有理数的乘方及混合运算

1、【总结升华】 乘方时，当底数是分数、负数时,2.计算：-43(3)(-3)4(2X3)2(6)335(1)(一4)3二(一4) (-4) (-4) =-64.?1.6有理数的乘方及混合运算【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做哥(power).即有：aLia',.a=an.在an中，a叫做n底数，n叫做指数.要点诠释：(1)乘方与哥不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，哥是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同

2、的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次哥都是正数；(2)负数的奇次哥是负数，负数的偶次哥是正数；(3)0的任何正整数次哥都是0;(4)任何一个数的偶次哥都是非负数，即川之0.要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定哥的符号，然后再计算塞的绝对值.(2)任何数的偶次哥都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括

3、号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数乘方1.把下列各式写成哥的形式：.八2222(1)I+k+k+1父I+I>5555(2)(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X5X5;指数(3)xxxxxxyy.今【答案与解析】4(1)科小(2)(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X5X5=(-3.

4、7)4X52;62(3) xxxxxxyy=xy应加上括号(1)(T)3(4) -342(8)2X3【答案与解析】(2)43=-4父4父4=-64.?(3)4_(-3)=(-3)(-3)(-3)(-3)=81.(4)-34=-3333=-81.?(5)15J27-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果(6)33_5275，为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；E|运3(2黑3=62=36;(8)2X32=29=18算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时

5、，结果为正；当底数是0时，结果是0;当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负.【总结升华】(y)n与-an不同，举一反三:(-a)=、(aJ)(al_)a,【变式】(南充)计算：(-1)2009的结果是A.-lB.1C.-2009(D.).2009A有理数的混合运算n-a口,去小a的n次郃的相-Vn个【答案】类型三、4.计算反数.举一反三1-11-10.5X-|”2-(-3)3-算:(1)(-4)43(2)2(3)12-14(4)(-1.5)21><一22-6-3(-3)3【答案】(-4)=256;(1)(-4)4=(-4)X(-4)X(-4)X11

6、2011(13+8-2.75)x(-24)+(-1)-2(2)232X2X2=8;2(3)一54253(-0.1)(-0.2)32+1-2-3|(4)(-1.5)2_=(-1.5)X(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)X(-5)X(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反数，即-53=-(5X5X5).因此，它们的底数不同，表示的意义不同.类型二、乘方的符号法则【答案与解析】(1)法一：517(1-)(-7)(-7)-666法二：1=(1-1-21173)(2一9)(一7)=

7、7X'X'3.不做运算，判断下列各运算结果的符=-1-2-27=-(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,55=(43原1+81=-32-3+66-9=22-4:9 6-（4） 原式1 1=+-0【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提.举一反三：1C【变式1】计算：14（10.5）M2（3）2【答案】原式们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一、抻拉得到两根面条，再把两头捏起.晌说反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n次捏合抻拉得到根面条,要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.

8、第1次第2次第3次【答案】8;32;2n;6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面建普捏合前面条*的257,所以.得到:6第1次：2162;第2次:【变式2】计算:1(-2)4(-4)x|-1222=4;第3次：23=8;；第n次：2n.第3次捏合抻拉得到面条根数：23,即8(A)220036-45.-2(D)22003【解析】逆用-4)4(-2)2003(一2)2004(B)(一2)4007(C)分配律可得：根；第15次得&合抻拉得到2n;25,即32年；笫n次2因为26=64,所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过

9、猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循.举一反三：【变式】（2009肇庆）已知21=2,22=4,23=2003200420032003200345(-2)+(-2)=(-2)1+(-2)=-(-2)=28,2=16,2=32,，观祭上面的规律，试猜【变式】计算:(-4)”(-1',所以答案为：C【总结升华】当几项均为哥的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的哥的形式.举一反三：想22008的末位数字是【答案】6【巩固练习】一、选择题1.下列说法中，正确的个数为（）.对于任何有理数m都有m2>0;3747347【答案】（3）7父（4）7=（4）父

10、（4）7=1类型四、探索规律对于任何有理数m,都有m2=（一m)2;对于任何有理数min（mwn）,都有6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他(mn)2>0；2.一个数的平方等于它本身的数是对于任何有理数成都有m=（数的立方等于它本身的数是m)3.3.3=D.2.下列说法中，正确的是（A.一个数的平方一定大于这个数；数的平方一定是正数；C.一个数的平方一定小于这个数；数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是一个一个)4.C.4.A.A.-23与(-2)3-22与(-2)222.22(-)与丁D.-(Q与553式子一-的意义是54与5商的立方的相反数立方与5的商的相反数C.4反数

11、除54一、D.的立方55.（2010浙江杭州）计算（-1）2+A.-2B.-16.观察下列等式：71=7,C.0-2B.4的立方的相(-1)3=()D.272=49,73=343,74.3-(-3)-32(-2)3225135从而猜想：1+3+5+2005=126.(-21)3解答题1.计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8X(-1)4;(2)(-3)3-2-434-22I13=2401,75=168077100的个位数字是(A.7B.976=117649由此可判断).C.3D.1,c、2(3)(-5广-1-父0.8父(2.25尸7;7.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的

12、一半,绳子的长度为（如此下去，第6次后剩下的(4)'7-+卜181.45父6+3.95父6.9618C.2.已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且|y+3|+（义+定尸，0求D.J米二x的值.二、填空题1.在（-2）4中在-23中，指数是,底数是2,48,-16,32,-64,22-2,-8,4,-20,28,-68,在中底数是,指数是5-1,2,48,-16,32,3.探索规律:观察下面三行数,指数是底数是2 =10032.析(品”4-22 I 1(1)第行第10个数是多少？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行第10个数，计算这三个数的和.【答案与解析】一、

13、选择题1 .【答案】B【解析】错：当m为0时，不满足；对；错：次数为3,互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数.2 .【答案】D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，1111例如：22=4>2;而(万)2=j<；02=0,从而A,C均错；一个数的平方是正数或0,即非负数，所以B错，只有DX.3 .【答案】A【解析】-23=-8,(-2)3=-8.4 .【答案】B43【解析】-一表示4的立方与5的商的相反5数5 .【答案】C【解析】(-1)2=1,(-1)3=-16 .【答案】D【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以7100的个位数字应为1.7 .【答案】

14、C二、填空题1 .【答案】4,-2,3,2,2,2【解析】依据乘方的定义解答2 .【答案】0,1;0,1,-1;143 .【答案】3,-32,42754 .【答案】-27,7225 .【答案】10032【解析】1+3=22,1+3+5=32,，一_21+3+5+7=4,从而猜想：每组数中，右边的哥的底数a与左边的最后一个数n的关系12005、2005二()2-46.【答案】5-9【解(-2；)2=(21)2=33三、解答题(1) 解析】(1)-23+(3-6)2-8X(-1)4=-8+9-8=-7;。122(2) (-3)3-243164十4十一=4+4=0；332(3) (-5)I1-0.8(-2.25)-7l7491彳=-5XXXX二-1；9547(4) I7-518-1.456-3.9569618=14-15+2+6父2.5=1+15=16.2 .【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身，所以x=1,又因为|y+3|+(2x+3z)2=0,所以y+3=0且2x+3z=0.一一2所以y=-3.当x=1时，2x+3z=0,z=3.2把x=1,y=-3,z=-一代入得：325-2(-3)-5x-2yz=3二5-4二13 2-32一一-xy5-1'(-3)-5-d,