微分中值定理及其应用12102

1、2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数在区间内单调增大时，由于， 从而,所以它的导数(若存在的话)那么反过来，若时，函数在区间内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理.罗尔定理 若函数在闭区间上连续，在开区间内有导数，且，则至少有一点，使(图2-14)（*） 罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（

2、他的结论不可能是这种形式）.证 因为函数在闭区间上连续，所以它在区间上有最大值和最小值.若，则，结论显然成立；若，则在区间内某点取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有.bmyOacM图2-14x图2-15bmacOMxy【注】下面的结论有时也称为罗尔定理：设函数在闭区间上连续且.若在开区间内有导数，则至少有一点，使.(图2-15)只要作辅助函数，则.根据已证的罗尔定理，就会有点，使.微分中值定理 若函数在闭区间上连续且在开区间内有导数，则至少有一点使 （2-6）特别，当时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.分析

3、 如图2-16，曲线上必有一点，它在该点处切线的斜率等于弦的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).A图2-17CO切线xycB切线ACB图2-16O a c b yx证 考虑函数(曲线与弦的差)（图2-17）显然，函数在闭区间上连续，在开区间内有导数，且(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点，使，即【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明2-9中的泰勒公式）.设待定常数满足条件 （）再作辅助函数, 则函数在区间上满足罗尔定理的条件，因此有中值, 使, 即.把它代入上面的等式（）, 则得 或 等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很

4、多变形，例如，若令则拉格朗日中值公式为 (2-7)它对也成立.又如，若函数在开区间内有导数，则对任意和，都有 (2-8)通常称它为有限增量公式(其中为有限增量)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式其中为无穷小量.请读者注意两者的区别.微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值的存在性，而没有指出它在区间内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态.推论 若函数在区间内处处有导数，且，则常数证 设为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式

5、，对于任意，都有即.对于定义在区间上的函数，若另有定义在区间上的可微函数使 或 则称函数为的一个原函数.函数在区间上的原函数不是唯一的，若函数也是它在区间上的原函数，因为根据上述推论，所以(常数)或.因此，若函数在区间上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数在闭区间上连续且在开区间内处处有导数. 若，则在区间上是增函数； 若，则在区间上是减函数.（在有限个点上有时，结论仍成立）证 设和为区间上任意两点且，根据拉格朗日公式，则有若，则

6、，即，因此是增函数；若，则，即，因此是减函数.例18 设，则于是，方程有根和. 用这两个根把函数的定义域分成三个小区间 (图2-18)：可见，函数在区间和内增大，而在区间内减小.图2-18x3.证不等式的方法情形 设函数和在区间上连续且在内有导数.若满足条件： 和 则.(见图2-19)图2-19yxO aO b图2-20yx情形 设函数和在区间上连续且在内有导数.若满足条件： 和 则.(见图2-20)证 譬如证情形(图2-19).令.根据条件，则；根据条件，.因此，是增函数.于是，所以有.例19 证明： 当时，； 当且时，.因此，当时，有.证 令，则且 属于情形因此，有. 令. 在区间上， 且

7、 属于情形因此，有.其次，在区间上， 且 属于情形因此，有.习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数在区间内必有点，使.2.证明：不论为何值，多项式在区间上不会有两个实根.3.设多项式的系数满足等式证明：多项式在区间内必有实根.提示：考虑函数.4.设函数在有限开区间内有导数，且（有限值）证明：在内至少有一点，使.提示：将函数连续延拓到闭区间上.5.设函数在闭区间上连续，在开区间内可微分，且.证明：对任意实数，必存在点，使提示：令.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c：； ； .答案：；.7.证明：对于，则有使而且满足8.设函数在闭区间上连续且在开区间内有导数.证明

8、：必有点，使 提示：考虑函数9.设函数在点连续且有极限.证明：必有导数且 点的导数等于近旁导数的极限同样，若函数在点左连续右连续且有左极限右极限，则必有左导数右导数且 提示：.【注1】根据这个结论, 函数在含点的区间内没有原函数（用反证法证）。【注2】根据这个结论，导函数没有第一类间断点.事实上，设是区间内的导函数.（反证法）假若点是的第一类间断点，即在点存在左右极限，但可是根据上述结论，则有这与矛盾。10.设函数在闭区间上连续，而在开区间内可微分且.若有正常数，使证明：.提示：设，. 根据拉格朗日中值公式，从而，因此，当时，否则，即.11.证明恒等式：；提示：先证它在开区间内成立；.12.设函数对区间内任意与，都满足证明：常数.13.证明不等式： 当时，； 当时，； .提示：利用拉格朗日公式证明不等式时，首先根据不等式作一个适当的函数，然后再适当地选择一个区间. 根据，得或根据，得或根据，得14.求下列函数的增大区间或减小区间 (合称为单调区间)： ； ； ； ； ； 答案：在内增大，在内减小；在和内减小，在内增大；在内增大；在和内减小，在内增大；在和内减小，在内增大；在和内减小，在和内增大.15.设. 求证：方程只有一个实根.16.证明不等式：； .17.证明：函数在区间内是减小的.并由此推出不等式18.设函数在区间上连续且，而在开区间内可微分.若导数