参数估计与假设检验练习题精

1、(2)第 5 章 参数估计与假设检验练习题,方差为2，（ XI，X2，Xn）为 X 的一个样nn本，试比较E（1x（Xj.二）2）与E（丄（Xi -X）2）的大小。ni二n 7（前者大于后者 ）2、设随机变量 X 与丫相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY =2，试问：k 取何值时，Z = k （ X2丫2） +丫2是2的无偏估计。（16 / 7）3、设正态总体 X N （,2），参数，2均未知， （Xi，X2，Xn）（ nn42 ）为简单随机样本，试确定 C，使得 夕2=C7 （Xji- Xj）2为2的无偏估计。i412(n -1)4、 假设总体 X 的数学期望为，方差为

2、2，（Xi,X2,.,Xn）为来自总体 X 的一个样本，X、S2分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ,使得X2-CS2为2的无偏估计量.（1 / n ）5、设 Xi，X2是取自总体 N （,2）（ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计131111量XX2，?2= xX2，?3-_X1_X2中哪个最有效。1 设随机变量 X 的数学期望为(2)4422326、设某总体 X 的密度函数为：f（x,旳二3x2门歹0：x v0其它,(Xi,X2，Xn）为该总体的样本,Yn= max （ Xi, X2,，Xn），试比较未知参数的估计量4X3与也Yn哪3n个更有效?时，詈Yn更有效）7、从某正态总体取

3、出容量为 10 的样本，计算出10 Xi=150i A102, Xi= 2720i A求总体期望与方差的矩估计(15 ;47)8 设总体X 具有密度f（x;二）十1 d10 x C，其中参数 0 0,从中抽得一样本X1，X2，Xn,求参数的矩估计量。(1 C / X，其中X丄Xi)ni d9、设总体 X 服从（0,）上的均匀分布，其中 0 是未知参数，（X1, X2，Xn）为简单随机样本，求出的矩估计量?，并判断：？是否为的无偏估计量。1(2 X ,其中X二丄vni三Xi；是）10、设（X1, X2，,Xn）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：不1写f（x;：）=X：X,其中 1且未

4、知。试求该总体未知参数的极大似然估计0其它量。1n(、?MLE=1-nXi)ni二日（1x）2,（o,i）11、设总体 X 的概率密度为f（x；e）=，其中 o 是未知参数,卫x世（0,1）（Xi, X2,Xn）是取自总体 X 的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值 和最大似然估计量。12、 设样本 Xi, X2,Xn为取自分布密度为 f （ X ）的总体，其中S（9 x）r七弘 x 工 0f（x） =（r 已知）， 0,求参数的极大似然估计。0 x 2 ）。(1)?MLE=2.5；(2) 0.4562)nZ In -Xi)i :二I n -Xj) -ni :n、Tn (1 -

5、Xi)i 4n、In(1 _XJ _ni :(14、设（X1,X2，Xn）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：f（x;；）二丄eV2CT（参数未知，且 0）,（ 1）试求未知参数的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。;（2）无偏估计量15、设总体 X 密度函数为:xf(X；：)2Ix2x 0，（参数 0 且未知），取样本 其它（X1，X2，Xn），求总体未知参数的最大似然估计量和矩估计量。2，其中16、设总体 X 具有密度函数f（x;9） = 0 _ x _1其它其中为未知参数，且 0 ），取自总体 X的一组样本（X1, X2,Xn)，求的矩估计量和极大似然估计量。(?ME1n，其中

6、x XinnnZ InXiJi仝17、设随机变量 X f(x)=彳xxe0未知参数 0)，且 EX =。取样本（X1, X2，Xn）,求总体期望的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。1n(?ME=X，其中X二丄VXin y_1 n无偏；?MLE2X2，其中X二丄VXi，n yE?MLE=2EX26，有偏)n扎A 发生了 m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计和极大似然估计均为 m / n19、方差2已知，置信度为 1，为使正态总体均值的置信区间长度不大于 L，样本容量至少为多少?( 不小于 乎u2/2的最小正整数20、设总体 X N (, 102)( 未知)，若要使长度为 4，

