应用微分中值定理的常见证明方法修改后

1、专题研究：应用微分中值定理的常见证明方法一 至少存在一点，使得的命题。 其思路有二：（1） 验证在上满足罗尔中值定理条件(Roll theory),由该定理得证。（2） 验证为的最值点或极值点，用费马定理（Format theory）得到命题证明。例1 设函数在上可导，且有，则在内至少存在一个，使得解：由题设，可知异号，不妨设<0, >0 ,由极限的保号性可得： ，当时有同理：，当时有又因为在上连续，在上必有最小值，由以上可知最小值必在内。设，由费马定理可知 例2 若函数在内具有二阶导数，且，其中 ，证明：在内至少有一点，使得：证：依题意，可对在分别应用罗尔中值定理，故存在 ， 。

2、则在上满足罗尔中值定理条件，所以在内至少有一点使得：。 例3 已知函数在上连续，在内存在，又连结， 两点的直线交曲线于，且，试证：在内至少存在一个,使得： 证：依题意，可对在分别应用拉格朗日中值定理(Lagrange theory) ，则有： 因为三点共线，所以： 故：，所以在上满足罗尔定理 于是存在一个，使得：练习: 设在内连续, 在内可导，且，则至少存在一点，使得：分析：要证结论成立，只需证明： ，做辅助函数，利用罗尔定理。二 至少存在一点，使得的命题。 其证明思路如下： （1）做辅助函数；（2）验证满足罗尔定理条件；（3）由定理结论得出证明。 构造辅助函数的常用方法：（一） 原函数法。（

3、1） 将欲证结论中的换成；（2） 通过恒等变形（一般两边求不定积分）将结论化为以消除导数符号的形式；（3） 利用观察法或积分法求出原函数（一般取积分常数为零）；（4） 移项，使等式一边为0，则另一边为所求辅助函数。 下面以拉格朗日定理中的证法的辅助函数做法为例： 令（两边求不定积分）令 则辅助函数例1 设在上连续，在上可导，且，证明：至少存在一点，使得： 。分析：可作辅助函数：例2 设在上连续，在上可导，且，证明：至少存在一点，使得：。分析：令，则要证结论 所以： 若令 则可作辅助函数：练习：1.在上可导，且，证明：至少存在一点，使得：。分析：令，则要证结论 所以： 若令 则可作辅助函数： 2

4、.在上二阶可导，且，证明：至少存在一点，使得：。 分析本题结论： 令 积分 故可做辅助函数3.（05年数学（一）考研试题18）已知函数在上连续，在内可导，且，证明： （1）存在使得； （2）存在两个不同的点使得. 证：（1）令，则在上连续，且 ，所以存在使得，即（2） 根据拉格朗日中值定理，存在，使得： 从而 4. (练习): 设函数在上连续，在内可导，且，证明： 存在两个不同的点使得. 证：令，则在上连续，且，所以存在使得，即根据拉格朗日中值定理，存在，使得： 从而 思考题：设在上可导，且。证明：对任意正数，必存在内的两个不同的数与，使。证 设，令，则。因且在0, 1上连续，由介值定理存在，

5、使得。现在在0,c上利用拉格朗日中值定理，存在，有 同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有于是 。命题得证。（二） 常数值法（此法适用于常数易分离的命题）（1） 将常数部分令作。（2） 恒等变形，使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式。（3） 分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式。若是，只要把任意端点或改写为，相应的函数值或变为，则端点表达式即为辅助函数。 例1 设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得： 分析：令 故可作辅助函数例2设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得： 分析: 要证原结论 令故可作辅助函数例3设在上存在，试证至少存在一点，使得： 证：

6、令上式左端为，并同乘以，可得： 令也可令： 则： 显然在上满足罗尔定理，于是分别存在使得： 又因为： 由题设及以上证明可知：在上满足罗尔定理，因此至少存在一点使得： 即：=0 所以命题得证。 练习：设在上可导，且，证明：至少存在一点，使得： （令）三 在内至少存在，且满足某种关系的命题。 其思路是：或是用两次拉格朗日中值定理，或是一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理，或是两次柯西中值定理，然后再将所得结果做某种运算。 证明中的辅助函数的做法比较简单，仅将欲证结论中的或看作变量，做某种简单的恒等变形即可看出。 例1 设函数在上连续，在上可导，且，试证：存在，使得 分析： 将看作变量，则可写成：

7、 ，可作辅助函数为 证明：令，由题设条件可知：在上满足拉格朗日中值定理，于是存在使得： 因为： 上式变为： （1） 令，则在上满足拉格朗日中值定理，于是存在使得： （2） 由（1）（2）可知：例2 设函数在上连续，在上可导，且，试证：存在，使得： 分析：， 将看作变量，则可写成： 可作辅助函数 证明：令，则由题设可知：在满足柯西中值定理，于是存在使得： （1）又在满足拉格朗日中值定理，于是存在使得： （2） 由（1）（2）及题设条件，即得：四 微分中值定理的其他应用例1 求极限： 解：对在上用拉格朗日中值定理即可得： 原式例2 积分估值：设在上连续，且 试证 解：若，不等式显然成立。若，存在使得 在及上分别用拉格朗日定理有： 从而 再利用 即得所证。 例3 判定方程根的存在性：设在上可导，且，则方程在内