平面向量数量积及其应用复习用

1、一、平面向量数量积的有关概念1. 两个非零向量的夹角已知非零向量与，作，则AOB（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记作；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围为0°q180°.2. 数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则··cos叫做与的数量积（或内积）.规定；向量的投影：cosR，称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影.二、平面向量数量积的几何意义及其性质、运算律1. 几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.2. 性质：（1）.（2）（3）（4）（5）&

2、#183;0注：乘法公式成立；3. 运算律（1）交换律成立：；（2）对实数的结合律成立：；（3）分配律成立：.（4）向量的夹角：cos.注：平面向量数量积的运算不满足结合律.当且仅当两个非零向量与同方向时，0°，当且仅当与反方向时，同时与其他任何非零向量之间不涉及夹角这一问题.三、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·.（1）垂直：如果与的夹角为90°，则称与垂直，记作.两个非零向量垂直的充要条件：·0，（2）平面内两点间的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）.题型一 数量积的概念【例1

3、】判断下列各命题正确与否：(1)若,··，则; (2)若··,则当且仅当时成立；(3)·0；(4)(·)(·)对任意向量,都成立；(5)对任一向量,有2|2 (6)·.【变式练习】1若、为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A. B. C. D.2设,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则; |<|;(·)(·)不与垂直;(32)(32)9|24|2中,是真命题的有()AB C D3.已知下列各式：|22，()22·2，()222·2.其中正确的有()A1个 B

4、2个 C3个 D4个题型二 向量的模与数量积【例2】(1)已知、满足|，|1，求|32|.(2)若|13，|19，|24，则|的值为_变式题1、已知（1）求 与 的夹角（2）求 和 （3）若作三角形ABC，求的面积。变式题2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角。变式题3.已知a=() ，b=()且.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使题型三 夹角问题【例3】设(cos，sin),(cos，sin),且与具有关系|k|k|(k0)(1) 与能垂直吗？(2)若与的夹角为60°，求k的值【变式练习1】已知|4，|3，(2

5、3)·(2)61求：(1) 与的夹角；(2)| |和|；(3) 若，作三角形ABC，求ABC的面积; (4) 若(1,2)，(3，x)，且，的夹角为钝角，求x的取值范围 【变式练习2】. ，且（1）与的夹角为钝角，则的取值范围为_ 且 （2）与的夹角为锐角，则的取值范围为_ （3）与的夹角为直角，则的取值为_题型四 向量的平行、垂直与数量积【例4】已知向量(1,2),(2,1),k，t为正实数，向量(t21) ,k，(1)若,求k的最小值;(2)是否存在k，t使？若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由 【巩固练习】1若平面四边形ABCD满足 ,则该四边形一定是()A正方形 B

6、矩形 C菱形 D直角梯形2.设向量,满足+=，|1，|2，则|2()A.1 B.2 C4 D53已知|1，|6，·()2，则向量与向量的夹角是()4定义运算|sin ,其中是向量,的夹角若|2，|5，6，则| 5若向量(2,1)，(3，x)，若(2)，则x的值为 6若非零向量,满足|,(2)·0,则与的夹角为 7.已知平面向量,则的值是_ _8.设是夹角为60°的两个单位向量,且2,2,则|= 9.已知向量|10，|8，与的夹角120°，则向量在方向上的投影为( )A4 B4 C5 D510.已知向量与的夹角为,则等于（ ）A.5B.4C.3D.111在

7、ABC中，若，且···, 则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形12.定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的(m,n),(p,q),令mqnp，下面说法错误的是()A若与共线，则 BC对任意的R，有()() D()2(·)2|2|2 13.已知点O是ABC所在平面上的一点，CACB，设，若|4，|2，求·()14.已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，求的坐标15.设(cos，sin),(cos,sin),且与具有关系|k|k|(k0) (1)求证：()()；(

8、2)求将与的数量积表示为关于k的函数f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时与的夹角.作业一、选择题1. 已知：| |1，| |2， ，且，则向量与的夹角为（ ）A. 30°B. 60° C. 120° D. 150°2. 在中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上，且满足：，则（ ）A.B.C.D.3. 在中，O是坐标原点，若A.B.C.D.4.在ABC中,若,则ABC为 （ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D无法确定5.若|=|=|, 则与+的夹角为 （ ） A30° B60° C150° D120

9、°6.已知|=1,|=，且()与垂直，则与的夹角为 （ ） A60° B30° C135° D45°7.若,则ABC为 （ ）A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形8.设|= 4，|= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ）A37 B13 CD9.若 |= 1，|= 2，与的夹角为60，=3+，= ，若，则实数的值为（ ）AB CD10.设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则下列结论正确的是（ ） (a·b)·c(c·a)·b=0 |a | |b |< |ab | (b·c)·a(c·a)·b不与c垂直 (3a+2b) ·(3a2b)= 9|a | 24|b | 2 A B C D11.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则·()等于（ ）A B C. D.12.已知向量(1,2)，(2，4)，|，若()·，则与的夹角为（ ）A120° B6