平面向量基本定理及坐标表示

1、第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示一、基本知识点：1、平面向量的基本定理：2、平面向量的正交分解：3、平面向量的坐标表示：4、平面向量的坐标运算：5、两向量平行的充要条件：二、应用举例考点1、平面向量的基本定理例1、已知点P在AB上，O是AB外任意一点，求证：，且.变式1、已知向量不共线，实数满足，则的值是 9 .变式2、设不共线的非零向量，且.(1)求证：可作为一组基底； (2)用表示向量；(3)若，求的值.变式3、如图，E为平行四边形ABCD的边AD上一点，且，设.若则 , .变式4、如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为 2 变式5、如图, , 点在由

2、射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是_ _; 当时, 的取值范围是_ _ 变式6、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上 课标理数12.F22011·山东卷 D【解析】 若C、D调和分割点A；B，则(R)，(R)，且2.对于A：若C是线段AB的中点，则0，故A选项错误；同理B选项错误；对于C：若C、A

3、同时在线段AB上，则0<<1,0<<1>2，C选项错误；对于D：若C、D同时在线段AB的延长线上，则>1，>1<2，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确考点2 平面向量的坐标表示及坐标运算例2、已知点A（-2,4），B（3，-1）,C(-3,-4)，且，试求和的坐标.(答案：)变式1、平面内给定3个向量回答下列问题：（1）求;(2)求满足：的实数；（3）若，求实数k的值.变式2、已知平面向量=（1，2），=（2，m），且，则2 + 3 =（ B ）A. （5，10）B. （4，8）C. （3，6）D. （2，4）变式3、设向量，若向

4、量与向量共线，则 2 .变式4、已知点A（2,3），B（5，4）,C(7,10)，若，试问：（1）为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；()（2）为何值时，点P在第三象限. ()考点3 共线、平行与垂直例3、变式5、已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)，AD是边BC上的高，ADBC，又C、B、D三点共线，又=(x2,y1), =(6,3)=(x3,y2)解方程组，得x=,y=点D的坐标为(，)，的坐标为(，)变式1、若向量则一定满足 （ B ）A 的夹角等于 B C D 变式2、已知平面向量a= ，b=

5、， 则向量 A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【解析】,由及向量的性质可知,C正确.变式3、已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.变式4、设两个非零向量不共线.（1） 若，求证：A、B、D三点共线；（2） 试确定实数k，使共线

6、.变式5、已知向量其中t和k为不同时为零的实数.（1） 若，求此时k和t满足的函数关系式；（2） 若，求此时k和t满足的函数关系式.考点4 综合应用例4、在平面直角坐标系中，已知三点A(-1，2)，B(0，x+2)，共线，其中.（1）求函数表达式；（）（2）若函数是单调函数，求的取值范围；（3）若时，函数的最小值为，求的解析式.变式1、设向量、满足：=1，且+=(1，0)，求，.解：=1，可设=(cos,sin), =(cos,sin),+=(cos+cos,sin+sin)=(1,0)，由(1)得：cos=1cos(3)由(2)得：sin=sin(4)cos=1cos=，sin=±,sin=.故或变式2、已知是两个向量集合，则A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1【答案】A【解析】因为代入选项可得故选A.变式3、已知平面向量a= ，b=， 则向量 A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】【解析】,由及向量的性质可知,C正确.变式4、已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A2B1C1D1变式5、平面上的两个向量满足：，