。 3.3 利用柯西(Cauchy)收敛准则求极限定理（柯西收敛准则） 数列 na收敛的充要条件是：对任给的0,存在正整数N，使得当Nmn,时有 mnaa以上定理从理论上可以完全地解决数列极限其存在性问题。我们称柯西收敛准则的条件其为柯西条件，它同时反映了这样一个事实：收敛数列各项的值越是到后面，彼此就越是接近，

47、以至于充分后面的任意两项差的绝对值可小于预先所给定的任意小的正数。另外，柯西收敛准则把N定义中的na与a的关系转换成了na与ma的关系，这样的好处在于不需要借助数列以外的数a，仅仅需要根据这个数列本身的特征便能够鉴别其敛散性。【例】 取数列 nx，并且设00 x,nnxx211, 2 , 1 , 0n。证明nnxlim存在，并求出其极限值。证 因为00 x,2121011xx,由数学归纳法我们可知210nx,)2 , 1 , 0(n对于任意的p，有 112121npnnpnxxxx 11111141)2)(2(npnnpnnpnxxxxxx 3332224141npnnpnxxxx 041xx

48、pn 00214141xxxnpn因为02141lim0 xnn所以对于任给的0，存在一个正整数N，使得当Nn 时，对任意的p，有02141xxxnnpn由以上定理可知数列 nx收敛。再设xxnnlim,对等式nnxx211的两边取极限可得xx21，且解得21x。由保不等式性可取 21x 故 21limnnx 。 3.4 利用极限的四则运算性质求极限 定理（四则运算法则） 若 na与 nb为收敛数列，则nnnnnnbababa,也都是收敛数列，且有nnnnnnnbabalimlimlim ，nnnnnnnbabalimlimlim 。特别当nb为常数c时有nnnnnnnnaccacacalim

49、lim,lim)(lim。若再假设0nb及0limnnb，则nnba也是收敛数列，且有nnnnnnnbabalimlimlim 【例 1】 求,lim01110111bnbnbnbanananakkkkmmmmn 其中0, 0,kmbakm。 解 用kn同时乘以到分子分母后，所求的极限式可化为,lim0111101111kkkkkkkmmkmmnnbnbnbbnananana 当0a时，我们有0limnn。那么，当km 时，上式除了分子分母的首项分别为ma和kb外，其余的各项极限都是 0，因此所求的极限就等于mmba；而当km 时，又由于kmn)0(0n，因此所求的极限等于 0。综上可得 。m

50、kmkbabnbnbnbanananammkkkkmmmmn, 0,lim01110111 【例 2】 求下列极限:(1)121lim221xxxx; (2)2321lim4xxx。解 (1) ) 12)(1() 1)(1(lim121lim1221xxxxxxxxx 121lim1xxx 32 (2) )4()4(23212lim2321lim44xxxxxxxx 321)2(2lim4xxx 34 3.5 利用两个重要极限公式求极限3.5.1 极限公式 1sinlim0 xxx 【例 1】求20cos1limxxx。 解 202022sin21limcos1limxxxxxx 21 3.5

51、.2 极限公式exxx11lim 【例 2】 求xxx1021lim 。 解 221210102121lim21limexxxxxxxx 注：在这一类型的习题中，一般是不能直接应用以上公式的，而是需要通过恒等变形做出化简后才可再利用公式进行运算。3.6 利用单侧极限求极限这种方法常常用于求分段函数在分段点处的极限，首先要考虑分段点的左、右极限，若左、右极限都存在并且相等，则该函数在分界点处的极限就存在，否则极限不存在。【例】 已知函数0,1sin,0,12)(xxxxxxf，求其在点0处的左右极限。解 在0 x的右极限为 11sinlim0 xxx 在0 x的左极限为 11sinlim0 xx

52、x 因此 1)(lim)(lim00 xfxfxx 故有 1)(lim0 xfx 3.7 利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质 无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。即如果0)(lim0 xfxx,g(x)在某区间),(),(0000 xxxx有界，那么 0)()(lim0 xgxfxx 这种方法可以解决一个函数不存在但是有界，和另一个极限为零的函数的极限的乘积的问题。 【例】 求xxx1sinlim20 。解 因为当0 x时，2x是无穷小量，x1sin为有界量， 所以由以上性质可得 01sinlim20 xxx 3.8 利用等价无穷小量代换求极限定义（等价无穷小量） 若1)()(lim0 x

53、gxfxx，则称g与f是当0 xx 时的等价无穷小量。记作 )()(0 xxxgxf。 【例】 利用等价无穷小量代换求以下极限30sinsintanlimxxxx。解 因为)cos1 (tansinsintanxxxxx,从而 ),0(sin),0(2cos1),0(sin332xxxxxxxxx故有 21cos1limsinsintanlim320302xxxxxxxxx 注：在应用等价无穷小量的代换求极限时，我们应注意，只有对所求的极限式中相乘或者相除的因式，才能够应用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减的部分，则不能够随便替换。3.9 利用函数的连续性求极限 定理 若函数f在点0

