微分中值定理 习题解答

1、上册P224226习题解答1. 求下列函数的极值点 , 并确定单调区间 :.解 定义域D. , 的符号为 :十一十X可见 ，在区间和内 ，在区间内 ； 在点取极大值 ，在点取极小值 . 解 定义域D.,且使的点不充满任何区间 ,在内. 解 定义域D. 的符号为 : 一 十X可见 ，在区间内 ，在区间内；在点取极小值 . 解 定义域D. 时 , 的符号为 : 一 十 一X可见 ，在区间和内 ，在区间内； 在点取极小值 ，在点取极大值 . 解 定义域D. 的符号为 :十 一 一 十X可见 ，在区间和内 ，在区间和内； 在点取极大值 , 在点取极小值 . 解 定义域D., 的符号为 :十 一 十X可

2、见 ，在区间和内 ， 在区间内；分别在点和取极大值和极小值 . 解 定义域D. 的符号为 :十 一 一 十X可见 ，在区间和内 ，在区间和内；分别在点和取极大值和极小值 . 解 定义域D. 的符号为 : 一 十X可见 ，在区间内 ，在区间内；在点取极小值 . 解 定义域D.是周期为的周期函数 , 因此仅在上讨论 .,在上的符号为 :一 十 一 十 一 十X可见 ，在区间 , 和 内 , 在区间 , 和内. 在点,和取极大值 , 在点和取极小值.( 注意 : 在上述讨论中 , 和并不是区间的端点 . ). 解 定义域D., 且仅在点有. 因此 , 在内.无极值 . 解 定义域D., 驻点为. 的

3、符号为 : 一 十X因此, 在区间内，在区间内；在点取极小值 . 解 定义域D., 在点不可导 . 的符号为 :十一X因此 ,在区间内 , 在区间内. 在点取极大值 . 解 定义域D.易见, 在区间内 , 在区间内.在点取极大值 .解定义域D.易见 , 在区间内 , 在内 . 在点取极大值 .2 求下列函数的拐点，并确定它们的保凸区间：.解 定义域为., . 可见 :在区间内下凸 , 在区间内上凸 ; 仅有一个拐点.解定义域为., . 对于,在区间内, 上凸 ; 在区间 内 ,下凸 . 拐点为.解定义域为., . 在内下凸 , 没有拐点 .解定义域为., . 可见:在区间内 , 上凸 ; 在区

4、间 内 下凸 . 仅有一个拐点.解定义域为. .的符号为:一十一十X因此 , 在区间和内上凸 , 在区间和内下凸 ; 该曲线仅有一个拐点.解定义域为. , 在点连续 , 所以不可导 ; ,.因此函数在区间和内是线性函数 ,也是保凸的( 视为上凸或下凸均可 ). 该曲线没有拐点 .解定义域为. , . 可见 , 在内, 下凸 ; 在内, 上凸 ; 拐点为.解定义域为., . 在其定义域内下凸 . 无拐点 .解定义域为.,.在其定义域内下凸 . 无拐点 .解定义域为. , . 的符号为:一十 一X可见 , 在区间和内,在这两个区间内上凸 ; 在区间内, 下凸 .该函数有两个拐点 : .解定义域为.

5、, .在区间内, 下凸 ; 在区间内, 上凸 . 有一个拐点.解定义域为. 时 , .在其定义域上上凸 ,无拐点 .3. 设函数在点处二阶可导 . 证明 : 在点处取到极大值(极小值)的必要条件是且.证 设函数在点处取到极大值 . 把在点处展开为具Peano型余项的Taylor公式 , 并注意到, 就有.即.上式右端的符号由决定 , 即由决定 . 由于, ，即.同理可证: 在点处取到极小值时 , 且. 证明: 设函数在点处二阶可导 , .则> 时 , 是极大值点 ;> 时 , 是极小值点 ;> 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .证 把在点展开为具Peano型余项的

6、Taylor公式, 注意到, 就有.当且时 , 上式右端的符号由决定 . 于是> 时 ,在点的某邻域内有.可见是函数的一个极大值 ，即是极大值点 。> 时 , 在点的某邻域内有 .可见是函数的一个极小值 ，即是极小值点 。> 时 , 可能不变号，也可能变号，因此，可能是极值点 , 也可能不是极值点 .4. 设, 在点连续且. 讨论函数在点处的极值情况 .解答 注意 和在点的某邻域内保号 , 易见> 为偶数时 , 在邻域内不变号 , 是极值点 . 和分别对应是极小值点和极大值点 .> 为奇数时 , 在邻域内 , 在点的左侧和右侧取不同的符号 ,此时 , 点不是极值点

7、 .5. 设函数在点处有阶连续导数 ,且 ,但. 讨论函数在点处的极值情况 .解答 把函数在点处展开成具Peano型余项的Taylor公式 , 由于 , 就有.在点的某邻域内 , 上式右端不变号或变号 , 完全由其第一项决定 . 于是> 为偶数时 , 在邻域内不变号 , 因此 不变号 , 可见是极值点 .和分别对应是极小值点和极大值点 .> 为奇数时 , 在邻域内 , 在点的左侧和右侧取不同的符号 , 因此 在点的左侧和右侧也取不同的符号 . 此时 , 点不是极值点 .6. 证明曲线有处在同一条直线上的三个拐点 .证, . 的符号为:一十 一 十X可见该曲线确有三个拐点 ,它们的横

