常微分方程第二章练习与答案

1、习题-判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：解：，则，所以 即 原方程不是恰当方程解：则所以，即原方程为恰当方程则两边积分得：3（a,b和c为常数）解：则所以，即原方程为恰当方程则两边积分得：4解：则因为, 所以，即原方程不为恰当方程解：则所以，即原方程为恰当方程则两边积分得：解： ， 则所以，即原方程为恰当方程则两边积分得：解：则所以，即原方程为恰当方程则两边积分得：解：则所以当，即时，原方程为恰当方程则两边积分得：而当时原方程不是恰当方程解：则所以，即原方程为恰当方程,两边积分得：10其中是连续的可微函数解：则所以，即原方程为恰当方程,两边积分得：,即原方程的解为(其中F为f的原

2、积分)习题-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：（）解：原方程即为：两边积分得：（）解：原方程即为：两边积分得：（）解： 当时原方程为：两边积分得：又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为（）；解：原方程即为：两边积分得：，即（）解：当时原方程即为：两边积分得：=0，即也是方程的解.（）（） 解：当时原方程即为：两边积分得：也是方程的解.（）解原方程即为：两边积分得：，原方程的解为：.2. 解下列微分方程的初值问题（）；解：两边积分得：，即因为,所以.所以原方程满足初值问题的解为：（），；解：原方程即为：，两边积分得：，因为，所以，所以原方程满足初值

3、问题的解为：（），；解：原方程即为：，两边积分得：，因为，所以，所以原方程满足初值问题的解为：即（）;解：原方程即为：, 两边积分得：,因为， 所以，所以原方程满足初值为：（），；解：原方程即为：，两边积分得：，因为，所以，所以原方程满足初值问题的解为： 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图（）解：两边积分得：积分曲线的简图如下：（），（常数）；解：当时，原方程即为：积分得：，即y也是方程的解积分曲线的简图如下：（）；解：当时，原方程即为：积分得：，即也是方程的解积分曲线的简图如下：（），；解：当时，）时，原方程即为，积分得：）时，原方程即为积分得：，即也是方程的解积分曲线的简图如下：4.

4、 跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b试求B的光滑运动轨迹解：设B的运动轨迹为,由题意及导数的几何意义，则有，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足的解解之得：5. 设微分方程（2.27），其中f(y) 在的某邻域（例如，区间）内连续，而且，则在直线上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分（发散）证明：（） 首先经过域： 和域：内任一点（）恰有方程（2.13）的一条积分曲线，它由下式确定. （*）这些积分曲线彼此不相交. 其次，域（）内的所有积分曲线都可由其中一条，比如沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考

5、虑经过内某一点的积分曲线，它由（*）式确定.若收敛，即存在 ，使得,即所讨论的积分曲线当 时达到直线上点（）. 由（*）式易看出，所论积分曲线在（）处与 相切，在这种情形下，经过此直线上的一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以发散.若积分发散，此时由（*）式易看出，所论的经过的积分曲线，不可能达到直线 上，而以直线为渐近线，又注意到也是（.13）的积分曲线，所以（2.13）过的解是唯一的. 注：对于内某点（）完全可类似地证明.6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形（）；（）习题-3 求解微分方程：（）;解：，由公式得：，原方程的解为：（）；解：，则有原方程的解为：（）；解：原方程即

6、为：，则，则有因为，所以原方程满足初值问题的解为：（），；解：, 则 要求满足初值问题的解 只需求 代入初值得 所以满足初值问题的解为.2. 将下列方程化为线性微分方程：（）；解：令，则原方程化为：（）；解：由原方程得：，,即（）；解：令，则原方程化为：（）；解：原方程即为：即.令，则3. 设满足微分不等式求证：证明：将两边同乘则有即从到x积分得：，得证4. 用常数变易法求解非齐次线性方程解：设方程有形如的解，将其代入方程则有解：设方程有形如的解，将其代入方程则有即，则，所以方程的解为.5. 考虑方程，其中和都是以为周期的连续函数试证：（）若，则方程的任一非零解以为周期的平均值（）若，则方程的

7、有唯一的周期解试求出此解证明：（）设是方程的任一非零解 则且也是解(2) 方程的通解为 选择常数使成为 周期函数，即（*）我们先来证明，要使（*）对所有成立，其实只需对某一特定 （例如）成立,即只需.事实上，由于是方程的解，且，所以也是解.因此，函数是相应齐次方程满足初始条件的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于，或者恒不等于，所以，从而，由的任意性，则有。即.所以.6 连续函数在区间上有界，证明：方程在区间有并且只有一个有界解试求出这个解并进而证明：当还是以为周期函数时，这个解也是以为周期的周期函数.证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为：，因为有界，所以要使 有界，当且仅当 从而原方程的唯一有界解为下面说明当是以为周期函数时，这个解也是以为周期的周期函数，令，则， 所以此解为一周期函数7. 令空间是以为周期的连续函数易知关于实数域构成一个线性空间. ，定义它的模证明是一个完备的空间利用式(2.40)可以在空间中定义一个变换，它把 变成试证：是一个从到的线性算子，而且它是有界的证明：（）