54、 x连续，g在点0u连续，)(00 xfu ，则复合函数gf 在点0 x连续。 注：根据连续性定义，上述定理的结论又可表为 )()(lim()(lim000 xfgxfgxfgxxxx。 (1.1) 【例 1】 求)1sin(lim21xx。解 我们将)1sin(2x看作是函数21)(sin)(xxfuug与的复合。由(1.1)式得 00sin)1 (limsin()1sin(lim2121xxxx 注：如果复合函数gf 的内函数f在当0 xx 时其极限为a，而)(0 xfa 或是函数f在点0 x处无定义(即0 x为f的可去间断点)，又知外函数g在au 连续，那么我们仍旧可以应用上述的定理来求

55、解复合函数的极限，即有 )(lim()(lim00 xfgxfgxxxx (1.2)(1.2)式不仅对0 xx 这种类型的极限成立，而且对于0,xxxx或等类型的极限也是成立的。 【例 2】 求极限 (1)xxxsin2lim0 ; (2)xxxsin2lim 。 解 (1); 112sinlim2sin2lim00 xxxxxx(2)202sinlim2sin2limxxxxxx 。 【例 3】 函数f在区间, 0上是一致连续的，又对于 1 , 0 x,0)(limnxfn(n为正整数)。证明0)(limxfx。证 函数f在区间, 0上一致连续，指的是对于任意给出的0，都存在0，0,21xx

56、，且当21xx时， )()(21xfxf (1.1)我们需要证明的是，存在M，当Mx 时， Cxf)( (1.2)C可以是某一个常数。 又由题设知对于任意的 1 , 0 x，都有0)(limnxfn，这表明了： 存在),(xN使得当),(xNn 时， )(nxf (1.3) 而问题是),(xN是依赖于x的。尽管当 1 , 0 x时，Nn，而nx又能取遍, 0，但不同的x又存在不同的),(xN，还不能找到公共的M，使不等式(1.2)成立。不过式(1.1)表明，只要1x与2x的距离小于，式(1.1)便成立。可将 1 , 0等分成0,21nxxx使得1kkxx,则在分别存在), 2 , 1(.,02

57、10nkNnNNNkn时， )(nxfk (4)取,max021nNNNN，则当Nn 时，式(1.4)对于0, 2 , 1nk成立。如此，对任意x1, 0Nx时，存在1 , 0r使rxx及,01000kkkxrxrxk)()()()(0kxxfrxfrxfxf 2)(0kxxf (1.5)整理上述便可得0)(limxfx。 3.10 利用导数的定义求极限 导数的定义 设函数)(xfy 在点0 x的某邻域内有定义，若极限 00)()(lim0 xxxfxfxx (1.1)存在，则称函数f在点0 x处可导，并称该极限为函数f在点0 x处的导数，记作)(0 xf。 令)()(,000 xfxxfyx

58、xx，则(1)式可改写为 )()()(limlim00000 xfxxfxxfxyxx (1.2) 在这种方法的运用过程中，首先要选好f，然后把所求极限表示成f在定点0 x的导数。 【例】 求 xxx2cot2lim2 。解 取xxf2tan)(,则 2)22tan(2tanlim122tanlim12cot2lim222 xxxxxxxxx 222)2sec2(12122)(limxxxfxfxf21 3.11 利用中值定理求极限3.11.1 微分中值定理：包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。 1、罗尔(Rolle)定理 若函数f满足如下条件： (1)f在闭区间ba,上连续; (

59、2)f在开区间ba,内可导; (3)()(bfaf,则在ba,内至少存在一点,使得 0)(f 。 (1.1) 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数f满足如下条件: (1)f在闭区间ba,上连续; (2)f在开区间ba,内可导,则在ba,内至少存在一点,使得 abafbff)()()( 。 (1.2)显然，特别当)()(bfaf时，本定理得结论(1.2)即为罗尔定理得结论(1.1)，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。【例 1】 求 30sin)sin(sinlimxxxx。 解 xxxxxxx)sin(cos)(sinsin)sin(sin ) 10( 30sin)sin(

60、sinlimxxxx 30)sin(cos)(sinlimxxxxxxx 2031coslim0cosxxx 61 3.11.2 积分中值定理：包括积分第一中值定理、积分第二中值定理。 1、积分第一中值定理 设函数f在闭区间ba,上连续，则至少存在一点ba,，使得)()(abfdxxfab 2、积分第二中值定理 设函数f在ba,上可积。 (1)若函数g在闭区间ba,上减，且0)(xg，则存在ba,，使得dxxfaagdxxgxfab)()()()(; (2)若函数g在闭区间ba,上增，且0)(xg，则存在ba,，使得dxxfbbgdxxgxfab)()()()(【例 2】 求xdxnnsin0