8、坐标依次为 , 和.这三个拐点依次为 : , 和.直线的斜率为: ,直线的斜率为:.由于直线的斜率 直线的斜率 , 因此点、和在同一条直线上 ，即曲线的三个拐点在同一条直线上 .7. 如何选择参数, 使得曲线在点为给定的常数)处有拐点 ?解答, . 的符号为 :十一十X可见该曲线上横坐标为的点为拐点 . 令 , 解得.8. 求曲线在其拐点处的切线方程 . 解 , . 拐点为和.在拐点处 , 切线斜率 , 切线为 , 即;在拐点处 , 切线斜率 , 切线为 , 即.10. 求下列数列的最大项:;解 设 . 考虑函数, ., 令, 解得唯一驻点.可见最大项在第14和15两项中 . ,.该数列的最大

9、项是第15项 , . 解设. 考虑函数,.有本练习题第1题第题 , 函数在点取极大值 , 易见该极大值就是在上的最大值 . 因此 ,数列的最大项在第2项和第3项两项中 . , .可见该数列的最大项为 .11. 对作了次测量后获得了个近似值. 现在要取使得达到最小的作为的近似值 , 应如何选取 ?解 设, 问题是求函数的最小值点 .,令, 解得唯一驻点., 为极小值点 . 由于函数在其定义域内仅有一个极值点且为极小值点 , 因此为函数在其定义域内的最小值点 .综上 , 取 , 即取 为 个值 的算术平均值时 , 最小 .12. 证明: 对于给定了体积的圆柱形 , 当它的高与底面直径相等时 , 表

10、面积最小 .解 设定体积为, 并设圆柱形的高为, 底面直径为, 由 , 得. 于是该圆柱形的表面积为, ( )., 令, 解得唯一驻点 . 该问题有最小值 , 因此 时最小 . 此时.可见 , 当它的高与底面直径相等时 , 表面积最小 .13. 在底为高为的三角形中作内接矩形 , 矩形的一条边在三角形的底边上 .求此矩形的最大面积 .解 如右图 . , 矩形的面积 , , 令, 解得 . 该问题有最大值 , 可见矩形的底边长为时 , 此矩形的面积最大 .14. 求内接于椭圆 , 边与椭圆的轴平行的最大矩形 . 解 设矩形中与X轴平行的边长为, 则与Y轴平行的边长为.于是 , 矩形的面积为, .

11、, 解得唯一驻点.该问题有最大值 , 因此为最大值点 . 最大面积为.15. 将一块半径为的圆铁片剪去一个圆心角为的扇形后做成一个漏斗 . 问为何值时漏斗的容积最大 .解 设漏斗( 圆锥形 )的底面半径为 , 由于底面周长为 , 因此 . 漏斗的高为 . 于是漏斗的容积为, .令, 解得在内有唯一驻点.该问题有最大值 , 内仅有一个可疑点 , 必为最大值点 .因此 , 当时 , 漏斗的容积最大 .16. 要做一个容积为的有盖圆柱形容器 , 上、下两个底面的材料价格为每单位面积元 ,侧面的材料价格为每单位面积元 , 问底面直径与高的比例为多少时造价最省 ? 解 设圆柱形容器的底面半径为, 由,

12、有. 于是 ,总造价为, .令, 解得内唯一驻点. 该问题有最小值点 , 内的这一唯一驻点即为最小值点 . 时 ;: : .因此 , 底面直径与高的比例为时 ,该容器的造价最省 .17. 要建造一个变电站M向A、B两地送电（如右图）BM与A之间的电缆每千米元 , 与B之间的电缆每千米元 . 问变电站建在何处能使总投资最小 ? A解如图 . 1.2 1.8设CM. 则总投资L()为CM 3.2 DL(), . L().令L(), 得方程, 即 . 对和的具体值 , 求上述方程在区间内的近似解 ,即得变电站M的位置 .18. 洗过的衣服含有洗衣粉残液 . 现用总量为A的清水漂洗 , 漂洗一遍再甩干

13、后衣服上有的水分 . 若规定漂洗两遍 , 问如何分配两次的用水量 , 才能使漂洗的效果最好 ?解设漂洗前衣服含有的洗衣粉残液中洗衣粉的浓度为. 并设漂洗第一遍时的用水量为, 则充分漂洗后的水中 , 洗衣粉的浓度为. 第一遍漂洗再甩干后衣服上仍有的水分. 再加入剩余的清水 , 即加入的水 , 充分漂洗后的水中 , 洗衣粉的浓度为,., 解得 .该问题有最小值 , 且在内有唯一驻点 , 因此该点就是最小值点 . 即当第一次用水量为时, 经第二遍漂洗再甩干后残留在衣服上的洗衣粉浓度最小 . 当洗衣粉原液的浓度很小 , 或者能充分甩干 , 即很小时 , , 可见 , 此时两次平均用水 , 漂洗效果最好 .19. 某商店月销某商品1万件 , 每次进货需运输等费用100元 , 而每件每日的库存费用为0. 05元 . 若销售量是均匀的 , 且每批销完后立即进下一批货 , 问 : 若规定每月进货两次 , 问每次进货多少才能使总费用最少 ?解 进货费用为元 ;设第一次进货量为 .因为每一进货周期内初始库存量最大 ,周期末库存量为零 ,所以该进货周期内日平均库存量为, 库存时间为