7、求样本容量 n 最小应为多少？的置信度为 0.95 的双侧置信区间的(97)21、由总体 X N (2) (2未知)取得一个样本 X1，X2，X9，计算出x = 10,12、 (Xi-10)=2，试求9i生的双侧置信区间(=0.05 )(8.847,11.153 )22、从一批钉子中随机抽取 16 枚，测得平均长度为 2.125 cm，样本标准差为 0.01713 cm， 假设钉子的长度 X 服从方差为 0.012的正态分布，求总体 X 的均值的置信度为 90%的置信区间(计算结果保留小数点后三位有效数字)。(2.121 , 2.129 )23、从一大批电子元件中随机抽取 100 只，测得元件

8、的平均寿命为 1000 小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差=40 小时，求=0.05 时，电子元件平均寿命的置信区间(992.16,1007.84 )18、作 n 次独立重复试验，观察到事件24、设总体 X 容量为 4 的样本为 0.5, 1.25, 0.8, 2.0,已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( 1 ), (1)求总体X 的数学期望；(2)求 的置信度为 95%的置信区间(1)宀；(2)(0.98,0.98)25、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为9 的样本(单位：mm),222测的直径的平均值 x = 31.05, s = 0.25，试求：总

9、体 和的双侧置信区间(=0.05；t0. 025( 8 ) = 2.306, t0. 05( 9 ) = 1.8333, 3 爲5(9) = 3.325，工爲5(9)=16.919 ,/- 0.025(8) = 17.535 ,验时使用的统计量的表达式1n2 2T -，其中XXi,W2二(Xi-X)2W /1 n(n -1)ni二i27、 设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150,从该批产品中抽取容量为25 的一组样本，并测得该项指标的平均值为 1645 (单位)，问是否可以认为这批产品得该项指标值为 1600 (单位)？(= 0.05 ; t/ 2( 24 ) = 2.064

10、 ,0( 1.96 ) = 0.975 , t ( 25 ) = 1.708 )(U -检验法，双侧，接受 H。，可以)28、 某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命 N (,2),如果生产正常时，=2000(小时)，现在抽检 25 个灯泡后，得x = 1832, s = 498,试问生产是否正常(=0.05 )?0.975(8)= 2.18)(0.0285,0.2294)26、设总体 X N (2 2)，参数 ，均未知，(X1, X2，Xn)为简单随机样本,n_W2八区-X)2，若假设i AH0:H1:0。试写出假设检（t -检验法，双侧，接受Ho，正常）29、 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定

11、当标准重量为 250 克，标准差不超过 3 克时，机 器工作正常。每天定时检查机器情况。 现抽取 16 罐，测的平均重量为 252 克，样本标准差为 4 克, 假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（=0.05）？（不正常 ）30、设某次考试的考生成绩服从正态分布， 从中随机地抽取 25 位考生的成绩，算得平均成绩 为 81.5分，标准差为 15 分。试问：在显著水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为 85 分？并写出检验过程。（t -检验法，双侧，接受 H。，可以）31、设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布，第一学期全年级数学考试平均分为80分，第二学期

12、进行了教改，随机抽取 25 名学生的数学成绩，算得平均分为 85 分，标准差为 10 分。 问：教改是否有效果（=0.05）？（t -检验法，右侧，否定 H。，接受 H1，有效果）32、某工厂生产一种金属线，抗拉强度的测量值XN （,2），且知 =105.6 kg /mm2，现经过改进生产了一批新的金属线，从中随机地取10 根作实验，测出抗拉强度值，并计算得均值 x = 106.3 kg / mm2，标准差 s = 0.8 kg / mm2，问这批新线的抗拉强度是否比原来金属 线的抗拉强度高（=0.05）？（t -检验法，右侧，否定 H。，接受 H1，是 ）33、某工厂采用一种新的方法处理废水

13、。对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度X （ N（,2），测量 10 个水样，得到以下数据：x = 17.10，s2= 2.902。而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为 19。问新方法是否比老方法好（=0.05，计算结果保留小数点后一位有效数字即可）？（t -检验法，左侧，否定 Ho，接受 Hi，是 ）34、某厂生产的电子元件寿命服从方差为o2=10 000 （小时2）的正态分布。现采用一种能提高元件效率的新工艺进行生产，并从生产线随机抽取26 只元件测出其寿命的样本方差为2 2 2 2s = 12 000 （小时），试根据显著性水平 =0.05，作如下显著性检验 H0:=0，Hi:202o（附：盂 g（